Литература / 005_Neuman_TOE_v1_2003

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля

61

и н д у к ц и и. Поток 2M может изменяться либо вследствие изменения тока i1, либо вследствие изменения взаимной индуктивности M21. Соответственно, ЭДС взаимной индукции, возникающая во втором контуре, может быть представлена в виде

d

2M

d M 21i1

M

di

i

dM

21

e

1

.

dt

dt

dt

2M

dt

21

1

Åñëè M21 const, òî e2M

M 21

di1

.

dt

Остановимся еще на общем характере индуцированных ЭДС. Знак «минус» в выражении для индуцированной ЭДС свидетельствует о том, что эта ЭДС стремится вызвать токи, направленные таким образом, чтобы воспрепятствовать изменению магнитного потока. Это положение выражает сформулированный Ленцем п р и н ц и п э л е к т р о м а г н и т н о й и н е р ц и и. В самом деле, предположим, что поток, сцепляющийся с контуром, убывает, т. е. d < 0. В таком случае e – d /dt > 0, и следовательно, возникающая в контуре ЭДС стремится вызвать ток в положительном направлении и тем самым воспрепятствовать убыванию потока. Наоборот, если поток возрастает, то d > 0 è e < 0. В этом случае ЭДС в контуре стремится вызвать ток в отрицательном направлении и этим воспрепятствовать увеличению потока. Мы видим, что индуцированные ЭДС имеют характер сил инерции.

На основании сказанного можно сформулировать принцип электромагнитной инерции в отношении электромагнитных процессов, совершающихся в системе контуров с электрическими токами, а именно: в системе контуров с электриче- скими токами существует тенденция к сохранению неизменными магнитных потоков, сцепляющихся с отдельными контурами системы. При всякой попытке изменить потоки, сцепляющиеся с контурами, в контурах возникают электродвижущие силы, стремящиеся воспрепятствовать этому изменению. В простейшем случае для одного контура с током возникает ЭДС самоиндукции, равная

e d Li L di . dt dt

В простейшем случае, который рассматривается в динамике, а именно, при движении свободной материальной точки, принцип инерции заключается в том, что свободной материальной точке свойственно сохранять свое количество движения. Если под действием внешних сил изменяется количество движения точ- ки, то, вводя в рассмотрение силы инерции, равные и противоположные внешним силам, можно рассматривать эти силы инерции как препятствующие изменению количества движения. Если направление силы совпадает с направлением скорости v, то сила инерции имеет выражение

f d mv mdv , dt dt

ãäå m — масса материальной точки.

Мы видим, что магнитный поток можно рассматривать как количество движения в электромагнитном процессе, индуктивность контура — как коэффици-

62 Часть 1. Основные понятия и законы теории

ент электромагнитной инерции, ток — как электрическую скорость. Электриче- ской координатой системы при этом является электрический заряд q, перенесенный через поперечное сечение контура от некоторого начального момента времени, так как i dq/dt.

Силы инерции наиболее полно проявляются в системе, не имеющей трения. Соответственно, и электромагнитная инерция выявляется наиболее полно в контурах, электрическое сопротивление которых равно нулю. Такую сверхпроводящую цепь можно осуществить на опыте. Явление сверхпроводимости заключа- ется в том, что некоторые металлы, например свинец, олово, ртуть, и сплавы — ниобий—титан, ниобий—олово при весьма низких температурах (порядка нескольких Кельвинов) имеют удельное сопротивление, практически равное нулю.

Положим, что кольцо из одного из перечисленных материалов внесено во внешнее магнитное поле (рис. 1.33) и заморожено, т. е. сделано сверхпроводящим. Пусть при этом с кольцом сцепляется внешний поток M 0 (линии 1– 6). Будем теперь выносить кольцо из внешнего поля. В кольце возникает внешняя ЭДС eM – d M/dt, под действием которой в контуре кольца появляется ток i и образуется поток самоиндукции L. Сумма внешней ЭДС и ЭДС самоиндукции должна быть равна падению напряжения ir в контуре. Так как r 0, то получаем

ddtM ddtL 0,

откуда следует, что

M + L const.

