Тема 7. Выборочное наблюдение

ЗАДАЧИ

№ 1. Для определения срока службы металлорежущих станков было проведено 10%-ное выборочное обследование по методу случайного бесповоротного отбора, в результате которого получены следующие данные:

Срок службы станков, лет	Число станков, шт.
	вариант 1-й	вариант 2-й	вариант 3-й	вариант 4-й	вариант 5-й
До 4	11	6	18	15	12
4-6	24	23	36	32	26
6-8	35	38	26	27	39
8-10	25	26	11	18	21
Свыше 10	5	7	9	8	2
Итого	100	100	100	100	100

Определите для каждого варианта: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборки и пределы, в которых ожидается средний срок службы металлорежущих станков; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку репрезентативности для доли и пределы удельного веса станков со сроком службы свыше 8 лет.

Ответ: для варианта 1: 1) ∆_х = 0,6 лет; 2) ∆ω = 9,0%.

№ 2. С целью изучения выполнения норм выработки 5000 рабочими машиностроительного завода было отобрано в случайном порядке 1000 рабочих. Из числа обследованных 80% рабочих выполняют норму выработки на 100 % и выше. Определите с вероятностью 0,997 ошибку выборки и возможные пределы доли рабочих завода, выполняющих и перевыполняющих норму выработки.

Ответ: ∆_ω = 3,4%.

№ 3. По данным 2%-ного выборочного обследования (n=100) средняя урожайность зерновых культур равна 32 ц/га при дисперсии, равной 6,15. определите ошибку выборки и возможные пределы средней урожайности зерновых культур со всей посевной площади с вероятностью: а) 0,954; б) 0,997.

Ответ: а) ∆_х = 0,5ц/га.

№ 4. Принимая распределение металлорежущих станков по сроку службы, приведенное в задаче № 1, за результаты ранее проведенного выборочного наблюдения, рассчитайте для каждого варианта, какое число станков следует подвергнуть наблюдению при условии, что: а) предельная ошибка выборки при определении среднего срока службы была бы не более одного года при вероятности 0,997; б) то же при вероятности 0,954; в) предельная ошибка доли станков со сроком службы свыше 8 лет была бы не более 5% с вероятностью 0,954; в) предельная ошибка доли станков со сроком службы свыше 8 лет была бы не более 5% с вероятностью 0,954; г) с той же вероятностью (0,954) предельная ошибка доли не должна превышать 3%.

Ответ: а) n = 39 станков.

№ 5. С целью определения среднего стажа работы рабочих завода произведена 20%-ная типическая пропорциональная выборка ( внутри групп применялся метод случайного бесповторного отбора). Результаты обследования характеризуются следующими данными:

Группы рабочих по полу	Группы рабочих по стажу, лет
	До 5	5-10	10-15	15-20	20 и выше	Итого
Мужчины	10	20	50	30	15	125
Женщины	15	18	27	10	5	75
И т о г о	25	38	77	40	20	200

Определите с вероятностью 0,954 ошибку выборки и пределы, в которых будет находиться: а) средний стаж работы всех рабочих; б) удельный вес рабочих со стажем до 5 лет.

Ответ: а) ∆_х = 0,7года: б) ∆_ω = 4,1%.

№ 6. Для оценки средней урожайности пшеницы посевную площадь совхоза в 5000 га разделили на 50 равных участков. Из них по методу случайной бесповторной выборки отобрали пять участков, где произвели сплошной учет фактического урожая. В результате получены следующие данные:

	№ участков
	1	2	3	4	5
Средняя урожайность, ц/га	26	27	28	29	30
Погибшие посевы, %	3,0	2,5	2,0	1,5	1,0

Определите: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться средняя урожайность пшеницы.

Ответ: 1) ∆_х = 0,8ц/га; 2) ∆_n = 0,6%.

№ 7. Партия готовых деталей упакована в 500 ящиков по пять штук в каждом. Для определения средней массы деталей обследовано пять ящиков. Результаты проверки показали, что средняя масса обследуемых деталей составляет 2 кг, межсерийная дисперсия равна 0,025. определите с вероятностью 0,954 ошибку выборки и пределы, в которых будет находиться средняя масса деталей, поступивших на склад.

Ответ: ∆_х = 0,14 кг.

№ 8. Из партия готовых продукции в 1000 шт. в случайном бесповторном порядке обследовано 100 шт., из которых продукция со Знаком качества составила 85%. Определите вероятность того, что допущенная при выборочном обследовании погрешность в оценке среднего процента продукции со Знаком качества не превысит: а) 5%; б) 10%.

Ответ: а) t = 1,47; б) t = 2,94.

№ 9. В результате исследования 20 проб молока, поступившего из колхоза на молокозавод, определили, что средняя жирность молока 3,6% при среднеквадратическом отклонении 0,5%. Какова вероятность того, что возможная ошибка средней жирности поступившего молока не более 0,3%?

