Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

Глава 2. Энергия и механические проявления электрического и магнитного полей

81

такой порядок установления токов и отличный от него такой порядок уменьшения токов вновь до нуля, чтобы энергия, затраченная внешними источниками, была меньше энергии, им возвращенной, что явилось бы нарушением закона сохранения энергии. Поэтому имеем право выбрать порядок установления токов по своему усмотрению. Интегрирование в выражении для работы À проще всего выполнить, если принять, что все токи возрастают пропорционально друг другу, т. е. ip kpik, ãäå kp const. При этом выражение для потокосцепления можно привести к виду

p n		p n
k Lk ik M kp kp ik	Lk	M kp kp ik		mk ik ,
p 1		p 1

ãäå

p n

p k è mk Lk M kp kp const.

p 1

Искомая работа получается равной

	k n	k	k n	ik	k n	m i2
	A ik d k mk ik dik					k k
						2
	k 1	0	k 1	0	k 1

Используя равенство A Wì , находим

1 k n

Wì 2 k 1 ik k .

k n ik k . k 1 2

Следовательно, энергия системы контуров с токами равна полусумме произведений токов в контурах на потокосцепления контуров.

Подставим в полученное нами выражение для энергии Wì выражения потокосцеплений k через токи в контурах и собственные и взаимные индуктивности контуров. Замечая, что Mkp Mpk, получим

W			1	L i2		1	L		i2	. . .	1	L		i2	... M	i i		M	i i		. . . M	i		i		...
						2					2
	ì		2 1 1					2	2				k	k		12 1	2		13 1	3		kp	k		p

Таким образом, энергия системы контуров с токами есть квадратичная функция токов в контурах.

Равенство Mkp Mpk является выражением принципа взаимности для рассматриваемого случая. Справедливость равенства Mkp Mpk можно показать, рассматривая два контура. Устанавливая сначала ток i1, а затем ток i2, получим выражение для энергии L1i12 2 L2 i22 2 M12 i1i2 . Устанавливая ток i2, а затем ток i1, получим L1i12 2 L2 i22 2 M 21i1i2 . Так как энергия магнитного поля контуров не зависит от порядка установления токов, то M12 M21.

Энергию системы токов представляем распределенной в магнитном поле этих токов. Согласно этому, энергию системы токов всегда можно выразить в виде объемного интеграла:

Wì Wì dV ,

V

82 Часть 1. Основные понятия и законы теории

распространенного по всему полю, причем Wì — объемная плотность энергии магнитного поля.

Рассмотрим сначала простейший случай, когда поле можно считать однородным, а именно, рассмотрим тонкий кольцевой соленоид с равномерно распределенной обмоткой, имеющей w витков (рис. 2.3). Пусть s — поперечное сечение сердечника, l — его длина и — абсолютная магнитная проницаемость материала сердечника.

Величину будем предполагать постоянной. При плотной обмотке все поле сосредоточено внутри сердечника и каждая линия магнитной индукции сцепляется со всеми витками обмотки. Следовательно, потокосцепление с обмот-

Ðèñ. 2.3	кой связано с потоком	сквозь сечение сердечника
	соотношением w!.

Энергия, запасенная в такой цепи, равна Wì i/2 !wi/2. Так как в пределах сечения s можно считать магнитную индукцию постоянной, то можно написать ! Âs. Кроме того, на основании закона полного тока имеем wi H dl Hl, òàê êàê H const вдоль сердечника. Таким образом, выражение

для энергии может быть представлено в виде Wì BHsl/2. Величина sl V есть объем пространства, занятого магнитным полем. Следовательно, объемная плотность энергии магнитного поля имеет выражение

W		W	ì		BH		H 2		B 2
										.
ì		V			2		2		2

Для анизотропной среды объемная плотность энергии поля должна иметь выражение

Wì BH2 ,

ãäå ÂÍ ÂÍ cos — скалярное произведение векторов Â è Í, имеющих в общем случае в анизотропной среде различные направления. Угол есть угол между векторами Â è Í.

Покажем, что это выражение для объемной плотности энергии поля справедливо в самом общем случае, когда поле неоднородное в анизотропной среде, т. е. что энергия поля может быть представ-

лена в виде интеграла

BH

Wì V 2 dV ,

распространенного по всему полю.

