3 семестр ЭКТ / Физика. Оптика / Методические материалы и лекции / Практикум по решению задач

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

СИБИРСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИНСТИТУТ ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ПОДГОТОВКИ

Кафедра общей физики

Л.М.Образцова, Л.Т.Сухов

ОБЩАЯ ФИЗИКА ОПТИКА

ПРАКТИКУМ ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

Учебное пособие

Красноярск 2007

Предисловие

Познание природы сложных и многообразных оптических явлений немыслимо без решения практических задач. В ходе их решения углубляется понимание законов, прививаются навыки их использования, формируются представления о порядках физических величин и соотношениях между ними. Каждая задача представляет упрощенную модель, описывающую реальное физическое явление, поэтому анализ этих упрощений способствует восприятию законов.

Предлагаемый практикум по решению задач максимально согласован с лекционным курсом, но в то же время автономен по своим целям и задачам. Пособие построено в соответствии с идеей модульного обучения. Весь материал курса «Оптика» разбит на организационно-методические структурные единицы. Каждая единица содержит:

Краткое изложение теоретического материала, которое предполагает самостоятельную работу с классическими учебниками и помогает ориентироваться в них.

Анализ основных типов задач и методы их решения.

Примеры решения задач различных типов, запись и оформление результатов, построение иллюстрирующих схем.

Задачи для самостоятельной проработки. Содержание некоторых из них способствует формированию навыков работы со справочным материалом.

Проведенный анализ типов задач позволяет упорядочить и освоить приемы их решения и выйти на самостоятельный уровень. Предлагаемые для самостоятельной проработки задачи носят разноуровневый характер, что дает возможность обучающимся выбрать индивидуальный план и темп прохождения курса.

Вцелом содержание и структура практикума направлено на эффективную организацию и учет самостоятельной работы студентов.

Учебное пособие предназначено для студентов физических и физикотехнических специальностей университетов, оно также может быть полезно для начинающих преподавателей.

Часть задач практикума являются оригинальными, условия остальных взяты, в основном, из книг:

И.Е.Иродов «Задачи по общей физике»,

«Сборник задач по общему курсу физики» Ч.2. под редакцией В.А.Овчинкина.

2 E .t2

1. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ПРИРОДА СВЕТА. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СВЕТОВЫХ ВОЛН

1.1. Теоретический материал

Оптикой называют учение о физических явлениях, связанных с распространением коротких электромагнитных волн. Выделение узкой области от 0,4 до 0,7 мкм (видимого света) не имеет особого смысла. Несмотря на различие способов генерирования и регистрации электромагнитных волн разного типа законы их распространения задаются одними и теми же уравнениями Максвелла. Свойства среды учитываются введением материальных констант: ε и μ – относительные диэлектрическая и

магнитная проницаемости, – удельная проводимость.

Переход излучения из одной среды в другую определяется граничными условиями для векторов напряженности электрического и магнитного полей. Метод Максвелла позволяет построить единую теорию распространения электромагнитных волн и применить ее для описания основных свойств света.

Запишем уравнения Максвелла для волн, распространяющихся в однородном диэлектрике ( = 0), не содержащем объемных зарядов (ρ = 0) и токов проводимости (j = 0).

					rotE B			di B 0 ,
							t
							D
					rotH		t	di D 0 ,
					B 0 H ,			D 0 E.
	Дифференцируя первое уравнение (2) по
следования				временной и		пространственной
	H			2 E		H
			0		2 . Выражая		из	первого
rot	t			t		t

(1)

(2)

(3)

времени и меняя порядок производных, получим

уравнения (1), имеем

rot rotE 0 0	Используя					соотношение				векторного	анализа
rot rotE grad di E E,	где	–			оператор				Лапласа	в декартовой	системе
координат записывается:		2			2			,	а di E 0, получаем уравнение
					y2		z2
		x2
	E			2 E 0.							(4)
				c2		t 2
Аналогично можно получить уравнение для H :
	H			2 H				0,			(5)
					c2	t 2

здесь с 3·108м/с – скорость света в вакууме (электродинамическая постоянная), связанная с электрической и магнитной постоянными соотношением

