Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

121

6. (О) Провода двухпроводной линии передачи покрываются слоем льда. Изменяется ли энергия электрического поля, а также емкость между проводами? Относительная диэлектрическая проницаемость льда r > 1 (u const).

7. Изменится ли энергия электрического поля конденсатора, если его бумажную изоляцию пропитать маслом, диэлектрическая проницаемость которого превышает 0?

8.Изменятся ли емкость и энергия электрического поля разрядника, представляющего собой присоединенные к источнику ЭДС две металлические сферы, при изменении сухой погоды на дождливую, в результате чего они покрываются тонким слоем воды?

9.(О) У какого заряженного шара энергия электрического поля больше: у проводящего или у шара с таким же зарядом, равномерно распределенным в объеме?

10.У поверхности какой из обкладок однослойного цилиндрического соосного конденсатора — внутренней или внешней — объемная плотность энергии электрического поля больше?

11.Изменится ли энергия магнитного поля двух контуров с токами, если изменить направление тока на противоположное: à) в одном из контуров; á) в обоих контурах?

12.Изменится ли энергия магнитного поля катушки, по которой течет постоянный ток, если внутрь нее внести ферромагнитный сердечник?

13.Два удаленных друг от друга плоских контура с токами сближаются. Каким должно быть их взаимное расположение после сближения, чтобы энергия магнитного поля была: à) равной сумме энергий уединенных контуров; á) больше суммы энергий уединенных контуров; â) меньше суммы энергий уединенных контуров?

14.Для улучшения механических свойств линий электропередач алюминиевые провода навивают на стальную сердцевину. Изменяются ли при этом индуктивность проводов и энергия магнитного поля?

15.(О) Почему большее распространение на практике нашли не емкостные, а индуктивные электромеханические машины, преобразующие механическую энергию в энергию магнитного, а не электрического поля?

УПРАЖНЕНИЯ

1.Напряженность электрического пробоя воздуха составляет 30 кВ/см. Рассчи- тайте предельную объемную плотность энергии электрического поля в воздухе.

2.Рассчитайте работу, которую необходимо выполнить для зарядки конденсатора емкостью 1 мкФ до напряжения 200 В.

3.Площадь каждой из обкладок плоского двухслойного конденсатора S 50 ñì2.

Диэлектрические проницаемости вещества слоев равны 4 0, 2 2 0, их толщины d1 2 ìì, d2 3 мм. Напряжение между обкладками равно u 200 В. Рас- считайте энергию электрического поля в слоях и полную энергию электрического поля конденсатора. В каком из слоев плотность энергии поля больше?

Ðèñ. Â2.1

122 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

4. Рассчитайте энергию электрического поля в каждом из слоев диэлектрика, полную энергию электрического поля Wý, объемную плотность энергии Wý (r) электрического поля: à) в двухслойном цилиндрическом; á) в двухслойном сферическом конденсаторах. Радиусы обкладок R1, R2, радиус поверхности, общей для обоих слоев диэлектрика, R, диэлектрические проницаемости слоев 1, 2, напряжение между обкладками u. Численные расчеты выполните для R1 2 ñì, R2 1 ñì, R 1,5 ñì, 1 4 0, 2 2 0, u 300 Â.

5. (Р) Рассчитайте энергию магнитного поля трех последовательно соединенных индуктивно связанных катушек с током 1 А, имеющих индуктивности L1 1,5 ìÃí, L2 2 ìÃí, L3 1 мГн и взаимные индуктивности M12 0,3 ìÃí, M13 0,2 ìÃí, M23 0,06 ìÃí.

6.Определите энергию магнитного поля катушек в условиях предыдущей зада- чи, если у второй катушки поменять местами зажимы.

7.Определите отношение плотности энергии электрического и магнитного полей в воздухе при B 1,5 Òë, E 30 êÂ/ñì.

8.Тороидальный сердечник катушки индуктивности

образован двумя кольцами прямоугольного сечения, разделенными воздушным зазором (рис. В2.1). Принимая линии магнитной индукции в сердечнике и в зазоре окружностями, рассчитайте отношение объемной плотности энергии магнитного поля в зазоре и прилегающих к нему точках сердечника ( ñ), а также

отношение энергии магнитного поля в сердечнике к энергии магнитного поля в зазоре.