С этой целью рассмотрим поле катушки, изображенной на рис. 2.4. Представим все поле разделенным на элементарные трубки магнитной индукции. Выделим в одной из

Ðèñ. 2.4 таких трубок элементарный отрезок длиной dl. Пусть ds есть сечение трубки, нор-

Глава 2. Энергия и механические проявления электрического и магнитного полей

83

мальное к ее оси. В пределах бесконечно малого объема dV dsdl отрезка трубки поле можно считать однородным. Пользуясь выражением для объемной плотности энергии, получаем энергию поля в объеме dV:

W dV BH dV BH cos dl ds .
ì	2	2

Вычислим теперь энергию dWì в объеме всей элементарной трубки. С этой целью проинтегрируем полученное выражение вдоль оси трубки. Поток d Bds сквозь сечение трубки имеет постоянное значение вдоль всей трубки и может быть вынесен за знак интеграла. Получаем

dWì		BH cos	dsdl	d !		H cos dl.
		2
	l		2			l

На основании закона полного тока имеем

H cos dl wi,

ãäå w — число витков, с которыми сцепляется данная трубка. Замечая, что wd d есть доля потокосцепления, вносимая данной трубкой в значение потокосцепления всей цепи, получаем

d ! id dWì 2 wi 2 .

Для получения энергии Wì всего поля необходимо просуммировать энергии всех элементарных трубок. Выполняя такое суммирование, находим

Wì id2 2i d i2 ,

т. е. приходим к выражению, полученному на основании закона сохранения энергии.

Таким образом, энергия всего магнитного поля в общем случае может быть представлена в виде интеграла:

BH

Wì V 2 dV ,

где интегрирование распространяется по объему всего пространства, в котором существует магнитное поле.

2.3. Силы, действующие на заряженные тела

Механические силы взаимодействия точечных заряженных тел могут быть вы- числены при помощи закона Кулона. В случаях, когда заряженные тела нельзя рассматривать как точечные, непосредственное применение закона Кулона невозможно. В общем случае вычисление результирующей силы, действующей на данное заряженное тело, может быть выполнено достаточно просто, если известны емкости тел или емкости между телами как функции геометрических координат.

Ранее было указано, что емкость зависит от диэлектрической проницаемости среды и от геометрических величин, обозначенных через g и определяющих

Ðèñ. 2.5

84 Часть 1. Основные понятия и законы теории

форму, размеры и взаимное расположение тел. В дальнейшем будем называть величины g о б о б щ е н н ы м и г е о м е т р и ч е с к и м и к о о р д и н а т а м и системы. Это могут быть линейные перемещения тел по заданному пути, расстояния между телами, углы поворота тел вокруг некоторой оси, поверхности или объемы тел и т. д. При таком обобщенном понимании координат g точно так же и силы f, стремящиеся изменить координаты, должны рассматриваться как о б о б - щ е н н ы е с и л ы. Во всех случаях обобщенная сила f должна удовлетворять основному требованию, чтобы произведение силы на производимое ею изменение координаты равнялось работе, совершаемой силой при этом изменении координаты. В зависимости от выбора обобщенной координаты g и обобщенная сила получает тот или иной смысл. Так, если g — линейное перемещение, то f — обычная механическая сила; если g — угол поворота, то f — момент пары сил; если g — поверхность, то f — поверхностное натяжение; если g — объем, то f — давление.

Наименьшее число обобщенных координат, необходимое для определения положения системы, равно, как известно из механики, числу степеней свободы системы. Так, для тела, перемещающегося по некоторой направляющей, достаточно знать путь, пройденный телом вдоль направляющей от начального положения. Для одного тела, закрепленного на оси, достаточно знать только угол поворота тела вокруг этой оси. Если тело закреплено в точ- ке, то его положение может быть определено тремя углами поворота, и т. д. Каждой обобщенной координате соответствует своя обобщенная сила, стремящаяся изменить именно

эту координату.

Рассмотрим произвольную систему n заряженных тел (рис. 2.5). Предположим, что все заряженные тела, кроме тела Ap, неподвижно закреплены и только тело Ap может перемещаться так, что изменяется одна его координата g. Это изменение координаты g совершается под действием силы f, являющейся результатом взаимодействия заряженного тела Ap со всеми другими заряженными телами системы.