ñ	1	.	(6)
	0 0

Уравнения (4) и (5) называются волновыми уравнениями, они описывают распространение электрического и магнитного полей с одной и той же скоростью в пространстве и времени. Скорость распространения электромагнитной волны определяется соотношением

				c	,	(7)
величина n – показатель преломления среды.
Волновому уравнению (4) удовлетворяют выражения
E(r,t) E0 cos( t k r ) ,						(8)
E(r,t)	E0	cos[ (t r / )] .				(9)
	r
Аналогичные решения	можно			записать для уравнения		(5). Эти

уравнения представляют плоскую (8) и сферическую (9) монохроматические

волны. Здесь r – радиус-вектор				точки с координатами	х, у, z, Е0 –
амплитуда, – круговая частота, k – волновой вектор, определяемый как
	k			,	(10)

в вакууме = с и k с .

Уравнения (8) и (9) описывают идеальные волны, которых в природе не существует, условие их применимости для описания реального волнового процесса зависит от характера решаемой задачи и требует специального рассмотрения в каждом конкретном случае.

Небольшой участок сферической волны вдали от ее центра можно приближенно рассматривать как плоскую волну, если размеры этого участка малы по сравнению с расстоянием до центра. Кроме того, любая электромагнитная волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. Поэтому изучению свойств плоских монохроматических волн уделяется большое внимание.

Аргумент косинуса (8) называется фазой. Уравнение поверхности

постоянной фазы (волновой поверхности)	t kr const	определяет в
пространстве плоскость, перпендикулярную	вектору k .	Эта плоскость

(фронт волны) перемещается в пространстве вдоль направления вектора k со скоростью / k , которая называется фазовой скоростью волны. Период изменения напряженности поля в пространстве – это длина волны λ:

λ = 2 / k 2 T ,

то есть длина волны представляет расстояние, на которое перемещается плоскость постоянной фазы за время, равное периоду колебаний T 2 . Для

сферической волны (9) волновая поверхность представляет сферу.

В расчетах удобно использовать комплексную форму записи уравнения

волн:

E(r,t) E0ei( t kr ) E(r,t) Er0 ei( t kr ) . (11)

Здесь E0 в общем случае может быть комплексной величиной, которую можно записать как

E0

а фаза волны запишется:

Im E

E0 ei , tg Re E0 , (12)

0

t kr . Используя такое представление волн,

надо понимать, что физический смысл имеет лишь вещественная часть комплексного числа, т.е. E(r ,t) Re[E0ei( t kr ) ].

В бегущей электромагнитной волне происходит направленный перенос энергии электромагнитного поля в пространстве. Направление и интенсивность переноса энергии характеризуются вектором Пойнтинга

S EH .

(13)

Направление вектора S в плоской волне, распространяющейся в вакууме, совпадает с вектором k , т.е. энергия переносится вдоль перпендикуляра к поверхностям постоянной фазы. Учитывая ортогональность векторов E , H и соотношение 0 E 2 0 H 2 , получаем для

модуля плотности потока энергии в вакууме (μ = ε = 1) выражение

									S c 0 E2			c 0c2 B2 .												(14)
Так как объемная плотность энергии электрического и магнитного
полей в вакууме равна																B2		1
w 1	(w	ý	w	ì	) 1		0	E 2	1	0	H 2	1 (	0	E 2			)		(	0	E 2	c2	0	B2 ), (15)
2					2				2			2				0		2

то плотность потока энергии w можно записать в виде произведения потока полной энергии электромагнитного поля и скорости волны

S c(wý wì ) cw.

(16)

Для оптического диапазона частота колебаний потока энергии волны в каждой точке ~ 1015 c 1 ненаблюдаема и физический интерес представляет среднее по времени значение S, которое называют интенсивностью света. Так как в соотношение (14) входят мгновенные значения E(t) и B(t), то среднюю по времени плотность потока энергии можно определить как

S c 0 E02	cos2 t		1 c 0 E02	,	(17)
			2

где Е0 – амплитуда напряженности электрического поля в световой волне, а

cos2 t		1	T cos2 tdt	1 .
		T 0		2

Процесс излучения света ограничен во времени и это приводит к его немонохроматичности. Реальную электромагнитную волну можно представить в виде наложения монохроматических волн с различными частотами. Математическим обоснованием этого является то, что уравнения Максвелла линейны, поэтому любая суперпозиция решений также является решением. Замена электромагнитной волны бесконечной суммой монохроматических составляющих математически означает разложение функции E(r,t) в ряд или интеграл Фурье. Целесообразность разложения

именно на монохроматические составляющие связана с возможностью выделения в эксперименте отдельных монохроматических составляющих. Синусоидальная волна в спектральном приборе дает резкую отдельную линию.

