Физика учебное пособие НГТУ

б. Момент импульса кольца

L J ,

(5)

где J mR2 – момент инерции кольца относительно оси вращения, 2 . Искомое отношение

p	m		2 2 R		3		2 R		q	.	(6)
				2			2m		2m
L			2
				R	m

Подставив численные значения, получаем pm=1,5·10-9 А·м2; pLm =2,5·10-7 Кл/кг.

2. По двум одинаковым плоским квадратным контурам со стороной а=20 см текут токи I=10,0 А в каждом. Определить силу F взаимодействия контуров, если расстояние d между соответствующими сторонами контуров равно

2 мм.

Дано				Решение
a=20 см=2·10-1м,				a
I =10,0 А;	-3		I1				d
d=2 мм=2·10
	м	dl		I2
F=?				B2
		dFA

Так как a>>d, то каждую сторону обоих квадратов будем рассматривать как длинные проводники с токами I . Будем считать, что контуры расположены друг над другом. Сила взаимодействия определяется законом Ампера, который

для элементарного участка dl проводника с током I 1 запишется в виде
dFA I1 dl B2 ,	(1)

где B2 – величина индукции магнитного поля, создаваемого ближайшим парал-

лельным проводником с током I 2.

Используя закон полного тока для магнитного поля в вакууме, получаем

B

0 I2 .

(2)

2

2 d

Учитывая, что dl B

2 , выражение (1) совместно с (2) принимает вид

dF

I

dl

0 I2

,

(3)

A

1

2 d

где I 1= I 2= I по условию задачи.

Тогда выражение (3) записывается в виде

dF

0

I 2dl

.

(4)

A

2 d

Сила взаимодействия каждой пары сторон квадратов равна

F

a

0

I 2

dl

0

I

2a

.

(5)

0

A

2 d

2 d

100

Общая сила взаимодействия сторон квадратов равна F 4FA , или

F 2 0 I 2a . Подставив численные значения, получаем

d

F2 4 10 7 102 3 2 10 1 8 10 3 Н .

2 10

3.В круговом витке радиусом R=100 мм, изготовленном из тонкого провода, циркулирует ток I =1,0 А. Найти магнитную индукцию на оси витка в точке, отстоящей от центра на расстоянии a=100 мм.

	Дано						Решение
			Величину		магнитной индукции будем искать,
	R=100 мм=1·10-1м;
	I =1,0 А;	используя закон Био-Савара-Лапласа для элементарно-
	а=100 мм=1·10-1м	го участка dl витка с током I :
	B=?		y
			dBy		dB
			M				x
				a	r
			R
				d			dl
				O
				I		A
				0 I	dl ,r		,		(1)
			dB	4	r3
где r – расстояние от dl			до точки наблюдения М. В точке М вектор dB r							и
	dl . Так как r dl , то (1) запишется в виде
			dB	0 I dl		,			(2)
				4 r2
где dl Rd , r 2 a2		R	2 (из прямоугольного треугольника МОА).
	Проекция вектора dB на ось витка будет
			dBy	dBcos ,					(3)
							R		R
где cos находим из треугольника МОА: cos r , или cos											,
								a 2	R2 12

МАО.

Окончательно выражение (3) принимает вид

101

dBy				0 IR2		d .				(4)
		4 a2 R2 32
Величина dBy находится путем интегрирования (4) по углу от 0 до
2 :				0 IR2
	2
By								d .		(5)
			3
0			4 a2 R2 2
	By			0 IR2
						.				(6)
				2 a2 R2 32
Подставив численные значения, получаем
By	4 10 7 1 10 1 2							2,2 10	6	Тл.
	2 10 1 2 10 1 2 32

В силу симметрии системы dBx 0 и вектор B направлен вдоль оси y.

4. Круговой виток радиусом R=15,0 см расположен относительно бесконечно длинного провода так, что его плоскость параллельна проводу. При этом нормаль n к плоскости витка направлена точно на провод. Сила тока в проводе I 1=1,0А, сила тока в витке I 2=5,0А. Расстояние от точки О (центра витка) до провода d=20,0см. Определить магнитную индукцию в центре витка.