Будем исходить из предположения, что как возможные изменения зарядов тел, так и перемещение тела Ap происходят весьма медленно, теоретически — бесконечно медленно. При этом электрические токи, возникающие на поверхности тел вследствие перераспределения зарядов, бесконечно малы, и, следовательно, можно считать, что потери энергии в проводниках отсутствуют. Предположим также, что изменение напряженности поля в диэлектрике не сопровождается потерей энергии в нем. При этих условиях работа, затрачиваемая внешними источниками энергии на изменения dqk зарядов тел, должна покрывать приращение энергии электрического поля и механическую работу, совершаемую силой f, изменяющей положение тела Ap:

k n

U k dqk dgWý f dg.

k 1

Индекс g у величины dgWý указывает, что рассматривается приращение энергии, соответствующее изменению только одной координаты g системы. Это уравне-

Глава 2. Энергия и механические проявления электрического и магнитного полей

85

ние справедливо независимо от того, каким образом изменяются заряды и потенциалы тела. Оно является выражением закона сохранения энергии применительно к рассматриваемому нами случаю.

Чтобы получить наиболее простое выражение для силы f, предположим, что заряды всех тел остаются неизменными: qk const. Это условие удовлетворяется, если все тела отключены от источников электродвижущей силы. Но тогда dqk 0 и, соответственно, равна нулю работа внешних источников:

k n

U k dqk 0.

k 1

В этом случае
	0 dgWý q const	f dg
èëè	k
	fdg dgWý q	const .	(*)
	k

Общий индекс qk const у приращения энергии указывает, что заряды сохраняются неизменными.

Åñëè dg есть перемещение, происходящее под действием силы f, òî fdg > 0. Из последнего равенства следует, что dgWý < 0, т. е. энергия электрического поля убывает. Действительно, механическая работа при отключенных внешних источниках энергии может совершаться только за счет внутренних запасов энергии в системе, в данном случае за счет энергии электрического поля.

Из равенства (*) получаем

d W		ý			)Wý
	g
f								,
	dg					)g	q const
				qk const
							k

ò. å. механическая сила, стремящаяся изменить данную координату системы, равна уменьшению энергии электрического поля, отнесенному к единице производимого силой изменения координаты, в предположении, что заряды всех тел сохраняются неизменными.

Единицей силы является ньютон (Í).

Рассмотрим еще другой, также весьма важный случай, когда во время движения системы поддерживаются неизменными потенциалы всех тел, т. е. когда Uk const. Такой режим имеет место, когда все тела подключены к зажимам внешних источников ЭДС, напряжения на зажимах которых остаются неизменными. Так как при изменении геометрической конфигурации системы будут изменяться емкости между телами, то при постоянстве потенциалов тел должны изменяться их заряды. Дополнительные заряды могут сообщаться системе только от внешних источников, которые должны на это затратить некоторую работу. Таким образом, все члены уравнения

k n

U k dqk dgWý fdg

k 1

теперь отличны от нуля. Однако если Uk const и диэлектрические проницаемости сред не зависят от напряженности поля, то существует простое соотноше-

86 Часть 1. Основные понятия и законы теории

ние между работой внешних источников и приращением энергии электрического поля. Действительно, энергия электрического поля системы заряженных тел при этом может быть представлена выражением

1 k n

Wý 2 k 1U k qk ,

и, следовательно, ее приращение при постоянстве потенциалов

dgWý				1	k n
					U k dqk ,
	U	const
				2 k 1
	k

т. е. в точности равно половине работы внешних источников. Остальная половина работы внешних источников идет на совершение механической работы fdg. Таким образом, механическая работа равна приращению энергии электрического поля:

fdg dgWý Uk const .

Если в системе происходит перемещение под действием силы f, òî fdg > 0. Приращение энергии при Uk const также оказывается положительным, и энергия поля возрастает.

Из последнего равенства получаем еще одно выражение для механической силы:

)W		ý
f				,
	)g
			Uk const

ò. å. механическая сила, стремящаяся изменить данную координату системы, равна увеличению энергии электрического поля, отнесенному к единице производимого силой изменения координаты, в предположении, что потенциалы всех тел поддерживаются постоянными.

Оба выражения для силы (и это необходимо подчеркнуть) тождественно равны друг другу, т. е. можно написать

)W		ý				)W		ý
f											.
	)g						)g
				q	const						const
									U	k
				k

Сила зависит только от положения тел и значений их зарядов в данный момент и не может зависеть от того, как будет развиваться энергетический процесс в том случае, если система придет в движение под действием силы.