9. (P) Пакет листов (толщиной d каждый) из магнитного материала, разделенных воздушными промежутками (рис. В2.2), помещен внача- ле в продольное (||), а затем в поперечное (7) магнитное поле, причем МДС сохраняется неизменной: Fab F| | Fac F7 (ab ac). Определите отношение средних для нескольких листов

значений			магнитной					индукции		B| | ñð	, ãäå
										B7ñð
		!| |			!
B			, B		7	, S		S	. Может ли значение
							| |
| | ñð		S| |	7ñð		S7			7

Ðèñ. Â2.2

B| | ñð быть меньше 1?

B7ñð

10. Немагнитная жила коаксиального кабеля имеет радиус R, а немагнитная оболочка — внутренний радиус Ri и внешний Re. Сопоставьте индуктивность на единицу длины кабеля в следующих случаях: à) ток распределен равномерно по сечению жилы и оболочки; á) ток течет в тонком поверхностном слое жилы и тонком слое внутренней поверхности оболочки.

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2 123

11. (Р) При зарядке конденсатора емкостью Ñ до напряжения u ток изменяется

по закону i	u			t
		exp			. Рассчитайте отношение энергии, запасаемой конден-
	r
				rC

сатором, к тепловой энергии, выделяемой в резисторе r, включенном последовательно с конденсатором и источником напряжения. Изменится ли это отношение при изменении Ñ èëè r?

12. (Р) Прямолинейные весьма длинные тонкие провода, образуя обмотку, уложены вплотную на поверхности немагнитного ротора радиусом R. Ток проводов распределен по закону i Im cos , где — угловая координата точек поверхности ротора. Рассчитайте энергию ее магнитного поля и индуктивность, заменяя обмотку токовым слоем радиуса R и принимая, что число витков обмотки w.

13. (P) В глубоком прямоугольном пазу (рис. В2.3) уложены два немагнитных провода 1 è 2 с равными токами 8i различных направлений. Рассчитайте энергию магнитного поля токов и индуктивность проводов, принимая, что магнитная проницаемость вещества, образующего паз, , и что линии напряженности маг-

нитного поля перпендикулярны стенкам паза. Ток по Ðèñ. Â2.3 сечению проводов распределен равномерно.

2.2. Силы, действующие на заряженные тела. Электромагнитная сила

ВОПРОСЫ

1.В каком направлении действует сила на элементы поверхности уединенного проводящего заряженного тела?

2.(О) Заряженное тело расположено вблизи поверхности незаряженного проводящего тела, например, вблизи поверхности земли. Существует ли сила взаимодействия между этими телами?

3.(О) Почему незаряженная проводящая частица, помещенная в неоднородное электрическое поле, испытывает силу, направленную в сторону более сильного поля?

4.(О) Незаряженная проводящая частица внесена в пространство между пластинами плоского заряженного конденсатора. Почему она притягивается к той пластине, к которой ближе расположена?

5.(О) Электрический фильтр очистки воздуха состоит из длинной проводящей трубы и соосной с ней нити, к которым приложено напряжение. К какому электроду — трубе или нити — притягиваются загрязняющие воздух частицы пыли?

6.(О) Двухслойный плоский заряженный конденсатор отключен от источника. Определите направление силы, действующей на общую поверхность двух диэлектриков, параллельную пластинам. Диэлектрические проницаемости слоев

равны 1 è 2 < 1.

124 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

7.(О) Изменит ли направление сила, действующая на общую поверхность двух диэлектриков в условиях из предыдущего вопроса, если конденсатор заряжен, но не отключен от источника?

8.Плоский конденсатор имеет между обкладками два слоя диэлектрика, граница которых нормальна к поверхности пластин. Объясните действие силы на поверхность диэлектриков в условиях из двух предыдущих вопросов.

9.Уединенная заряженная сфера окружена концентрическими слоями диэлек-

трика, имеющего диэлектрические проницаемости 1 > 2, 2 > 3, 3 < 4. Укажите направление сил, действующих на общие поверхности слоев диэлектриков.