	Дано					Решение
						I2
	R=15 см=0,15 м;
	I 1=1,0 А;				B	O
	I 2=5,0 А;				1
					B2
	d=20,0 см=0,2м						d
	B0=?
						I1	B1 магнитной
	В точке О магнитная индукция определяется вектором
индукции, создаваемой током I 1, протекающим по длинному тонкому проводу,
и вектором B2 магнитной индукции, создаваемой током I 2 в центре кругового
витка. Общая индукция в точке О определяется по принципу суперпозиции
или по модулю			B0		B1	B2	(1)
		B	0		B2	B2 ,	(2)
так как B1 B2 .					1	2
	Величину B1 находим, используя закон полного тока для магнитного
поля в вакууме

102

S

Рис.11.1

						B1dl 0 I1 ,																				(3)
откуда						L
								B 0 I1 .
																										(4)
										1		2 d
Величину B2
	в центре кругового тока найдем из решения предыдущей
задачи 5, положив в формуле (6) а=0:											0 I2 .
								B																		(5)
									2			2R
Общая индукция в точке О составит
				I	2					I		2				I			1		2	I	2	2
B			0		1				0		2				0									.
0	2 d							2R						2		d					R
Подставив численные значения, получаем
B0		4 10 7									1					5 2					21,0 10				6	Тл.
					2			0,2 2								0,15

11.ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ

11.1.Основной закон электромагнитной индукции

Рассмотрим контур, помещенный в магнитное поле с индукцией B

(рис. 11.1). При всяком изменении магнитного потока Φ через площадь S поверхности, ограниченной контуром, в последнем возникает ЭДС индукции

	i d	,			(11.1)
n	dt
			Ф ΒdS BndS ;
	где магнитный поток
dS	B			S	S
	Bn Bcos – проекция вектора			B на нормаль n

к площадке dS ; – угол между векторами B и n .

Соотношение (11.1) называется основным законом электромагнитной индукции.

Если контур образуется N витками проводника, вводится понятие потокосцепления N , тогда (11.1) можно записать следующим образом:

i	d	.	(11.2)
	dt

Единицей магнитного потока является вебер (Вб). При скорости изменения магнитного потока 1 Вб за 1 с в контуре индуцируется ЭДС, равная 1В.

103

Если контур замкнутый, то в нем возникает электрический ток, назы-

ваемый индукционным.

Используя закон Ома для полной цепи и основной закон электромагнитной индукции (11.1), можно получить выражение для индукционного тока:

Ii	i		1	dФ .	(11.3)
	R		R dt

В соответствии с правилом Ленца индукционный ток всегда направлен так, чтобы противодействовать причине, его вызывающей. В этом смысле индукционный ток создает магнитный поток, препятствующий изменению магнитного потока, вызывающему ЭДС индукции.

Возникновение индукционного тока в замкнутом контуре свидетельствует о том, что изменяющееся во времени магнитное поле вызывает в контуре появление сторонних сил. Такие силы обусловлены возникающим в проводе

вихревым электрическим полем E . Именно это поле и ответственно за появление ЭДС индукции в неподвижном контуре при изменении во времени магнитного поля. Максвелл предположил, что изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению в пространстве электрического поля независимо от проводящего контура. Последний лишь позволяет обнаружить по возникновению в нем индукционного тока существование этого электрического поля.

В отличие от кулоновского поля обозначим это поле Eст . Циркуляция вектора Eст по любому неподвижному контуру определяется как

			dФ	.	(11.4)
Eстdl			dt
L

В общем виде закон электромагнитной индукции запишется следующим образом:

			d
Eстdl				BdS ,		(11.5)
L			dt S

где L – контур, ограничивающий площадку S.

11.2. Самоиндукция. Индуктивность

Самоиндукцией называют возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении силы тока в нем.

При отсутствии вблизи контура с током ферромагнетиков полный маг-

нитный поток Ф через контур пропорционален силе тока I :
Ф LI ,	(11.6)

104

где L – коэффициент, называемый индуктивностью контура. Индуктивность L зависит от размеров и формы контура, а также от магнитных свойств окружающей среды. Единицей индуктивности является генри (Гн).

При изменении магнитного потока в контуре возникает ЭДС самоиндукции S :

	S	dФ		d		LI .
		dt		dt
	Если при этом индуктивность L не изменяется, то
	S L dI .					(11.7)
			dt

11.3. Взаимная индукция

Взаимной индукцией называют возникно-

вение ЭДС индукции в одном контуре при изменении силы тока, протекающего по другому контуру.