Продемонстрируем тождественность обоих выражений для силы f на примере силы притяжения обкладок конденсатора. Энергия заряженного конденсатора

Cu2 q2

Wý 2 2C ,

ãäå u U1 – U2 — разность потенциалов обкладок конденсатора. От координат явно зависит емкость Ñ конденсатора. Определяя силу по формуле при qk const, воспользуемся выражением энергии через заряд конденсатора. Получаем

Глава 2.

Энергия и механические проявления электрического и магнитного полей 87

)

q2

q2

)

1

q2 )Ñ

u2 )Ñ

f

.

2

2Ñ qconst

2 )g Ñ

2Ñ

)g

2 )g

)g

При определении силы по формуле при Uk const воспользуемся выражением энергии через разность потенциалов. Находим

	)		Cu	2			u	2	)Ñ .
f
			2		uconst	2			)g
	)g

Итак, действительно, оба выражения для силы совершенно одинаковы. Только при взятии производной следует считать постоянными в одном случае заряды, а в другом — потенциалы.

Так как при движении обкладок конденсатора под действием силы f имеем fdg > 0, то из последнего выражения следует, что при таком движении dÑ > 0, т. е. емкость возрастает. Следовательно, механические силы, действующие на обкладки конденсатора, стремятся увеличить емкость конденсатора.

Ценность полученных выражений — в их общности: для вычисления силы нам достаточно только знать, как зависят от координат электрические емкости Ñ, входящие в выражение для энергии электрического поля.

В качестве примера рассмотрим силы взаимного притяжения обкладок заряженного плоского конденсатора. Будем определять силу, действующую на вырезанную центральную часть обкладки, окруженную охранным кольцом, достаточ- но широким, чтобы поле под центральной частью обкладки можно было считать однородным (см. рис. 2.1). Емкость этой центральной части конденсатора равна C s/d (см. § 3.5), причем s — внутренняя поверхность вырезанной части обкладки и d — расстояние между обкладками. Сила, стремящаяся изменить расстояние,

f

u2

)Ñ

u2

s

.

2

)d

2

d 2

Ввиду однородности поля в рассматриваемой системе имеем

u2

E 2 и, стало

d 2

E 2

áûòü, f

s

ED

s. Знак «минус» указывает, что сила действует в сторо-

2

2

ну уменьшения расстояния d, т. е. стремится сблизить обкладки. Абсолютное значение силы, приходящейся на единицу поверхности обкладки,

f' fs ED2

численно равно энергии электрического поля в единице объема диэлектрика.

2.4. Электромагнитная сила

Проводники с электрическими токами, расположенные в магнитном поле, испытывают механические силы. Эти механические силы называют э л е к т р о м а г - н и т н ы м и с и л а м и или э л е к т р о д и н а м и ч е с к и м и с и л а м и. Электромагнитные силы возникают не только в контуре с током, расположенном

Ðèñ. 2.6

88 Часть 1. Основные понятия и законы теории

во внешнем поле, но и в том случае, когда этот контур уединен и поле, его окружающее, определяется током в самом контуре.

К электромагнитным силам относим также механические силы, действующие на тела из ферромагнитного материала, расположенные в магнитном поле, так как, по существу, и в этом случае имеем дело с механическими силами, которые испытывают в магнитном поле электрические токи. В данном случае это элементарные токи, существующие в теле из ферромагнитного материала.

Рассмотрим систему, состоящую из n контуров с токами. Положение контуров определяется необходимым числом обобщенных геометрических координат g. Обобщенной геометрической координатой, как было разъяснено в § 2.3, может быть любая геометрическая величина, определяющая положение системы в пространстве. Механические силы, стремящиеся изменить координаты системы, при этом также должны рассматриваться как обобщенные силы.

Пусть под действием силы f некоторая координата g системы получает приращение dg в направлении действия силы. Предположим, что все остальные координаты системы остаются неизменными. Например, один из контуров системы (рис. 2.6) перемещается в некотором направлении, все же остальные контуры остаются неподвижными. Сила f при этом совершает работу fdg. В результате изменения координаты g в общем случае произойдет изменение энергии магнитного поля контуров с токами на величи- ну dgWì. Индексом g отмечаем, что изменяется только одна геометрическая координата.