10.(О) По гибкому проводу, образующему виток, течет ток. Какую форму стремится придать витку электромагнитная сила?

11.Тороидальный сердечник катушки индуктивности имеет разрез вдоль радиуса толщиной . В каком направлении действует на поверхность разреза электромагнитная сила?

12.Сферическая частица (дробь), вещество которой имеет проницаемость > 0, помещена в однородное магнитное поле. Действует ли на нее электромагнитная сила? Будет ли действовать на нее электромагнитная сила при размещении ее вблизи поверхности одного из полюсов магнита, создающего однородное магнитное поле?

13.В витке, плоскость которого нормальна к линиям внешнего однородного магнитного поля, течет ток. Зависит ли направление электромагнитной силы, действующей на виток, от взаимной ориентации тока и магнитного поля?

14.(О) Вдоль оси кругового витка проходит провод. Существует ли силовое взаимодействие между витком и проводом, если по ним течет ток?

15.(О) Какие электромагнитные силы действуют на две рядом расположенные ферромагнитные сферические частицы, помещенные в однородное магнитное поле?

16.Ток течет по весьма длинной прямолинейной трубе. Испытывает ли внутренняя поверхность трубы давление со стороны магнитного поля?

17.(О) По двум соосным длинным соленоидам с радиусами R1, R2 > R1 и числом витков на единицу длины w1 è w2 текут токи i1 è i2. При каких направлениях и величинах токов сила, действующая на один из соленоидов, равна нулю?

18.Незаряженная проводящая частица, помещенная в неоднородное электриче- ское поле, испытывает действие силы, стремящейся переместить ее в сторону более сильного поля. Почему немагнитный проводник без тока не испытывает действия электромагнитной силы, если он помещен в неоднородное не изменяющееся во времени магнитное поле?

УПРАЖНЕНИЯ

1. Определите силу притяжения, действующую на единицу поверхности двух параллельных безграничных разноименно заряженных плоскостей, плотность заряда которых равна −. Почему сила не зависит от расстояния между плоскостями?

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

125

2.Расстояние между двумя весьма длинными прямыми параллельными проводами, заряженными разноименными зарядами, значительно больше их радиусов. Определите силу, действующую на единицу длины проводов, если напряжение между ними равно u.

3.Найдите силу, действующую на единицу поверхности уединенной проводящей сферы радиусом R с зарядом q.

4.Определите силы, действующие на внутреннюю (r Ri) и внешнюю (r Rå) обкладки: à) однослойного цилиндрического; á) однородного сферического конденсаторов. Напряжение между обкладками равно u.

5.(Р) Поверхность s разделяет две среды с диэлектрическими проницаемостями

1 è 2. Определите силу, действующую на единицу поверхности, если вектор электрического смещения D направлен по нормали к ней.

6.(P) Найдите силы, действующие на единицу поверхности обкладок плоского двухслойного конденсатора (давление), при диэлектрических проницаемостях

слоев 1, 2 и их толщинах d1, d2. Определите давление на границу раздела слоев. Зависит ли направление давления от соотношения между 1 è 2? Напряжение между обкладками равно u.

7. (Р) В плоском двухслойном конденсаторе поверхность раздела диэлектриков с диэлектрическими проницаемостями 1 è 2 нормальна к его пластинам (рис. В2.4). Определите давление на границу раздела диэлектриков.

8. Уединенная заряженная сфера окружена концен-

трическими слоями диэлектриков, имеющих диэлек-	Ðèñ. Â2.4
трические проницаемости 1 > 2, 2 > 3, 3 < 4. Ðàñ-
считайте давления на границы слоев диэлектриков.

9. Диэлектрические проницаемости слоев цилиндрического двухслойного конденсатора равны i, e, ( i > e). Радиусы обкладок Ri, Re, радиус цилиндрической поверхности раздела слоев R0. Рассчитайте силу, действующую на обкладки, а также на общую поверхность слоев. Какая из этих сил изменится, если внутренний слой примет проницаемость e, а внешний — i?