Рассмотрим два неподвижных друг относительно друга контура (рис.11.2), по одному из которых течет ток I1 , создающий магнитное поле

Β1 . Согласно (10.12), Β1 ~ I1 , поэтому величина магнитного потока, созданного током I1 и пронизывающего площадку контура 2 Ф21 ~ I1 . Тогда

можно записать:

Ф21 L21I1 ,

где коэффициент пропорциональности L21 назы-

B1

Контур 2

Контур 1 I1

Рис. 11.2

(11.8)

вают взаимной индуктивностью контуров. Взаимная индуктивность зависит от формы и размеров обоих контуров, их взаимного расположения, магнитной проницаемости окружающей среды и измеряется, как и индуктивность, в генри

(Гн).

Задав ток I2 в контуре 2 и проведя аналогичные рассуждения для потока Ф12 , созданного током I2 и пронизывающего площадку контура 1, запишем:

Ф12 L12 I2 .

(11.9)

При отсутствии ферромагнетиков коэффициенты L12 и L21 равны между

собой ( L12 L21 ).

Если сила тока в одном из контуров будет изменятся, то в другом контуре возникнет ЭДС индукции:

i1 dФdt12 L12 dIdt2 ,

105

i2 dФdt21 L21 dIdt1 .

11.4.Энергия магнитного поля

При отсутствии ферромагнетиков, т.е. при наличии линейной зависимости между магнитной индукцией B и напряженностью магнитного поля H ( B 0 H ), энергия магнитного поля выражается формулой

				W			BH dV ,					(11.10)
		BH				V	2
	где величина w		называется объемной плотностью энергии магнитного
		2
	поля.
	Объемную плотность энергии w можно записать в виде
			w	BH		B2				0	H 2
											.	(11.11)
				2
						2 0				2

Контур с индуктивностью L, по которому течет ток I, в отсутствии ферромагнетиков обладает энергией

W	1 LI 2	,	(11.12)
	2

которая называется магнитной энергией тока.

11.5. Теория Максвелла для электромагнитного поля

Из закона Фарадея следует, что любое изменение сцепленного с контуром потока магнитной индукции приводит к возникновению электродвижущей силы индукции и вследствие этого появляется индукционный ток. Следовательно, возникновение ЭДС электромагнитной индукции возможно и в неподвижном контуре, находящемся в переменном магнитном поле. Однако ЭДС в любой цепи возникает только тогда, когда в ней на носители тока действуют сторонние силы — силы неэлектростатического происхождения. Поэтому встает вопрос о природе сторонних сил в данном случае.

Опыт показывает, что эти сторонние силы не связаны ни с тепловыми, ни с химическими процессами в контуре; их возникновение также нельзя

106

объяснить силами Лоренца, так как они на неподвижные заряды не действуют. Д. Максвелл высказал гипотезу, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве электрическое поле, которое и является причиной возникновения индукционного тока в контуре. Согласно представлениям Максвелла, контур, в котором появляется ЭДС, играет второстепенную роль, являясь своего рода лишь «прибором», обнаруживающим это поле. Но должно существовать и обратное явление: всякое изменение электрического поля должно вызывать появление в окружающем пространстве вихревого магнитного поля. Для установления количественных соотношений между изменяющимся электрическим полем и вызываемым им магнитным полем Максвелл ввел в рассмотрение так называемый ток смещения, способный создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

Следует отметить, что название «ток смещения» является условным, а точнее — исторически сложившимся, так как ток смещения по своей сути — это изменяющееся со временем электрическое поле. Ток смещения поэтому существует не только в вакууме или диэлектриках, но и внутри проводников, по которым проходит переменный ток. Однако в данном случае он пренебрежимо мал по сравнению с током проводимости. Наличие токов смещения подтверждено экспериментально А. Эйхенвальдом, изучавшим магнитное поле тока поляризации, который является частью тока смещения.

Введение Максвеллом понятия тока смещения привело его к завершению созданной им макроскопической теории электромагнитного поля. В основе теории Максвелла лежат уравнения, объединенные в так называемую систему уравнений Максвелла. Полная система уравнений Максвелла приведена в приложении.

Теория Максвелла, являясь обобщением основных законов электрических и магнитных явлений, не только смогла объяснить уже известные экспериментальные факты, что также является важным ее следствием, но и спрогнозировать новые явления. Одним из важных выводов этой теории явилось существование магнитного поля токов смещения, что позволило Максвеллу предсказать существование электромагнитных волн — переменного электромагнитного поля, распространяющегося в пространстве с конечной скоростью. В дальнейшем было доказано, что скорость распространения свободного электромагнитного поля (не связанного с зарядами и токами) в вакууме равна ско-

рости света с = 3 108 м/с. Этот вывод и теоретическое исследование свойств электромагнитных волн привели Максвелла к созданию электромагнитной теории света, согласно которой свет представляет собой также электромагнитные волны. Электромагнитные волны на опыте были получены немецким физиком Г. Герцем, доказавшим, что законы их возбуждения и распространения полностью описываются уравнениями Максвелла. Таким образом, теория Максвелла была экспериментально подтверждена.

