- •Камышинский технологический институт (филиал)
- •Линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия
- •Введение.
- •2.2. Решение систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными
- •Скалярное произведение двух векторов и его приложение
- •3.1 Нахождение работы постоянной силы на прямолинейном участке пути
- •3.2 Определение ортогональности двух векторов
- •3.3.Нахождение угла между векторами
- •Кривые второго порядка
- •6.1.Окружность
- •6.2.Эллипс
- •6.4. Парабола.
- •Прямая линия в пространстве.
- •Плоскость в пространстве
6.4. Парабола.
Задача № 1. Определить координаты фокусов и составить уравнение директрисы параболы
Решение:
Сравнивая это уравнение с уравнением , находим, что 2p=4, откуда . Таким образом, точка - фокусы параболы, а прямая , т. е. x=-1 или x+1=0 – её директриса.
Ответ: (1;0)
Задача № 2. Фокусы параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0;-4). Написать уравнение этой параболы.
Решение: Так как F(0;-4) с Оy, то данная парабола симметрична относительно оси Оy, а ветви её направлены вниз. Кроме того О (0;0) -вершина параболы. Следовательно искомое уравнение параболы запишется в форме . Поскольку, . Тогда, уравнение параболы будет |
Задача № 3. Директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0
Написать уравнение и найти координаты фокуса параболы.
Решение: Так как директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0 или , то ее фокус имеет координаты
, поэтому искомая кривая симметрична относительно оси Оx F()и ветви ее направлены вправо (абсцисса фокуса положительна). Следовательно, уравнение параболы имеет вид
Так как то и уравнение параболы будет: , а координаты ее фокуса F(2,5;0)
Ответ: ; F(2,5;0)
Задача №4. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy, с центром в начале системы координат, если она проходит через точку В(1;-2).
Решение:
Так как парабола симметрична относительно оси Оy и имеет вершину в начале системы координат, то ее уравнение имеет вид . Поскольку точка В(1;-2) лежит на параболе, то ее координаты удовлетворяют параболы, т.е. ,
Откуда , и, следовательно, - уравнение параболы.
Ответ:
Задача № 5. Найти высоту арки моста длиной 24м, если арка имеет вид параболы, уравнение которой
Решение:
Построим эскиз параболы в декартовой прямоугольной системе координат. Обозначим через h высоту моста, а через =24 - длину арки мосту. Тогда, А(12;-h)П: .
Так как точка А принадлежит параболе , то ее координаты удовлетворяют уравнению параболы. Это дает возможность вместо текущих координат (x;y) подставить координаты данной точки в уравнение параболы. Тогда имеем
Итак, высота арки моста 3 м.
Ответ: h=3
Задача № 6. Струя воды, направленная под углом к плоскости горизонта поднимается на высоту 2 м и падает в 12 м от наконечника шланга. Найти параболическую траекторию струи.
Решение: Свяжем параболическую траекторию струи с декартовой прямоугольной системой координат так, чтобы параболическая траектория была симметрична оси Оy, ветви были бы направлены вниз, а ее вершина лежала бы в начале координат.
Тогда уравнение такой параболической траектории имеет вид , точка А(6;-2)П: , следовательно, ее координаты удовлетво-ряют уравнению параболы. Подстановка координат точки А вместо текущих координатx и y параболы , дает равенство . Следовательно, - уравнение параболической траектории струи.
Ответ:
Решить самостоятельно:
Задача № 7. Сечение рефлектора плоскостью проходящей через ось рефлектора, есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлектора 30 см, а глубина 20 см, (ось рефлектора совпадает с осью Ox )
Ответ:
Задача № 8. Из отверстия, находящегося на поверхности земли вытекает вода струей, представляющей ветвь параболы . На каком расстоянии от края бака падает струя на землю, если высота отверстия
1,5 м ?
Ответ: 3 м.
Задача № 9. Осевое сечение параболического зеркала является параболой
Определить диаметр зеркала, если его «глубина» равна 18,75 см.
Ответ: 30 см.
Задача № 10. Камень брошенный под острым углом к плоскости горизонта, достиг наибольшей высоты 16 м., Описав параболическую траекторию, камень упал в 48 м., от точки бросания. Найти траекторию камня.
Ответ: .
Задача № 11 Найти параболу с вершиной в начале координат, если ее фокус лежит в точке а) F(3;0); б) F(-2;0); в) F(0;4); г) F(0;-)
Ответ: а); б); в); г)
Задача № 12 Найти параболы с вершиной в начале координат, если даны директрисы: а) ; б)x=-5 ; в) y=3 ; г) y=-2 ;
Ответ: а) ; б); в); г).
Задача № 13. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол.
а) ; б); в); г). Построить эти параболы.
Ответ: а) F(2;0); x+2=0 ; б) F(-3;0); x-3=0 ; в) F(0;); 2y+5=0
г) F(0;-4); x-4=0
Задача № 14. Проверить, лежат ли точки А(2;-2) и В(1;2) на параболе
Ответ: А лежат, В не лежат.
Задача № 15. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку
А(4;-2)
Ответ:
Задача № 16. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:
А) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 4;
Б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6;
В) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3;
г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 5.
Ответ а) ; б); в); г).
Практическое занятие № 7 на тему: