Физика учебное пособие НГТУ

x2	2	x y			cos	y2		sin	2	.	(12.48)
2		A B				B	2
A

Определим форму траектории для некоторых частных случаев.

1. Разность фаз равна нулю. В этом случае уравнение (12.48) принимает вид

x				y 2		0 ,
A				B
откуда получается уравнение прямой			B x .
y						(12.49)
			A

Результирующее движение точки является гармоническим колебанием, происходящим вдоль этой прямой с частотой и амплитудой, равной

A2 B2 (рис. 12.13).

2. Разность фаз равна . Уравнение (12.49) принимает вид

	x			y 2		0 ,
	A
				B
откуда получается уравнение прямой	y B x .
							(12.50)
					A

Результирующее движение представляет собой гармоническое колебание вдоль прямой (рис. 12.14).

	y		y
	А		А
		В	В
В	0	x	0	В	x
	А		А
	Рис. 12.13		Рис. 12.14

3. При 2 уравнение (12.48) переходит в

x2		y2
				1,	(12.51)
2		B	2
A

т.е. в уравнение эллипса, оси которого совпадают с координатными осями, причем полуоси эллипса равны соответствующим амплитудам колебаний. При равенстве амплитуд А и В эллипс вырождается в окружность.

130

12.5.Примеры решения задач

1.Некоторая точка движется вдоль оси х по закону x Asin 2 ωt π4 .

Найти:

а) амплитуду и период колебаний; изобразить график x(t) ;

б) проекцию скорости Vx как функцию координаты x ; изобразить график Vx (x) .

Дано

4

Решение

x Asin 2 ωt π

Преобразуем функцию x(t) :

а) график x(t) ;

x Asin

2

1

cos 2(ωt π

4)

б) график Vx (x) .

ωt π 4 A

2

2

A

A

cos(2ωt π 2)

A

A

sin 2ωt.

2

2

2

2

Откуда амплитуда колебаний x0

A

, период колебаний

T

2π

π

.

2

2ω

ω

Найдем проекцию скорости Vx как функцию времени t:

Vx dxdt A cos 2 t .

Тогда

Vx2 (A )2 cos2 2 t (A )2 1 sin2 2 t .

	Учитывая, что sin(2 t) 1			x	, получаем:
				A/ 2
				x		2	V 2
	1						x	1
				A/ 2			( A )2

– уравнение эллипса на плоскости (x, Vx ) .

Графики x(t) и Vx (x) приведены на рисунках.

131

	x
	X		V x
	А
		A

А/2

O	А	x
		X

O

2

t

2. Материальная точка массой m 1 г совершает колебания вдоль оси x по

закону x Asin 0t . Амплитуда колебаний	A 10 см, период колебаний
T 4 с. В момент времени t 1 с найти:

а) силу F, действующую на данную точку; б) кинетическую энергию Т точки.

Дано

m 1 г=1·10-3 кг;

x Asin 0t ;

A 10 см=1·10-1м;

T 4 с; t 1 с

F(t) ? Т(t) ?

Тогда

Решение

Согласно второму закону Ньютона, записанному в проекции на ось X, вдоль которой материальная точка массой m совершает гармонические колебания,

Fx max ,

где Fx – проекция на ось X силы, действующей на данную точку, ax – проекция ускорения точки:

ax d 2 x	A 02 sin 0t .
dt 2

Fx mA 02 sin 0t .

Следовательно, величина силы, действующей на точку,

F Fx mA 02 sin 0t .

Здесь круговая частота колебаний 0 2T , 0 2 с-1.

Кинетическая энергия материальной точки определяется по формуле

Т mV2 x2 ,

132

где Vx dxdt A 0 cos 0t – скорость точки. Таким образом,

		Т	mA2 2
				2	0 cos2 0t .
В момент времени t 1 с
F 1 10 3				2					0,25 мН;
		0,1			sin	2		1
				2
Т	1 10 3	0,12 ( / 2)2					2			0 Дж.
		2			cos				1
								2

3. Неподвижное тело, подвешенное на пружинке, увеличивает ее длину на l 40 мм. Найти период малых вертикальных колебаний тела.

Дано Решение

l 40 мм =4·10-2м

T=?