10.Объясните, почему электромагнитная сила, действующая на проводник в точке À, имеет указанное на рис. В2.5 направление. Укажите направление элек-

тромагнитной силы в точках C, D, E проводников. Сила f1 обусловлена действием на провод с током со стороны собственного магнитного поля тока, сила f2 — со стороны магнитного поля другого контура с током (вариант 8).

11.Прямолинейный бесконечно длинный тонкий провод изогнут и образует в точке A прямой угол. Найдите распределение вдоль провода силы, стремящей-

ся его разогнуть. Ток провода i 100 À, 0 всюду.

12. Кратчайшее расстояние между двумя бесконечно длинными взаимно перпендикулярными проводами с токами i 10 А равно d 5 см. Постройте кривую распределения электромагнитной силы вдоль одного из проводов.

126 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

Ðèñ. Â2.5

13. (Р) Длинный прямолинейный провод с током i и прямоугольная рамка с размерами сторон a, b находятся в одной плоскости. Рассчитайте силу, стремящуюся изменить положение рамки, при токе рамки i1. При численном расчете примите a 5 ñì, b 10 ñì, i 10 À, i1 100 А. Кратчайшее расстояние d от провода до ближайшей к проводу и параллельной ему стороне a рамки равно 5 см, 0.

14. (Р) Индуктивность круглого витка можно рассчитать по формуле L R [ + ln 8R/r – 2) + /4]3 если радиус r провода значительно меньше радиуса R витка. Найдите выражение обобщенных сил fR è fr, стремящихся изменить размеры витка. Магнитная проницаемость вещества провода равна . Выполните вычисления для R 8 ñì, r 0,25 ñì, i 20 À ïðè: à) 0; á) .++0.

15. Круглый плоский виток радиусом R из медного провода, радиус сечения которого r, расположен в однородном магнитном поле так, что угол между вектором магнитной индукции B и нормалью к плоскости витка составляет . Рассчи- тайте силу, стремящуюся изменить радиус R витка при различных направлениях магнитной индукции и тока i витка. Численный расчет выполните при i 100 À, R 4 ñì, r 0,5 ìì, B 0,4 Тл. При каких сила, действующая на виток: à) наименьшая; á) наибольшая?

16. (Р) Определите значение тока i, протекающего по наружной поверхности (при условии резко выраженного поверхностного эффекта) стальной трубы c внешним радиусом R, при котором давление со стороны электромагнитного поля превысит предел прочности − стали и труба начнет деформироваться. Численный расчет выполните при R 1,5 ñì, − 0,1 êã/ìì2.

Примечание. При условии резко выраженного поверхностного эффекта ток те- чет в тонком поверхностном слое трубы.

17.(Р) Весьма длинный соленоид радиусом R имеет w витков на единицу длины. Рассчитайте силу, действующую на единицу длины соленоида и стремящуюся изменить его радиус.

18.Определите характер и величину сил, действующих на однослойную катушку радиусом R, длиной l, с числом витков w, приближенное выражение

(ñì. óïð. 9, §1.9).

Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2 127

индуктивности которой можно записать в виде L 4R2w2 10–5 Гн. Численное 9R 10l

значение силы определите при токе i 3A, R 2ñì, w 100, l 8ñì.

19. Индуктивность весьма длинного коаксиального кабеля с радиусом жилы R0 и внутренним радиусом оболочки Ri на единицу его длины при высокой частоте

протекающего по нему тока можно найти, пользуясь выражением L 0 ln Ri .

2 R0

Рассчитайте силу, действующую на единицу длины жилы и оболочки, принимая R0 3 ìì, Ri 6 мм. Ток кабеля i 1 sin wt À.

20. Тороидальная катушка имеет средний радиус R, круглое сечение радиусом r

и число витков w. Индуктивность такой катушки L	w2 r 2			. Рассчитайте
		0
	R		R2 r 2

силы, стремящиеся изменить радиусы R, r катушки. Определите их численные зна- чения при токе катушки 1 А, w 200, r 1 ñì, R 10 ñì.