Ðèñ. 1.33

В начальном положении контура M 0 è L 0 (ðèñ. 1.33, à). Следовательно, M + L 0. Когда контур будет вынесен за пределы внешнего поля (рис. 1.33, á), будем иметь M 0 è L Li 0.

Мы видим, что при r 0 электромагнитная инерция проявляется в полной мере — результирующее потокосцепление остается постоянным и лишь совершается преобразование внешнего потока в поток самоиндукции.

1.12. Потенциальное и вихревое электрические поля

Вернемся к основным определениям терминов «электродвижущая сила», «электрическое напряжение» и «разность электрических потенциалов», чтобы ясно себе представить, в каких случаях можно пользоваться тем или иным из них.

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля

63

ЭДС, действующая вдоль некоторого пути, равна линейному интегралу вдоль этого пути напряженности стороннего электрического поля, а также электри- ческого поля, индуцированного изменяющимся магнитным полем. Появление ЭДС может быть обусловлено различными причинами. Если в электрической цепи содержатся участки с электролитической проводимостью, то ЭДС может возникать вследствие электрохимических процессов. В месте контакта двух проводников из различных металлов возникает контактная ЭДС. При изменении магнитного потока в контурах, расположенных в любой среде, возникают ЭДС индукции.

Понятие «электрическое напряжение», или «падение напряжения», связано с результирующим электрическим полем. Электрическое напряжение вдоль некоторого пути от точки A до точки B равно линейному интегралу напряженности результирующего электрического поля (электростатического, стационарного, стороннего, индуцированного) вдоль этого пути.

Необходимо подчеркнуть, что напряжение между двумя точками A è B (рис. 1.34) при переменном магнитном поле зависит от выбора пути, по которому составляем линейный интеграл напряженности электрического поля от точки A ê òî÷- êå B. Действительно, для замкнутого контура AmBnA в переменном магнитном поле имеем

	Edl Edl Edl			d!	,
				dt
	AmBnA	AmB	BnA

ãäå ! — магнитный поток сквозь поверхность, ограниченную этим контуром. Следовательно,

Edl Edl ddt!.

AmB AnB

В виде примера рассмотрим цепь переменного тока (рис. 1.35). Магнитное поле, окружающее проводники такой цепи, изменяется во времени. Поэтому в контурах, которые можно представить мысленно в диэлектрике, индуцируются электродвижущие силы. Вследствие этого напряжение между точками A è B цепи зависит от выбора пути от точки A к точке B. И действительно, показание вольтметра в этом случае, в принципе, зависит от положения вольтметра и соединительных проводников по отношению к контуру цепи. Отсюда ясно, что по отношению к цепям переменного тока, если подходить строго, нельзя говорить о напряжении между двумя точками цепи или о напряжении на зажимах цепи, не делая оговорки, вдоль какого пути определяется напряжение. Однако мы часто пользуемся выражением «напряжение на зажимах цепи переменного тока» без всяких оговорок, так как указанная неопределенность в обычных цепях при низких частотах и не слишком больших токах практически незначительна, если, конечно, не выбирать путей интегрирования в мес-

Ðèñ. 1.34

Ðèñ. 1.35

64 Часть 1. Основные понятия и законы теории

тах, где переменные магнитные поля особенно сильны. Эта неопределенность становится практически ощутимой при очень высоких частотах и при весьма больших токах в цепи. В таких случаях можно говорить только о напряжении между двумя точками цепи вдоль определенного заданного пути.

