Динамика материальной точки

4.

Частица массы m движется

по закону

rG = At3 + Bt ,

где rG

- радиус-вектор,

определяющий положение частицы,

A и B - постоянные векторы. Определите

зависимость силы FG, действующей на частицу, от времени t.

А)

G

G

G

Б)

F =

3mAt2

В)

G

Г)

G

F

= 3mAt2 +mB

F =3At2 + B

F = 6mAt

Ответ: Г. Из второго закона Ньютона имеем

F = mrG = 6mAt .

5.

Частица массы m в момент t = 0 начинает двигаться под действием силы

Fx = F0 sin ωt

вдоль оси x из начала координат, где

F0

и

ω - постоянные.

Зависимость проекции скорости тела Vx от времени выражается формулой:

А)

F0

В)

F0

Vx

=

(1 −cos ωt )

Vx

=

sin ωt

mω

mω

Б)

V

= −

F0

cos ωt

Г)

V

=

F0

cos ωt

x

mω

x

mω

Ответ: А. Второй закон Ньютона в проекции на ось x прямоугольной декартовой системы координат имеет вид

m		dVx		= F sin ωt .
		dt				0
Отсюда
V	x	=	F0		∫	sin ωtdt = −	F0	cos ωt +C .
			m				mω

Поскольку при t = 0 Vx = 0, окончательно получаем

Vx = mFω0 (1−cos ωt ).

Законы сохранения импульса и механической энергии

6.В некоторый момент времени точечные массы m1, m2 и m3 имеют скорости

VG1, VG2 , VG3 соответственно. Определите скорость VC центра масс этой системы материальных точек в данный момент.

	А)		G			mVG		+m VG			+m VG			В)		G		m2V +m2VG			+m2VG
			V	=		1 1			2 2		3 3					V	=	1	1	2 2	3 3
			C				m +m +m									C		(m +m +m )2
								1	2		3								1	2	3
	Б)		G		VG		+VG		+VG					Г)		G		m2V +m2VG			+m2VG
			V	=		1		2	3							V	=	1	1	2 2	3 3
			C					3								C			m2	+m2 +m2
																			1	2	3

Ответ: А. В соответствии с определением радиус-вектора центра масс системы

rG	=	m1r1 +m2rG2 +m3rG3	.
C		m1 +m2 +m3

Дифференцируя это равенство по времени, находим скорость центра масс:

G		mV +m VG	+m VG
V	=	1 1 2 2	3 3	.
C		m1 +m2 +m3

7. По гладкому горизонтальному столу движутся два одинаковых бруска, соединенные легкой растяжимой нитью. В некоторый момент времени величина скорости центра масс этой системы равна VС, а величина скорости первого бруска – V1, причем векторы VC и V1 взаимно перпендикулярны.

Определите для этого момента времени модуль вектора скорости V2 второго бруска.

А)

V

2

=

4V

2

+V 2

C

1

Б)

V

2

=

V 2

+V 2

C

1

В)

V

2

=

2V

2

+V 2

C

1

Г)

V2 =VC +V1

Ответ: А. Очевидно,

скорость

центра масс

VG2

системы двух

одинаковых брусков

определяется

2VG

выражением

C

V1 +VG2

VG =

.

G

C

2

V1

Тройка векторов VG1 , VG2 и 2VC для рассматриваемого момента времени

изображена на рисунке. Из рисунка видно, что

V =

4V 2

+V 2 .

2

C

1

8.Материальная точка движется по окружности со скоростью V~t2. Работа силы, действующей на точку в течение времени t, A~tn. Найдите значение n.

А)	2	Б)	4	В)	5	Г)	3/2

Ответ: Б. Запишем зависимость скорости точки от времени в виде

V =αt2 .

По теореме об изменении кинетической энергии работа силы равна приращению кинетической энергии материальной точки:

A =T	−T	=	mV 2	=		mα2t4	.
2	1		2		2
Следовательно, n = 4.
9. Первоначально покоившаяся частица			под		действием силы FG =1i +2 Gj +3k

переместилась из точки с координатами (2, 4, 6) в точку с координатами (3, 6, 9). Найдите кинетическую энергию T частицы в конечной точке. Здесь F, координаты частицы – в единицах СИ.

А)

0

Б)

14 Дж

В)

42 Дж

Г)

28 Дж

Ответ: Б. Приращение кинетической энергии частицы равно работе

действующей

на

нее силы. Умножая скалярно

силу FG на перемещение

rG

G

yj +

G

G

= xi +

zk

= 1i +2 j +3k , находим

T =1 1+2 2 +3 3 =14 Дж.

10. В шар массы М, висящий на нити длины l,

попадает горизонтально летящая пуля массы

l

m (см. рис.). Шар после толчка поднимается

на высоту H (H<l). Сравните высоты

m

H

подъема

шара в

двух случаях: 1)

пуля

M

застревает в шаре; 2) пуля после удара падает вниз, потеряв скорость. Скорость пули в обоих случаях одинакова.

А) H1<H2 Б) H1>H2 В) H1=H2

Ответ: А. В первом случае законы сохранения импульса и механической энергии имеют вид

mV0 = (M +m)V1 ,

	(M +m)V 2	= (M +m)gH1 ,
	1
	2

где V0 – скорость пули перед попаданием в шар, V1 – скорость шара с застрявшей в нем пулей сразу после удара.

Во втором случае эти законы могут быть записаны следующим образом: mV0 = MV2 ,

MV 2	= MgH2 .
2
2

Здесь V2 – скорость шара после удара. Очевидно, что V1<V2. Поэтому H1<H2.

Динамика твердого тела

11.Точка A – центр масс тела массы m (см. рис.). Через точки A, B, C, расположенные в плоскости рисунка, проведены параллельные оси, перпендикулярные этой плоскости. Среди приведенных ниже соотношений между моментами инерции тела относительно данных осей выберите верные.

А)

IB = IA +m

AB

2

В)

IC = IB +m

BC

2

Б)

IC = IA

Г)

IB = IA −m

AB

2

Ответ: А, В. Равенство

IB = IA +m

AB

2

B π/2 C

A

выражает теорему Штейнера применительно к рассматриваемому случаю. Та же теорема позволяет записать

IC = IА +m AC 2 .

Поскольку

AC 2 = AB 2 + BC 2 ,

в результате получим

IC ={IA +m AB 2}+m BC 2 = IB +m BC 2 .

12. Твердое

тело

представляет

собой

невесомый

2m

стержень длины l, на концах которого закреплены

α

точечные массы m и 2m. Найдите момент инерции

m

этого тела относительно оси,

проходящей

через

середину стержня и составляющей угол α со стержнем (см. рис.).

А)

I =

3ml2

cos2 α

В)

I =

3ml2

cos α

2

2

Б)

I =

3ml2

Г)

I =

3ml2

sin2 α

2

4

Ответ: Г. В соответствии с определением момента инерции

l

2

l

2

3ml2

2

I = 2m

sin α +m

sin α

=

4

sin

α.

2

2

13.Два диска одинаковой толщины с равными массами, железный (1) и деревянный (2), вращаются под действием равных по модулю сил, касательных к ободам дисков. Сравните угловые ускорения дисков.

А)

β1> β2

Б)

β1< β2

В)

β1 = β2

Ответ: А. Уравнения движения железного и деревянного дисков имеют вид

12 mR12β1 = FR1 ,

12 mR22β2 = FR2 ,

где m – масса дисков, F – модуль приложенной силы, R1 и R2, β1 и β2 – радиусы и угловые ускорения железного и деревянного дисков соответственно. Поскольку R1<R2, то, очевидно, β1>β2.