Ответ: t = 2,68.

№ 10. В порядке 5%-ной серийно-гнездовой выборки обследовано пять сберегательных касс одного из городов. Результаты обследования показали, что средний размер вклада составляет 2000 руб., доля рабочих в общей численности вкладчиков обследованных сберегательных касс равна 60%, межсерийные дисперсии: а) для средней – 13155; б) для доли – 0,0025.

Определите, с какой вероятностью можно гарантировать: а) предельную ошибку среднего вклада во всех сберкассах города, не превышающую 100 руб.; б) предельную ошибку доли рабочих в общей численности вкладчиков, равную 6%.

Ответ: а) t = 2,0; б) t = 3,08.

.

РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

№ 1. Для изучения оснащения заводов основными производственными фондами было проведено 10%-ное выборочное обследование, в результате которого получены следующие данные о распределении заводов по стоимости основных производственных фондов:

Среднегодовая стоимость основных производст-венных фондов, млн. руб.	До 2	2-4	4-6	Свыше 6	Итого
Число заводов	5	12	23	10	50

Требуется определить: 1) с вероятностью 0,997 предельную ошибку выборочной средней и границы, в которых будет находиться среднегодовая стоимость основных производственных фондов всех заводов, генеральной совокупности; 2) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки при определении доли и границы, в которых будет находиться удельный вес заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб.

Решение. Предельная ошибка выборки (ошибка репрезентативности) исчисляется по формуле:,

где μ - средняя ошибка репрезентативности;

t – коэффициент кратности ошибки, показывающий, сколько средних ошибок содержится в предельной ошибке.

Пределы возможной ошибки (∆) определяются с вероятностью. Значение t найдем по таблице интеграла вероятностей.

Для Соответствует

вероятность

t = 1……………………………………………. Р = 0,683;

t = 2……………………………………………. Р = 0,954;

t = 3……………………………………………..Р = 0,997 и т.д.

Конкретное количественное выражение предельная ошибка принимает после определения средней ошибки выборки. Для нахождения ошибки репрезентативности собственно случайной и механической выборок имеются нижеследующие формулы.

Повторная выборка при определении:

среднего размера

ошибки признака ; (1)

средней ошибки доли

признака (2)

Бесповторная выборка при определении:

среднего размера

ошибки признака (3)

средней ошибки доли

признака (4)

N - численность генеральной совокупности;

n - численность выборочной совокупности;

-дисперсия варьирующего (осредняемого) признака в

выборочной совокупности;

- доля данного признака в выборке;

- доля противоположного признака в выборке.

1. Для определения границ генеральной средней необходимо исчислить среднюю выборочную и дисперсию, техника расчета которых приведена в таблице:

Среднегодовая стоимость основных производственных фондов, млн. руб., х	Число заводов, f	Середина интервала x	xf	x-
До 2,0	5	1	5	-3,52	12,39	61,95
2,0-4,0	12	3	36	-1,52	2,31	27,72
4,0-6,0	23	5	115	0,48	0,23	5,29
Свыше 6,0	10	7	70	2,48	6,15	61,50
	50		226			156,46

Тогда

млн. руб.;

==3,13.

Для упрощения расчетов средней и дисперсии можно использовать способ моментов. Техника расчетов ипо способу моментов изложена в первой части брошюры «Практикум по общей теории статистики» (М.6 изд. ВЗФЭИ, 1989).

Итак, имеются данные: N = 500, N = 50 заводов; = 3,13.

Средняя ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных фондов составит:

а) при повторном отборе (по формуле 1) –

млн. руб.;

б) при бесповторном отборе (по формуле 3) –

млн.руб.

Следовательно, при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов в среднем мы могли допустить среднюю ошибку репрезентативности в 0,25 млн. руб. при повторном и 0,24 млн. руб. при бесповторном отборе в ту или иную сторону от среднегодовой стоимости основных производственных фондов приходящейся на один завод в выборочной совокупности. Исчисленные данные показывают, что при бесповторной выборке средняя ошибка репрезентативности (0,24) меньше, чем при тех же условиях при повторном отборе (0,25).

В нашем примере Р = 0,997, следовательно, t = 3.

Исчислим предельную ошибку выборочной средней (∆_х):

∆_х = ± 3μ ; т.е. ∆_х = ± 3 · 0,25 = ±0,75 млн. руб.(при повторном отборе); ∆_х = ± 3 · 0,24 = ±0,72 млн. руб.(при бесповторном отборе).