Предположим, что в среде, окружающей проводники, отсутствуют необратимые процессы. В таком случае работа внешних источников энергии, действующих на зажимах контуров системы, будет расходоваться на выделение теплоты в контурах, на изменение запаса энергии в магнитном поле и на механическую работу fdg, совершаемую электромагнитной силой:

k n	k n
uk ik dt ik2 rk dt dgWì fdg.
k 1	k 1

Для напряжения uk, создаваемого внешним источником энергии на зажимах k-го контура, имеем

u		i	r	d k	,
	k
			k k	dt

ãäå k — потокосцепление с этим контуром. Следовательно, сумма работ всех источников энергии может быть представлена также в виде

k n	k n	k n
uk ik dt ik2 rk dt ik d k .
k 1	k 1	k 1

Сравнивая между собой оба выражения для суммы работ источников энергии, имеем

Глава 2. Энергия и механические проявления электрического и магнитного полей

89

k n

ik d k dgWì fdg,

k1

ò.е. часть работы источников, связанная с изменением потоков в контурах, затрачивается на изменение энергии магнитного поля и на механическую работу.

Последнее уравнение справедливо независимо от того, каким образом изменяются во времени токи в контурах и потокосцепления контуров. Оно является выражением закона сохранения энергии применительно к рассматриваемому случаю.

Наиболее простые выражения для силы f получаются, если предположить, что либо потокосцепления со всеми контурами, либо токи во всех контурах остаются неизменными.

Пусть при движении контура потокосцепления поддерживаются неизменны-

ìè, ò. å. k const. Так как при изменении координаты изменяются зависящие от нее индуктивности, то, очевидно, для поддержания постоянства потокосцеплений необходимо соответствующим образом изменять токи в контурах. Этот ча-

стный режим интересен тем, что источники энергии совершают работу только на

k n

выделение теплоты в контурах, так как d k 0 è ik d k 0. В частности, если

k 1

бы сопротивления rk всех контуров были равны нулю, то источники энергии были бы совершенно не нужны, так как в сверхпроводящих контурах потоки сохраняются неизменными согласно принципу электромагнитной инерции. В слу- чае k const имеем

0 dgWì k const fdg.

Так как мы рассматриваем перемещение dg под действием силы f, òî fdg > 0 и, следовательно, dgWì < 0, т. е. энергия магнитного поля убывает. Этого и следовало ожидать, так как положительная работа электромагнитной силы может совершаться в данном случае только за счет энергии магнитного поля. Из последнего уравнения получаем

d W		ì		)W		ì
	g
f								,
	dg		const		)g		const
			k				k

ò. å. электромагнитная сила, стремящаяся изменить данную координату системы, равна уменьшению энергии магнитного поля, отнесенному к единице производимого силой изменения координаты в предположении, что потокосцепления контуров сохраняются неизменными.

Предположим теперь, что во всех контурах токи поддерживаются неизменными. При движении под действием электромагнитной силы одного из контуров будут изменяться потокосцепления k и часть работы источников, связанная с изменением потокосцеплений контуров, не будет равна нулю, т. е.

k n

ik d k 0.

k 1

90 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Между значением этой работы и приращением энергии Wì магнитного поля в рассматриваемом случае существует простое соотношение. Мы имели выражение для энергии

1 k n

Wì 2 k 1 ik k .

Ïðè ik const получаем

dgWì			1	k n
				ik d k .
	ik const
			2 k 1

Приходим к замечательному выводу: при постоянстве токов приращение энергии магнитного поля в точности равно половине рассматриваемой части работы, совершаемой источниками энергии. Остальная половина этой части работы источников в соответствии с уравнением

k n

ik d k dgWì fdg

k 1

идет на совершение механической работы. Поэтому

fdg dgWì ik const .

Таким образом, при постоянстве токов получение механической работы связано с неизбежным увеличением запаса энергии в системе, в точности равным совершенной механической работе.

Из последнего равенства получаем еще одно выражение для электромагнит-

íîé ñèëû:
)W		ì
f				,
	)g		i const
			k

ò. å. электромагнитная сила, стремящаяся изменить данную координату системы, равна увеличению энергии магнитного поля, отнесенному к единице производимого силой изменения координаты, в предположении, что токи в контурах поддерживаются неизменными.

Необходимо подчеркнуть, что оба полученные нами выражения определяют собой одну и ту же силу, т. е. можно написать

)W		ì			)W		ì
f									.
	)g					)g		i
				const					const
			k					k

Рассмотрим силу f, действующую на среднюю часть полюса электромагнита, изображенного на рис. 2.7, и стремящуюся изменить расстояние d между полюсами. Из всего полюса вырезаем только его среднюю часть, около которой поле можно счи- тать однородным. Для вычисления силы воспользуемся выражением

Ðèñ. 2.7