Как ранее было показано, линейный интеграл напряженности электрического поля совершенно не зависит от выбора пути между точками A è B в электростатическом поле и электрическом поле постоянных токов, протекающих в неподвижных проводниках, если путь интегрирования не проходит через источники ЭДС. В таких полях ЭДС в любом замкнутом контуре, не проходящем через источники ЭДС, равна нулю. Такие поля могут быть полностью охарактеризованы скалярным электрическим потенциалом, т. е. являются п о т е н ц и а л ь - н ы м и полями. По отношению к ним применим термин «разность потенциалов в точках A è B».

Таким образом, понятие «разность потенциалов», применимое только к потенциальным полям или соответственно к потенциальным составляющим результирующего поля, имеет более узкий смысл, чем понятие «напряжение», применимое к любым электрическим полям.

Разность электрических потенциалов двух точек равна линейному интегралу напряженности потенциального (электростатического и стационарного) электрического поля от одной данной точки до другой.

Для потенциального поля понятия «напряжение между точками A è B» и «разность потенциалов в точках A è B», по существу, совпадают.

Рассмотрим несколько подробнее только что высказанные общие положения на конкретном примере цепи, изображенной на рис. 1.35.

Если бы ток в этой цепи был постоянным, то электрическое поле было бы стационарным и потенциальным, т. е. при этом можно было бы написать

E Eñòàö èëè E Eïîò.

Это электрическое поле связано с зарядами на поверхности проводов и в данном случае является результатом падения напряжения в сопротивлении цепи.

Электрическое напряжение между точками A è B в этом случае, как только что было отмечено, не зависит от выбора пути, и напряжение вдоль любого замкнутого контура равно нулю: Edl 0. Последнее согласуется с тем, что ЭДС в

любом заданном контуре e – d!/dt в таком поле равна нулю, так как ! const. Если ток в проводах цепи станет изменяться во времени, то физически это приведет к изменению электромагнитного поля около проводов. В этом переменном поле напряжение между точками A è B в каждый момент времени зависит от выбора пути между этими точками. При этом формально можно результирующее электрическое поле рассматривать как наложение двух полей — стационарного (потенциального) электрического поля, так же, как при постоянном токе, связанного с зарядами на поверхности проводов, и индуцированного (так называемого в и х р е в о г о) электрического поля, вызванного изменяю-

щимся магнитным полем, и соответственно имеем

E Eñòàö + Eèíä èëè E Eïîò + Eâèõð.

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля

65

Для стационарного (потенциального) поля для любого замкнутого контура

E ñòàö dl 0.

Для индуцированного (вихревого) поля

	E èíä dl	d!		0
		dt

и для результирующего поля

E dl E ñòàö + E èíä dl ddt! 0.

При принятом определении понятия «электродвижущая сила» только вели- чина E èíä dl рассматривается как электродвижущая сила. Ее можно предста-

вить как сумму ЭДС на отдельных участках контура, например (см. рис. 1.35) в виде

E èíä dl	E èíä dl E èíä dl.
AmBnA	AmB	BnA

Пользуясь принятыми определениями понятий «напряжение» и «электродвижущая сила», для замкнутого контура имеем

E dl E èíä dl,

(*)

ò. å. напряжение вдоль замкнутого контура равно ЭДС, индуцируемой в этом контуре. Это получается всегда, так как E ñòàö dl 0. Для отдельных же участков

контура напряжение и ЭДС на участке не равны друг другу, например

uAmB E dl	E ñòàö dl E èíä dl		E èíä dl,
AmB	AmB	AmB	AmB

òàê êàê

E ñòàö dl 0.

AmB

Если рассматривать некоторый замкнутый контур электрической цепи, то в нем, помимо ЭДС eèíä, индуцируемых изменяющимся во времени магнитным потоком, могут действовать также сторонние ЭДС eñòîð, например электрохими- ческого или контактного происхождения. При этом вместо уравнения (*) будем иметь

E dl E èíä dl E ñòîð dl.

1.13.Связь магнитного поля с электрическим током

Магнитное поле во всех без исключения случаях связано с электрическим током. Электрический ток и его магнитное поле всегда существуют одновременно и, по сути дела, являются лишь разными характеристиками единого физического процесса. В настоящем параграфе поставим перед собой задачу установить связь между ними.