Порядок установления пределов, в которых находится средняя величина изучаемого показателя в генеральной совокупности в общем виде, может быть представлен следующим образом:

;

Для нашего примера среднегодовая стоимость основных производственных фондов в среднем на один завод генеральной совокупности будет находиться в следующих пределах:

а) при повторном отборе - или 4,27 млн.руб. ≤ ≤ 4,77 млн. руб.;

б) при бесповторном отборе - или 4,28 млн.руб. ≤ ≤ 4,76 млн. руб.;

Эти границы можно гарантировать с вероятностью 0,997.

2. Вычисление пределов при установлении доли осуществляется аналогично нахождению пределов для средней величины. В общем виде расчет можно представить следующим образом :

;

где р – доля единиц, обладающих данным признаком в генеральной совокупности.

Доля заводов в выборочной совокупности со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. составляет:

, или 66%.

Определяем предельную ошибку для доли. По условию задачи известно, что N = 500; n = 50; ω = 0,66; P = 0,95; t = 2.

Исчислим предельную ошибку доли:

при повторном отборе (по формуле 2) –

, или 13,4%;

при бесповторном отборе (по формуле 4) -

, или 12,7%.

Следовательно, с вероятностью 0,954 доля заводов со стоимостью основных производственных фондов свыше 4 млн. руб. в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

или 52,6% ≤ р ≤ 79,4% при повторном отборе;

или 53,3% ≤ р ≤ 78,7% при бесповторном отборе.

Расчеты убеждают в том, что при бесповторном отборе ошибка выборки меньше, чем при тех же условиях при повторной выборке.

№ 2. Используя данные предыдущей задачи, требуется ответить, каким должен быть объем выборочной совокупности при условии, что: 1) предельная ошибка выборки при определении среднегодовой стоимости основных производственных фондов (с вероятностью 0,997) была бы не более 0,5 млн. руб.; 2) то же при вероятности 0,954; 3) предельная ошибка доли (с вероятностью 0,954) была бы не более 15%.

Решение. Для нахождения численности случайной и механической выборок имеются следующие четыре формулы:

Повторный отбор Бесповторный отбор

при определении

среднего размера ; (5) (6)

ошибки признака

при определении

ошибки доли признака ; (7)(8)

1) Известно, что N = 500; млн. руб.;;Р = 0,997; t = 3.

Найдем объем выборки для расчета ошибки средней: при повторном отборе (по формуле 5) –

заводов;

при бесповторном отборе (по формуле 6) –

завода;

2) Известно, что N = 500; млн. руб.;;Р = 0,954; t = 2.

Определим объем выборки при бесповторном отборе (по формуле 6):

заводов.

3) известно, что N = 500; млн. руб.;;Р = 0,954;

t = 2.

Объем выборки для расчета ошибки доли будет:

при повторном отборе (по формуле 7) –

заводов;

при бесповторном отборе (по формуле 8) -

заводов;

В ы в о д ы: 1) численность выборки увеличится, если при прочих равных условиях уменьшить предельную ошибку; 2) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях уменьшить вероятность, с которой требуется гарантировать результат выборочного обследования; 3) численность выборки уменьшится, если при прочих равных условиях увеличить предельную ошибку.

№ 3. На заводе 1000 рабочих вырабатывают одноименную продукцию. Из них со стажем работы до пяти лет трудятся 400 чел., а более пяти лет – 600 чел. Для изучения среднегодовой выработки и установления доли квалифицированных рабочих проведена 10%-ная типическая выработка с отбором единиц пропорционально численности рабочих по указанным группам (внутри групп применялся случайный метод отбора).

На основе обследования получены следующие данные:

Группа рабочих со стажем работы	Общая числен-ность рабочих чел., N	Число обследованных рабочих чел., n	Средне- дневная выра-ботка, шт.,	Дисперсия выра-ботки, число	Число квалифицированных рабочихв выборке, чел.,	Доля квалифицированных рабочих,
До 5 лет (включительно)	400	40	25	81	32	0,8
Свыше 5 лет	600	60	30	64	54	0,9
И т о г о	1000	100

Определим: 1) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборки и границы в которых будут находиться среднедневная выработка всех рабочих завода; 2) с той же вероятностью пределы удельного веса квалифицированных рабочих в общей численности рабочих завода.

Решение. 1) Средняя ошибка типической выборки определяется по формуле:

; (9)

где - средняя из внутригрупповых дисперсий.

Она исчисляется по формуле:

;

Тогда =.

Определим среднюю ошибку выборки при бесповторном отборе (по формуле 9):

шт.

Технику расчета предельной ошибки при типической выборке аналогична вышеизложенному расчету предельной ошибки при случайном отборе:

или ;

Подставив данные, получим: шт.

Для определения возможных пределов среднедневной выработки всех рабочих завода первоначально нужно исчислить среднедневную выработку в выборочной совокупности по средней арифметической взвешенной:

шт.

пределы среднедневной выработки всех рабочих завода: шт.

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднедневная выработка всех рабочих завода находится в пределах 26,4 шт.шт.