21. (Р) Тороидальный сердечник прямоугольного сечения имеет равномерно намотанную обмотку с числом витков w 200. Сердечник имеет радиальный зазор 1 мм, внутренний радиус сердечника Ri 0,2 м, внешний — Re 0,25 м, его высота 3 см, i 10 À, 100 0. Рассчитайте силу, действующую на эле-

мент поверхности сердечника, расположенный в центральной части зазора при

Rñð Ri Re . 2

ЗАДАЧИ

1. (Р) Прямолинейный весьма длинный немагнитный провод круглого сечения с током i 1000 А расположен в воздухе параллельно плоской поверхности среды, магнитная проницаемость которой может быть принята бесконечно большой. Рассчитайте силу, действующую на единицу длины провода, при расстоянии между осью провода и поверхностью d 5 10–2 ì.

2. Линейные бесконечно длинные провода размещены на поверхности немагнитного цилиндра радиусом R. Линейная плотность j токов проводов изменяется по окружности сечения цилиндра по закону j jm cos . Найдите радиальную Fr( ) и тангенциальную Ft( ) составляющие силы, действующей на провода, учитывая, что созданное током магнитное поле внутри цилиндра однородное с

магнитной индукцией B 0 jm

2

3. (P) По бесконечно протяженной в направлении осей x, y пластине толщиной 2d протекает электрический ток, плотность которого J iJx постоянна во всех точках пластины. Рассчитайте распределение электромагнитной силы вдоль линии, нормальной поверхности пластины, а также полную силу, сжимающую единицу объема пластины. Выведите формулу для сжимающей пластину силы при переходе к бесконечно тонкой пластине, когда d 0, J и когда пластина переходит в поверхность с линейной плотностью тока j ( 0 всюду).

128 Вопросы, упражнения, задачи к главам 1 и 2

4. (P) Круговой контур с током i 10 А расположен в одной плоскости с прямолинейным бесконечно длинным проводом, ток которого i1 1000 А. Кратчайшее расстояние между контуром и проводом равно d 2 см, радиус контура R 5 см. Рассчитайте силу взаимодействия токов контура и провода и постройте зависимость силы F f(2) в точках контура в функции положения точки (0 < 2 4 9). Постройте также зависимость электромагнитной силы вдоль провода.

5. (Р) На внутренней цилиндрической поверхности (R Rñ) статора электриче- ской машины токовая нагрузка (линейная плотность тока) jñ jñm cos , а на поверхности ротора (при Rð < Rñ ) jð jðm cos ( + 2). Статор и ротор выполнены из немагнитного вещества. Рассчитайте зависимость вращающего момента, действующего на ротор, от угла 2, принимая, что длины ротора и статора значительно превышают их радиусы. При каких значениях угла 2 момент имеет: à) наибольшее значение; á) наименьшее значение?

6. (Р) Две плоские поверхности тела, вещество которого имеет бесконечно большую магнитную проницаемость, образуют прямой угол (рис. В2.6). Весьма длинный немагнитный провод с током i 1000 А расположен в воздухе параллельно поверхностям тела. Определите направление и значение силы, действующей на провод,

ïðè h 5 ñì.

Ðèñ. Â2.6

Глава третья

Основные понятия и законы теории электрических цепей

3.1. Электрические и магнитные цепи

Изложенное в предыдущих двух главах со всей ясностью показывает, что любое электромагнитное явление, происходящее в системе заряженных тел и контуров с токами, т. е. в любом электротехническом устройстве, определяется не только физическими процессами на самих заряженных телах и в проводниках, образующих контуры с токами, но и не в меньшей мере физическими процессами в диэлектрике, окружающем эти тела и проводники. Даже можно сказать больше — именно электромагнитное поле в диэлектрике, окружающее заряженные тела и проводники с токами, является носителем энергии системы, которая может передаваться от одной части системы к другой. Электрическое поле заряженных тел целиком находится вне этих тел — в окружающем их диэлектрике. Магнитное и электрическое поля электрических токов, протекающих по проводникам, существуют и вне проводников, и внутри их. Однако электрическое поле внутри проводников с током связано только с конечным удельным сопротивлением материала этих проводников и, соответственно, определяет потери энергии в проводниках. Энергия же, передаваемая вдоль проводников, целиком относится к электромагнитному полю в среде, окружающей проводники. Электрическая емкость и индуктивность любых элементов электротехнического устройства определяются их электрическими и магнитными полями при заданных зарядах и токах.