Ðèñ. 1.36

66 Часть 1. Основные понятия и законы теории

Рассмотрим проводящий контур произвольной формы, по которому протекает электрический ток i (рис. 1.36). Вокруг него существует магнитное поле. Предположим, что контур находится в пустоте.

Составим линейный интеграл магнитной индукции вдоль некоторого замкнутого контура, охватывающего контур с током и изображенного на рисунке штриховой линией. Назовем этот контур контуром интегрирования. Опыт показывает, что независимо от формы контура интегрирования интеграл магнитной индукции вдоль него пропорционален току, охватываемому этим контуром, т. е. имеет место равенство

B cos dl Bdl = 0 i.

Величину 0 назовем м а г н и т н о й п о с т о я н н о й. Она имеет физическую размерность, связанную с размерностью электрической постоянной 0. Действительно, левая часть равенства имеет следующую размерность:

[Bl]

#!&

#ut&

[Et]

#

qt

&.

% (

% (

%

2

l

(

l

l

0

Учитывая размерность электрического тока [i] [q/t], получаем размерность магнитной постоянной:

		#	t2		&	#	1		&
[	0	] %			(	%			(.
				2				2
		+l				+v

Следовательно, размерность 0 равна размерности величины, обратной произведению электрической постоянной 0 на квадрат скорости. Числовое значе- ние величины 0 зависит от выбора системы единиц. Единицей магнитной постоянной в системе СИ является генри на метр (Гн/м). Действительно, из приведенной связи между интегралом магнитной индукции по замкнутому кон-

туру и током i видно, что единицей 0	является Тл	ì		Âá		ì		Âá	. Íî Âá/À
		À	ì2 À					À ì

есть единица индуктивности — генри. В этой системе единиц при рациональной форме уравнений магнитная постоянная имеет значение

0 4 10 7 1257, 10 6 Ãí / ì. Справедливость равенства

Bdl = 0 i

может быть проверена следующим опытом.

Возьмем тонкую гибкую ленту из изолирующего материала. Обовьем эту ленту равномерно по всей ее длине тонкой проволокой (рис. 1.37). Пусть w1 — число витков обмотки на единицу длины ленты, s — сечение ленты, нормальное к ее оси, и dl — элемент длины ленты. Магнитный поток сквозь сечение ленты

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля

67

! Bds. Ввиду малости сечения ленты можно считать

s
в пределах каждого сечения в отдельности поле одно-
родным, т. е. при вычислении потока считать индукцию
постоянной. Следовательно, ! B cos s, ãäå — óãîë
между нормалью к сечению s и направлением вектора B.
Но нормаль к сечению совпадает по направлению с dl.
Следовательно, угол равен углу между направлением
вектора B и касательной T к оси ленты. Итак, поток, про-
низывающий один виток обмотки,	Ðèñ. 1.37

! B cos s. Потокосцепление с витками на отрезке dl ленты

d !w1dl B cos sw1dl. Потокосцепление со всеми витками обмотки ленты на всей ее длине

sw1 B cos dl.

Таким образом, измеряя потокосцепление и зная величины s è w1, получаем возможность измерить интеграл B cos dl вдоль оси ленты. Описанную ленту

для краткости будем называть м а г н и т н ы м п о я с о м. Потокосцепление при постоянном токе i можно измерить с помощью баллистического гальванометра, выключая ток или размыкая ленту и быстро удаляя ее за пределы поля. При переменном токе амплитуду потока можно определить, измеряя амплитуду ЭДС, индуцируемой в обмотке ленты.