В положении равновесия сила упругости Fупр , действующая на тело со стороны растя-

нутой на l 40 мм пружины, уравновешивается силой тяжести mg , где m – масса тела, поэтому

Fупр			40мм
	l
0
y	mg

l mg ,	(1)
где – коэффициент жесткости пружины. Откуда
mg .	(2)
l

Выведем тело из положения равновесия и отпустим. Будучи освобожденным, тело начнет совершать вертикальные колебания относительно положения равновесия. Смещение тела из положения равновесия обозначим y. Запишем второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось y, направленную вниз:

may ( y l) mg ,

(3)

где ay d 22y y . dt

С учетом (1) уравнение (3) примет вид

		m y 0 .			(4)
	y

Подставляя (2) в (4), получаем:

133

						g
						l y 0 ,					(5)
					y
	g	Уравнение (5) является уравнением						гармонического			осциллятора, где
		ω02 . Круговая частота колебаний 0						g		, тогда период колебаний
	l							l
		T	2π	2π	l ;	Т 2π			0,04 0,4 (с).
			ω0		g					9,8

4. Колебательный контур состоит из катушки индуктивности L = 25 мГн, конденсатора емкостью C = 10 мкФ и резистора. Определить сопротивление резистора, если известно, что амплитуда тока в контуре уменьшилась в e раз за 16 полных колебаний.

Дано

Решение

L = 25 мГн = 25·10-3Гн;

Число

колебаний,

совершаемых за время

C = 10 мкФ=10-5Ф;

уменьшения амплитуды силы тока в e раз,

Ne = 16

Ne

,

R=?

T

где 1

− время релаксации;

T

2

− период затухающих колебаний,

02 2

1

− собственная частота колебательного контура;

R

− коэффици-

0

LC

2L

ент затухания.

Подставив эти выражения, получим

2L

1

R2

1

4L

Ne

R

LC

4L2

1 ,

2

2

R2C

отсюда искомое сопротивление

R 2 L . C(1 4 2 Ne2 )

Подставив численные значения, получим

R 2 25 10 3 =0,995Ом. 10 5 (1 4 2162 )

5. При неизменной амплитуде вынуждающей периодической силы амплитуда вынужденных колебаний величины заряда на обкладках конденсатора при частотах 1 100 рад/с и 2 300рад/с одинакова. Найти резонансную

частоту рез .

134

Дано

Решение

1

100 рад/с;

Резонансная

частота

рассчитывается по формуле

2

300рад/с;

2 2 2 ,

где

1

,

R

. Резонансную часто-

qm

1 qm 2

рез

0

0

LC

1

2L

R2

рез =?

ту можно определить, как рез

LC

2L2

.

Амплитуда колебаний заряда на обкладках конденсатора, как функция частотывынуждающих колебаний имеет вид

			qm						0					.
					R		2		L		1		2
										C
Используя условие задачи qm 1 qm 2									, приходим к выражению
2	2			1		2			2	2					1		2
1			1L					2 R
	R			C							2 L					C .
				1											2

Возведя левую и правую части полученного уравнения в квадрат, раскрыв скобки и выполнив очевидные сокращения, получим:

12 R2 14 L2 2 12 CL 22 R2 42 L2 2 22 CL .

Сгруппировав слагаемые следующим образом ( 14 42 )L2 ( 12 22 )(2 CL R2 ) с учетом равенства ( 14 42 ) ( 12 22 )( 12 22 ) получим:

( 2	2 )		1		R2	.
1	2
	2		LC		2L2

Левая часть этого равенства представляет собой квадрат резонансной частоты. Таким образом,

2	2	224 рад/с.
рез 1	2
	2

6. Найти амплитуду А колебаний, которые возникают при сложении двух колебаний, происходящих в одном направлении а1 t 3cos t 3 , см и

а2 t 8sin t 6 , см.

	Дано	Решение
	а1 t 3cos t 3 , см;	Введем обозначения: амплитуда первого коле-
	а2 t 8sin t 6 , см	бания А1=3,0 см; второго А2=8,0 см. При сложении
		двух гармонических колебаний одного направления
	А = ?
		амплитуда результирующего колебания

135

А А12 А22 2А1 А2 cos 2 1 ,

где 1 / 3 .

При этом второе колебание необходимо описать, используя функцию косинуса, как и первое колебание. Тогда

sin t / 6 cos t / 6 / 2 cos t 5 / 3 и 2 5 / 3.

Подставив численные значения, получаем:

			А	9 64 48cos 5 / 3 / 3 7 см.
7. Точка			участвует	в двух	взаимно ортогональных	колебаниях
x sin t и			y sin t . Найти траекторию результирующего движения точ-
ки.
Дано					Решение
x sin t ;			Из уравнений колебаний
y sin t			и		x sin t	(1)
y=y(x) = ?					y sin t	(2)
исключаем время t. Для этого преобразуем уравнение (1):
				x sin t sin t .		(3)
Подставляя (3) в (2), получаем
					y=-x.	(4)
Таким образом, траекторией движения точки является прямая.
				y
				1	1
				-1 0
					x
				-1

136

Рис. 13.2

Рис 13.1

Раздел третий

ВОЛНЫ. ОПТИКА. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ ФИЗИКИ

13. ВОЛНЫ

13.1. Упругие волны

Процесс распространения колебаний в сплошной среде, периодический во времени и пространстве, называется волновым процессом. Физически волны можно представить как изменения состояния среды (возмущения), распространяющиеся в этой среде и несущие с собой энергию. Наиболее часто встречающиеся виды волн: упругие волны, возникающие в упругой (твердой, жидкой или газообразной) среде, волны на поверхности жидкости и электромагнитные волны. Упругие волны – механические возмущения, распространяющиеся в упругой среде. Частным случаем упругих волн являются звуковые волны и сейсмические волны.