1.2. Основные типы задач и решений

1-й тип: Изучение свойств электромагнитных волн.

Метод решения: Воспользоваться комплексным представлением плоской гармонической волны и записать уравнения Максвелла, провести их анализ.

2-й тип: По заданному уравнению волны через вектор E(r ,t) найти вектор H

как функцию времени в заданной точке пространства. Обратная задача. Метод решения: Аналогичен первому типу.

3-й тип: Зная напряженности полей в плоской волне, найти поток энергии и, наоборот, по потоку вычислить напряженности полей. Описать физические явления, которые определяются действием электрической и магнитной составляющей волны.

Метод решения: Энергия, переносимая электромагнитной волной, определяется вектором Пойнтинга, который связывает напряженности электрического и магнитного полей. При рассмотрении оптических явлений учитывать частоту изменения полей.

4-й тип: Определение спектрального состава немонохроматического излучения.

Метод решения: Воспользоваться преобразованием Фурье: ряд Фурье для периодической функции и интеграл Фурье для изолированного импульса.

Примеры

1.2.1. Доказать поперечность электромагнитных волн.

Решение. Рассмотрим одномерную задачу, т.е. векторы E, D, H , B зависят

только от z и t. Это не означает, что векторы E и компонент, но в данный момент времени t и при z = имеют вполне определенные значения, одинаковые

H не имеют х- и у- const эти компоненты на всей плоскости,

Dz Bz 0,

перпендикулярной оси z. Такое поле называют однородным. Распишем второе уравнение (2):

di D Dx Dy Dz 0,

x y z

Получаем Dz const, аналогично из второго уравнения (1) получим

Bz const, то есть составляющие векторов D и B вдоль оси z постоянны во всех точках. Запишем выражение для rotE :

i

j

k

E

Ey

E

E

Ey

E

rotE

i

z

j

z

x

k

x

.

x

y

z

y

x

z

y

z

x

Ex

Ey

Ez

Компоненты волны E и H по условию задачи зависят только от z, а,

как видно из найденного соотношения, z-компонента ротора rotz E

зависит от

х и у. Тогда из первого уравнения (1) получаем

Bz

0 , аналогично из (2) -

t

Dz

0 . Следовательно,

Dz и Bz

постоянны во времени.

Таким образом,

t

вдоль оси z может существовать лишь статическое поле (например, созданное каким-либо распределением зарядов), которое нас не интересует. Поэтому, не нарушая общности, полагаем что свидетельствует о

строгой поперечности электромагнитной волны. Это одно из самых важных ее свойств. Поперечность световых волн следует из опытов Френеля и Араго. Структура плоской монохроматической волны приведена на рис. 1.

	x
		E
	k		z
	H
	y
Рис. 1. Мгновенная фотография распределения полей				E и H
как функции координаты z в некоторый момент времени t для волны,
распространяющейся вдоль оси z
1.2.2. Плоская электромагнитная		волна	E E0 cos( t k r ) распространяется в
вакууме. Считая векторы	E0 и k	известными, найти вектор		H как функцию
времени t в точке с радиус-вектором r 0.
Решение. В соответствии с (11) представим векторы E и H для плоской воны
в комплексной форме:	E E0 ei( t kr ) ,		H H0 ei( t kr )

и подставим их в уравнение Максвелла (1). Предварительно вычислим производные E по координатам х, у, z. Так как kr kx x k y y kz z , то

E E0 ei( t kr ) ( ikx ) ikx E,

x

E iky E,

y

E ikz E.

z

Таким образом, дифференцирование E по координате х сводится к умножению E на множитель ( ikx ) , аналогично по другим координатам.

Тогда

rotE

i

j

k

i

j

k

i kE .

i

kx

k y

kz

x

y

z

Ex

Ey

Ez

Ex

Ey

Ez

Дифференцирование H по времени сводится к умножению H на (iω):

H i H.

t

В соответствии с (1) получаем для μ = 1

i k E i 0 H ,

откуда

H 1 kE .