Производя опыты с магнитным поясом, убеждаемся, что интеграл Bdl ïî

замкнутому контуру, охватывающему контур с током i, не зависит от формы контура интегрирования и пропорционален току i. Заметим при этом, что если положительное направление обхода контура интегрирования связано с положительным направлением тока i правилом правого винта, то Bdl è i получаются

одного знака. Если контур интегрирования не охватывает тока, то интеграл Bdl

вдоль него равен нулю независимо от формы контура интегрирования. Соотношение Bdl = 0 i выражает неразрывную связь магнитного поля и то-

ка. Действительно, если совместить в магнитном поле контур интегрирования с любой линией магнитной индукции, которая всегда замкнута, и выбрать направление обхода вдоль контура интегрирования в направлении вектора B, то будем иметь Bdl > 0 и, следовательно, i > 0. Таким образом, каждая линия маг-

нитной индукции обязательно охватывает собой электрический ток. Соответственно, электрический ток всегда окружен магнитным полем.

Магнитное поле является основным признаком существования электриче- ского тока. О существовании электрического тока можно судить по различным признакам, например по тепловому или по электрохимическому действию тока. Однако эти проявления тока имеют место лишь при надлежащих условиях, маг-

68 Часть 1. Основные понятия и законы теории

нитное же поле неизменно сопутствует электрическому току. В отдельных слу- чаях можно судить о наличии электрического тока только по его магнитному полю. Таким примером является ток в сверхпроводящем контуре, протекающий без заметного выделения теплоты.

Обобщим соотношение Bdl = 0 i на более сложные контуры. Пусть имеется

несколько контуров с электрическими токами, которые охватываются контуром интегрирования (рис. 1.38). Всегда можно при помощи дополнительных линий разделить этот контур интегрирования на несколько контуров, охватывающих каждый только один ток. Так, изображенный на рис. 1.38 контур ambncpa, охватывающий три тока, можно линиями ad, bd è cd разделить на контуры ambda, bncdb è cpadc, охватывающие каждый по одному току. Имеем

Bdl = 0 i1;	Bdl = 0 i2 ;	Bdl = 0 i3 .
ambda	bncdb	cpadc

Сложим эти равенства. При этом составляющие интегралов вдоль линий ad, bd è cd попарно скомпенсируются и в левой части останется интеграл вдоль контура ambncpa. Получаем

Bdl = 0 i1 i2 i3 .

ambncpa

Правая часть уравнения представляет собой сумму всех токов, проходящих сквозь поверхность, ограниченную контуром интегрирования. На рис. 1.39 эта поверхность заштрихована и обозначена через s. Положительными мы должны считать токи, направленные в сторону поступательного движения правого винта, головка которого вращается в направлении выбранного положительного обхода контура интегрирования, так как при этом направление линий магнитной индукции поля тока совпадает с положительным направлением обхода контура интегрирования. В случае, изображенном на рис. 1.39, токи i1 è i3 положительны, а ток i2 отрицателен.

Ðèñ. 1.38

Ðèñ. 1.39

Ðèñ. 1.40

Может оказаться, что условные положительные направления токов в электри- ческих контурах заданы независимо от выбора положительного направления обхода контура интегрирования. В этом случае в правой части перед алгебраиче- ским выражением каждого тока должен быть поставлен знак плюс или минус в зависимости от того, соответствуют или не соответствуют правилу правого винта условные положительные направления тока и обхода контура интегрирования.

Ðèñ. 1.41

Глава 1. Обобщение понятий и законов электромагнитного поля

69

Рассмотрим важный частный случай, когда имеется катушка, состоящая из w витков, по которым протекает ток i, и контур интегрирования охватывает все витки катушки (рис. 1.40). Сумма токов, проходящих сквозь поверхность s, ограниченную контуром интегрирования, при этом равна wi. Следовательно,

Bdl = 0wi.

1.14.Намагниченность вещества

и напряженность магнитного поля

В предыдущем параграфе был рассмотрен случай, когда магнитное поле контуров с токами существует в пустоте. Опыт показывает, что если те же контуры с теми же токами окружить веществом или хотя бы в части пространства около них расположить тела из того или иного вещества, то магнитное поле в большей или меньшей мере изменяется. Это изменение поля является следствием возникновения в самом веществе под действием внешнего магнитного поля определенной ориентации элементарных внутримолекулярных и внутриатомных электрических токов.