Основное свойство всех волн, независимо от их природы, состоит в том, что в волнах осуществляется перенос энергии без переноса вещества (последнее может иметь место лишь как побочное явление).

Волны могут различаться по тому, как возмущения ориентированы отно- сительно направления их распространения.

Если частицы среды колеблются в направ-

лении распространения волны, то волна называ-

ется продольной (рис. 13.1). Примером продоль-

ных волн являются звуковые волны в газах. При распространении волны вдоль натяну-

той струны смещение точек струны происходит в направлении, перпендикулярном струне (рис.13.2). Волны такого типа называют поперечными.

В жидкостях и газах упругие силы возникают только при сжатии (разряжении) и не возникают при сдвиге. Поэтому упругие деформации в

жидкостях и газах могут распространяться только в виде продольных волн («волны сжатия»).

В твердых телах, в которых упругие силы возникают также при сдвиге, упругие деформации могут распространяться не только в виде продоль-

ных волн, но и в виде поперечных («волны сдвига»).

Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые части пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t, называется фронтом волны. Фронт волны представляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой колебания еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинако-

137

вой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один. Волновые поверхности остаются неподвижными, волновой фронт все время перемещается. Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости, цилиндра или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской, цилиндрической или сферической. В плоской волне волновые поверхности представляют собой множество параллельных друг другу плоскостей, в сферической волне – множество концентрических сфер.

Волна, в отличие от колебания, описывается функцией, зависящей от времени и от координаты пространства. В случае плоских волн, распрастраняющихся вдоль оси z, эта функция имеет вид:

z,t Acos t kz ,		(13.1)
где А – амплитуда волны, – круговая частота, k 2		– волновое число (по-

стоянная распространения), – длина волны, –начальная фаза колебаний.

Знак « минус » перед kz в (13.1) означает, что волна распространяется от источника колебаний. Величина

представляет собой отклонение ко-
леблющихся частиц среды от поло-
жения равновесия. Из (13.1) видно,
что положение частиц изменяется по	0	А			В z2	z
гармоническому закону и во времени		z1
(при фиксированной координате) и в
пространстве (в фиксированный мо-					V
мент времени).			Рис. 13.3

Если для двух точек А и В

(рис. 13.3) выполняется условие z1t z2t , то в силу цикличности тригонометрических функций разность аргументов

t kz1 t kz2 2 .

Отсюда

z	2	z	2	k	.	(13.2)
		1

Таким образом, длина волны есть минимальное расстояние между двумя точками пространства, колеблющимися с разностью фаз, равной 2 .

Иначе понятие длины волны можно ввести следующим образом: расстояние, на которое распространяется определенное значение фазы за период коле-

бания. Следовательно,
VT ,	(13.3)
где V – фазовая скорость распространения волны.

138

График, представленный на рис. 13.3, будет выглядеть одинаково как для продольной, так и для поперечной распространяющейся (бегущей) волны.

Для гармонических колебаний (волн)

T 2		,	(13.4)
где 2 , – частота колебаний источника.
Из (13.3) и (13.4) получаем выражение для фазовой скорости:
V .			(13.5)

13.2. Стоячие волны

Если в среде распространяются одновременно несколько волн, то эти волны могут накладываться одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

В случае, когда волны имеют постоянную во времени разность фаз, они называются когерентными. При сложении когерентных волн возникает явление интерференции, заключающееся в том, что колебания в одних точках пространства усиливают, а в других точках ослабляют друг друга.

Интересный вариант интерференции наблюдается при наложении двух встречных волн с одинаковыми частотами и амплитудами. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная волна, накладываясь друг на друга, создают стоячую волну.

Напишем уравнения двух волн, распространяющихся вдоль оси z в противоположных направлениях:

1 Acos t kz 1 , 2 Acos t kz 2 .

Сложив вместе эти уравнения и преобразовав результат по формуле сложения косинусов, получаем

					2				t		2		. (13.6)
		2	2Acos kz			1	cos			1
1						2				2

Выражение (13.6) есть уравнение стоячей волны. Для проведения анализа этого явления упростим его. Для этого выберем начало отсчета z так, чтобы разность 2 1 стала равной нулю, а начало отсчета времени t так, чтобы

оказалась равной нулю сумма 1 2 . С учетом того, что волновое число k 2 , уравнение (13.6) примет вид

		z
	2Acos2		cos t ,	(13.7)

где амплитуда стоячей волны есть 2Acos2 z . В точках пространства, коорди-

наты которых удовлетворяют условию

139