Теория Максвелла и ее экспериментальное подтверждение приводят к единой теории электрических, магнитных и оптических явлений, базирующейся на представлении об электромагнитном поле.

107

Уравнения Максвелла

Полная система уравнений Максвелла в интегральной и дифференциальной форме приведена в табл. 11.1.

Таблица 11.1

Интегральная форма

Дифференциальная форма

B

B

Edl

t

dS

rotE

t

L

S

D

Hdl

D

rotH j

t

j

dS

L

S

t

dV

divD

DdS

S

V

divB 0

BdS

0

S

Величины, входящие в уравнения Максвелла, не являются независимыми, и между ними в случае изотропных сред существует следующая связь:

D 0 E ; B 0 H ; j E ,

где 0 и 0 — соответственно электрическая и магнитная постоянные; и —

соответственно относительные диэлектрическая и магнитная проницаемость среды; — удельная проводимость среды.

Если заряды и токи распределены в пространстве непрерывно, то обе формы уравнений Максвелла — интегральная и дифференциальная — эквивалентны. Однако если имеются поверхности разрыва – поверхности, на которых свойства среды или полей меняются скачкообразно, то интегральная форма уравнений является более общей.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме предполагают, что все величины в пространстве и времени изменяются непрерывно. Чтобы достичь математической эквивалентности обеих форм уравнений Максвелла, дифференциальную форму дополняют граничными условиями, которым должно удовлетворять электромагнитное поле на границе раздела двух сред:

Dn1 Dn2 , E 1 E 2 , Bn1 Bn2 , H 1 H 2

(первое и последнее уравнения отвечают случаям, когда на границе раздела нет свободных электрических зарядов, ни токов проводимости).

Интегральная форма уравнений Максвелла содержит эти условия.

11.6. Примеры решения задач

1. В однородном магнитном поле ( B 200 мТл) равномерно с частотой600 мин-1 вращается рамка, содержащая N 1200 витков, плотно прилегающих друг к другу. Площадь рамки S 100 см2. Ось вращения лежит в плоскости рамки и перпендикулярна линиям магнитной индукции. Определить максимальную ЭДС, индуцируемую в рамке.

108

	Дано							Решение
	В=200мТл=2·10-1Тл;					Согласно закону электромагнитной индукции,
	=600мин-1=10с-1;						i d ,			(1)
	N=1200;
	S=100 см2=1·10-2м2							dt
				где потокосцепление N ; BndS BdS cos
	imax =?
									S	S
				– магнитный поток через один виток; Bn – проекция
	вектора B на нормаль n к плоскости рамки;							– угол между векторами B и n .
	Пусть (t 0)			0, тогда в произвольный момент времени t						угол t ,
	где 2 – угловая скорость вращения рамки. Так									S
	как магнитное поле, в котором находится рамка, одно-
	родно, то										B
	N BdS cos NB cos dS NBS cos(2 t) .(2)									n
	S				S		2 NBS sin(2 t) ,
	Подставив (2) в (1), получаем i
	откуда	максимальное			значение		ЭДС	индукции
	i max 2 NBS 151 В.
	2.	Внутри длинного соленоида на-							O'
	ходится катушка из N витков с площадью
	поперечного сечения S. Катушку повора-
	чивают с постоянной угловой скоростью								S
	вокруг оси OO' (рис.1), совпадающей с
	ее диаметром и перпендикулярной оси
	соленоида. Найти ЭДС индукции в ка-
	тушке, если индукция магнитного поля в
	соленоиде меняется во				времени как				O
	B B0 sin t и в момент t				0 ось катушки
	совпадала с осью соленоида.							Рис. 1
	Дано							Решение
	N; S; ω const ;			Согласно закону электромагнитной индукции,
	B B0 sin t							i d ,
	i =?							dt
				где N – полный магнитный поток сквозь катушку
		n				(потокосцепление); BndS BdS cos –
				Ось				S		S
						магнитный поток через один виток катушки;
				соленоида			Bn – проекция вектора		B на нормаль		n к
				B		плоскости витка (рис.2);			t	– угол меж-
			Рис.2			ду векторами B и n (здесь учли, что в мо-
						мент времени t 0 ось катушки совпадала с
						осью соленоида, т.е. (t			0) 0).

109