Элементарные токи существуют внутри всякого вещества и при отсутствии внешнего поля. Мы представляем себе эти токи как движение электронов по орбитам внутри атомов вещества и как вращение электронов вокруг своих осей. К понятию «элементарный электрический ток» здесь относим и еще не изученное внутреннее движение в элементарных частицах, которое приводит к появлению магнитных моментов этих частиц, о чем будет сказано в конце этого параграфа. Если элементарные токи внутри вещества ориентированы хаотически, то при макроскопическом рассмотрении явления они не создают магнитного поля. Однако если под действием внешнего поля, в которое вносится вещество, появляется в известной мере согласованная ориентация элементарных токов, то они создают свое дополнительное магнитное поле, которое, налагаясь на внешнее поле, изменяет его.

Существуют вещества, в которых элементарные токи под действием внешнего поля располагаются так, что происходит усиление поля. К ним относятся так называемые п а р а м а г н и т н ы е и ф е р р о м а г н и т н ы е в е щ е с т в а. Существует другая группа веществ, называемых д и а м а г н и т н ы м и, в которых под действием внешнего магнитного поля возникают такие дополнительные элементарные токи, которые ослабляют вызвавшее их поле.

Рассмотрим катушку с током i, имеющую w витков, в которую внесено тело из какого-либо вещества (рис. 1.41).

Составим линейный интеграл магнитной индукции вдоль замкнутого контура AmCnA, охватывающего все витки катушки. Часть AmC контура интегрирования расположена внутри тела и часть CnA — в пустоте.

Под действием магнитного поля, вызванного током i в катушке, тело намагничивается, т. е. элементарные токи в веществе тела ориентируются в известной мере между собой согласованно и создают свое магнитное поле. Сумма элементарных токов, охватывающих

70 Часть 1. Основные понятия и законы теории

линию AmC, будет отличаться от нуля. Обозначим эту сумму через i . Будем иметь:

B dl = 0wi 0 i' .

Пусть di — сумма элементарных токов, охватывающих отрезок dl линии AmC. Величина di /dl представляет собой охватывающий линию AmC элементарный ток, отнесенный к единице длины этой линии в данной ее точке M. Естественно, что величина di /dl зависит от направления линии AmC, т. е. от направления отрезка dl в рассматриваемой точке M. При некотором определенном направлении, которое обозначим единичным вектором n0, величина di /dl имеет наибольшее значение. Обозначим отрезок dl в этом направлении через dn и введем векторную величину

di'

M dn n0 ,

которую назовем н а м а г н и ч е н н о с т ь ю в е щ е с т в а.

Намагниченность вещества по значению численно равна сумме элементарных токов, охватывающих единицу длины линии, проведенной через данную точку в таком направлении, чтобы эта сумма была наибольшей. Направление вектора M и есть такое направление. Оно связано с направлением элементарных токов правилом правого винта. Для произвольного направления отрезка dl имеем

didl' M cos ,

где — угол между направлением вектора M и положительным направлением касательной T к линии AmC в рассматриваемой точке M. Таким образом, сумма элементарных токов, охватывающих всю линию AmC, имеет значение

	i' =	di'	dl	M cos dl	M dl.
		dl
	AmC			AmC	AmC

Так как на участке CnA замкнутого контура интегрирования (см. рис. 1.41) нет элементарных токов, то

M dl M dl i' .

AmCnA AmC

Èòàê,

Bdl = 0wi 0 i' = 0wi 0 M dl

èëè

	B
	0	M dl = wi.

Векторную величину, стоящую в скобках под знаком интеграла, обознача- ют H и называют н а п р я ж е н н о с т ь ю м а г н и т н о г о п о л я. Имеем

HB M.

0