0

Полученное выражение показывает, что E H и для волны в вакууме фазы электрического и магнитного полей совпадают (при сдвиге фаз, например, на π/2, появился бы множитель i). Подставляя комплексное выражение для E и взяв справа и слева реальную часть, получаем

H (r ,t) 1 kE0 cos( t kr ).

0

1

Для r

0

с учетом (10),

k

c

и c

(6), получаем

0 0

1

0

H

(r 0,t )

k

k

E0

cos(kct).

0

1.2.3. Мощность излучения гелий-неонового лазера непрерывного действия равна 10мВт, диаметр сечения пучка равен 1 мм. Какова амплитуда вектора напряженности электрического поля в этой волне?

Решение. Воспользуемся соотношением (17):

S 12 c 0 E02

и выразим E0 2S . Интенсивность излучения определим через мощность c 0

Р и сечение пучка d42 и получаем

E		1		8P	,	E	1012		8 10 2	6 104 B/м.
		c 0		d 2			3 108 8,85		1 10 6
0						0

1.2.4. Шар радиуса R = 50 см находится в немагнитной среде проницаемости ε = 4,0. В этой среде распространяется плоская электромагнитная волна, длина которой λ << R и амплитуда электрической составляющей Е0 = 200 В/м. Какая энергия падает на шар за время t = 60 с?

Решение. В изотропной среде вектор S совпадает по направлению с волновым вектором k и его среднее значение с учетом характеристик среды

определится

выражением

S

1

c

E

,

по

2

0

0

d R

условию задачи μ = 1. Считая распределение

K

интенсивности в потоке равномерным, энергию,

r

падающую

на

шар,

можно

записать

как

S

W t S

ds ,

здесь

S

-

средний

вектор

Рис.2

s

Пойнтинга, ds - малый элемент площади шара, S –

поверхность, на которую падает электромагнитная волна. Для анализа решения используем рис.2.

Возьмем на	поверхности	шара сферический пояс	площадью
ds 2 r R d 2 R2	sin d , для	всех элементов которого угол	между
нормалью n и вектором S имеет одно значение. Энергия, падающая на эту
		/ 2

площадку за время t, запишется в виде W t S 2 R2 sin cos d t S R2 .

Окончательно получаем			0
W		0cE02	R2 t.
		2
Подставляя численные значения в системе единиц СИ, получаем
W 2 8,85 10 12 3 108		4 104 25 10 2 60		5 103 Дж 5 кДж.
		2

1.2.5. Найти спектральный состав периодической последовательности прямоугольных импульсов, заданных функцией

f (t) 2 äëÿ

0 âíå

- T4 t T4 . интервала

f(t)

	2
	1	T
T O		2
	T	t
4	4	T

Решение. Графическое представление заданной функции дано на рис.3.

Рис. 3. Бесконечная последовательность прямоугольных импульсов

Из математики известно, что периодическая функция f(t) с периодом Т может быть представлена рядом Фурье:

					f (t) a0
						(an cos n t			bn sin n t),
где 2 ,	an	2			2	n 1	bn 2		f (t)sin n t dt.
					f (t) cos n t dt,
				T / 2					T / 2
T			T	T / 2				T	T / 2

Преобразуем слагаемые ряда Фурье следующим образом:

a

n

b

a

cos n t b

sin n t

a2

b2

cos n t

n

sin n t

a2

b2

a2

b2

n

n

n

n

n

n

n

n

An cos(n t n );

здесь

A

a2

b2

,

tg

n

b / a

,

cos

n

a

n

/

a2

b2

,

sin

n

b /

a2

b2 .

n

n

n

n n

n

n

n

n

n

Таким образом, можно записать

f (t) A0

An cos(n t n ) ,

2

n 1

где А0 = а0, совокупность Аn называется спектром амплитуд, множество φn – спектром фаз. Как видно из условия и графика (рис. 3), данная функция – четная, поэтому bn = 0. Найдем аn и а0:

an 2 2 cos n t dt

T / 4

T T / 4

и запишем ряд

2sin(n )

2 ; n / 2

a0 2	2 dt 2
	T / 4

T T / 4