Таким образом, рассматривая явление во всей его полноте, во всех случаях необходимо изучать электромагнитное поле исследуемого устройства.

Математическое описание электромагнитных полей хотя и дает нам полную картину явлений, оказывается сложным; этому будет посвящена последняя, четвертая, часть курса.

В большинстве случаев представляется возможным достаточно точно описать процессы в электротехнических устройствах, пользуясь только такими интегральными величинами, как электродвижущая сила e E ñòîð E èíä dl,

B

электрическое напряжение u E dl, электрический заряд q Dds, электриче-

A

ñêèé òîê i ds Hdl, магнитный поток ! Bds, не рассматривая распре-

s s

деления в пространстве и изменения во времени величин Eñòîð, Eèíä, E, D, , H è B, характеризующих электромагнитное поле во всех его точках. Такая возможность возникает вследствие того, что мы обычно стремимся создать определенные, достаточно узкие пути для электрического тока, располагая вдоль этих путей проводники из материалов с высокой электрической проводимостью, окруженных хорошо изолирующей средой, например в линиях электропередачи, в электрических сетях, в обмотках электрических машин и т. д., или помещая

130 Часть 1. Основные понятия и законы теории

вдоль этих путей какие-либо другие хорошо проводящие, ограниченные по размерам устройства, например электронные лампы, полупроводниковые приборы, электролитические ванны и т. д.

Совокупность устройств и объектов, образующих пути для электрического тока, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий об электродвижущей силе, токе и напряжении, называют электрической цепью.

Точно так же мы во многих случаях стремимся создать определенный путь, по которому должны замыкаться линии магнитной индукции, располагая вдоль этого пути тела из ферромагнитного материала с высокой магнитной проницаемостью, окруженные средой со значительно меньшей магнитной проницаемостью, например воздухом. В этом случае представляется возможным с достаточ- ной точностью описывать процесс с помощью таких интегральных понятий, как магнитодвижущая сила iw Hdl и магнитный поток ! Bds.

s

Совокупность устройств, содержащих ферромагнитные тела, электромагнитные процессы в которой могут быть описаны с помощью понятий о магнитодвижущей силе и магнитном потоке, называют магнитной цепью.

Переход от полной картины явлений в электромагнитном поле к упрощенной картине процессов в электрических цепях с учетом допускаемых при этом отклонений от действительной сложной картины явлений и, следовательно, принимаемых при этом абстракций и будет нашей основной задачей в этой главе. Здесь же введем основные общие понятия теории электрических цепей, относящиеся ко всем ее разделам, и дадим им определения. Развитию этой теории посвящаются вторая и третья части настоящего курса.

3.2. Элементы электрических цепей.

Активные и пассивные части электрических цепей

Основными элементами электрических цепей являются источники электромагнитной энергии, устройства для передачи и преобразования электромагнитной энергии и приемники этой энергии.

Источниками электромагнитной энергии являются различные генерирующие устройства, в которых энергия того или иного вида — тепловая, химическая, ядерная, энергия механического движения и т. д. — преобразуется в электромагнитную. Таковыми являются, например, электрические вращающиеся генераторы, гальванические элементы, аккумуляторы, термоэлементы и т. д. В настоящее время разрабатываются новые устройства для прямого преобразования тепловой, ядерной и химической энергии в электромагнитную, такие, как, например, магнитогидродинамические генераторы и топливные элементы.

Передающими электромагнитную энергию элементами цепи являются, например, линии электропередачи, электрические сети, линии связи.

Преобразование электромагнитной энергии осуществляется с помощью трансформаторов, изменяющих напряжение и ток, преобразователей частоты, усилителей, а также ионных и полупроводниковых инверторов, преобразующих постоянный ток в переменный, выпрямителей, преобразующих переменный ток в постоянный, и т. п.