2) Средняя ошибка репрезентативности для доли исчисляется по формуле:

(10)

где - дисперсия долиявляется средней из внутригрупповых дисперсий.

Эта величина исчисляется по формуле:

=

Технику расчета покажем в таблице:

Группы рабочих со стажем работы	Числен-ность рабочих, чел.,	Доля квалифици-рованных рабочих,	Доля малоква-лифици-рованных рабочих,	Дисперсия доли	Взвешен-ный пока-затель дисперсии,
До 5 лет	40	0,8	0,2	0,16	6,4
Свыше 5 лет	60	0,9	0,1	0,09	5,4
И т о г о	100				11,8

Тогда =.

Определим среднюю ошибку репрезентативности для доли ( по формуле 10):

или .

Исчислим предельную ошибку выборочной доли с вероятностью 0,954:

или 6,4%.

Расчет предела при установлении доли в общем виде представляется следующим образом:

.

Определим среднюю долю для выборочной совокупности:

, или 86%.

Отсюда: .

Вывод: с вероятностью 0б954 можно утверждать, что доля квалифицированных рабочих на заводе будет находиться в пределах 79,6% .

№ 4. С целью определения среднего эксплуатационного пробега 10000 шин легковых автомобилей, распределенных на партии по 100 шт., проводится серийная 4%-ная бесповторная выборка. Результаты испытания отобранных шин характеризуются следующими данными:

Показатели	Партии
	1	2	3	4
Средний эксплуатационный пробег шин, тыс. км	40	42	45	48
Доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км.	0,80	0,85	0,90	0,95

О п р е д е л и т е: 1) средние ошибки репрезентативности:

а) эксплуатационного пробега шин; б) удельного веса шин с пробегом не менее 42 тыс. км; 2) с вероятностью 0,954 пределы, в которых будет находиться: а) средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин; б) доля шин, пробег которых не менее 42 тыс. км в генеральной совокупности.

Решение. 1) При бесповторном отборе серий средняя ошибка репрезентативности определяется по формулам:

для средней –

; (11)

для доли –

, (12)

где R - число серий в генеральной совокупности;

r - число отобранных серий;

- межсерийная дисперсия средних;

- межсерийная дисперсия доли.

Сначала исчислим обобщающие показатели.

Средний эксплуатационный пробег шин:

тыс. км.

Средний удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс.км равен:

(или 87,5%)

для средней –

;

для доли –

Для ее расчета построим вспомогательную расчетную таблицу:

№ партии	Средний пробег шин, тыс. км,			Доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км,
1	40	-3,75	14,06	0,8	-0,075	0,005625
2	42	-1,76	3,06	0,85	-0,025	0,000625
3	45	1,25	1,56	0,90	0,025	0,000625
4	48	4,25	18,06	0,95	0,075	0,005625
И т о г о			36,74			0,012500

Тогда

; .

Определим средние ошибки репрезентативности: для средней (по формуле 11) –

тыс. км;

для доли (по формуле 12) –

, или .

2) определим с вероятностью 0,954 предельные ошибки репрезентативности для средней и для доли:

тыс. км;

%

Отсюда средний эксплуатационный пробег всех обследуемых шин будет находиться в пределах:

, или 40,75 тыс. км 46,75 тыс. км.

Средний удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс. км в генеральной совокупности будет находиться в пределах:

, или 82,0% 93,0 %.

№ 5. Используя условие и решение предыдущей задачи, определите вероятность того, что: а) предельная ошибка выборки при установлении среднего эксплуатационного пробега шин не превышает 4,0 тыс. км; б) доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км будет находиться в пределах от 83% до 92%.

Решение. При определении вероятности используется формула предельной ошибки:

.

В нашем примере следует использовать формулу предельной ошибки серийного отбора.

а) Дано: ;;тыс. км;=9,185;

тыс. км.

Требуется определить вероятность того, что разница средних величин эксплуатационного пробега шин в выборочной генеральной совокупности не превысит тыс. км, т.е.

тыс.км.

Подставляем данные в формулу:

;

По таблице значений вероятностей находим, что при t = 2,67 вероятность будет 0,992.

Следовательно, с вероятностью 0,992 можно гарантировать, что средний эксплуатационный пробег шин легковых автомобилей в генеральной совокупности будет находиться в пределах 39,75 тыс. км тыс. км;

б) Дано: ; ; ;= 0,003125;%.

Требуется определить:, т.е. вероятность того, что доля шин с пробегом не менее 42 тыс. км в выборочной совокупности не будет отклоняться от доли генеральной совокупности более чем на 4,5%.

Подставив данные в формулу

(см. решение на с.54 ), получим 4,5% =;

тогда Р = 0,899.

Следовательно, вероятность того, что удельный вес шин с пробегом не менее 42 тыс. км будет находиться в пределах от 83% до 92%, равна 0,899.