1.2 Основний закон фільтрації – закон Дарсі

1856 року французький інженер Анрі Дарсі опублікував результати дослідів з фільтрації води в піску (рис. 1.1). Він експериментально встановив основний закон фільтрації, відомий сьогодні під назвою закону Дарсі, або лінійного закону фільтрації: об’ємна витрата рідини через породу прямо пропорційна втраті напору H на довжині l і площі фільтрації F, тобто

(1.6)

де k_ф – коефіцієнт фільтрації.

Оскільки (гідравлічний похил),то рівняння (1.6) можна записати так:

, (1.7)

тобто коефіцієнт фільтрації має розмірність швидкості ( [k_ф] = [v] ).

Як відомо, напір для нестисливої рідини

, (1.8)

або, нехтуючи швидкісним напором (швидкості руху рідини сягають 10^-5 - 10^-4 м/с),

, (1.9)

де z – геометрична висота положення розглядуваної точки; –п’єзометрична висота; p – тиск;  – густина рідини; g – прискорення вільного падіння; –швидкісний напір.

Від напору завжди можна перейти до тиску:

(1.10)

де p* – зведений тиск, тобто зведений до певної геометричної відмітки. Надалі під тиском розумітимемо зведений тиск, опускаючи для простоти запису зірочку. Тоді закон Дарсі набере вигляду:

, (1.11)

або в символах диференціального числення (за граничного переходу

, (1.12)

де ––градієнт тиску (–grad p). Знак “–” вказує на те, що прирости тиску p та довжини l протилежні (зі збільшенням довжини Δl тиск p зменшується), причому напрями швидкості v і падіння тиску p збігаються.

Із рівняння (1.12) випливає, що швидкість фільтрації v лінійно залежить від градієнта тиску grad p, тобто закон Дарсі є лінійним законом фільтрації.

Оскільки закон Дарсі встановлений експериментально, то багато вчених намагалися обгрунтувати його теоретично, беручи різні моделі пористого середовища, зокрема грунти ідеальний (набір паралельних капілярних трубок) і фіктивний (насипний об’єм однорозмірних сферичних кульок). Узагальнюючи вирази різних теоретичних формул Сліхтера, Козені, Терцагі та інших Л.С. Лейбензон вивів рівняння:

, (1.13)

де d_еф – ефективний діаметр частинок (діаметр частинок еквівалентного фіктивного грунту, гідравлічний опір якого дорівнює гідравлічному опору реальної породи); Sl (m, ε) – число Сліхтера (безрозмірне), назване так Л.С. Лейбензоном, як функція коефіцієнта пористості m і структури порового простору ε (під структурою порового простору розуміють форму й розмір окремих пор, їх кількісне співвідношення і сполучуваність), причому в різних авторів залежно від взятої моделі для нього одержано різні вирази; μ – динамічний коефіцієнт в’язкості рідини (часто кажуть просто динамічна в’язкість).

Порівнюючи формули (1.11) і (1.13), встановлюємо, що

, (1.14)

тобто коефіцієнт фільтрації k_ф залежить як від характеристики пористого середовища, так і від властивостей рідини, що фільтрується.

Записані вище вирази закону Дарсі, в які входить коефіцієнт фільтрації k_ф, використовують у гідротехніці, де мають справу тільки з однією рідиною – водою. У нафтогазовій механіці, оскільки властивості різних нафт різні, необхідно окремо виділити властивості породи та рідини. 1929 року П.Г. Нуттінг ввів поняття коефіцієнта проникності

, (1.15)

тоді закон Дарсі набув форму, що використовується в нафтогазовій механіці й нафтогазопромисловій справі:

(1.16)

або

, (1.17)

а зв’язок між коефіцієнтами фільтрації k_ф і проникності k:

. (1.18)

Проникність – це здатність породи пропускати крізь себе рідину чи газ під дією перепаду тиску. Вона характеризується коефіцієнтом проникності k (часто кажуть просто проникність). Проте формула (1.15) для визначення k є символічною. Цей коефіцієнт визначають експериментально, з допомогою спеціального приладу – пермеаметра, що містить взірець породи, виходячи із закону Дарсі:

, (1.19)

тобто

(1.20)

або шляхом промислового гідрогазодинамічного дослідження свердловин (див. дальше).

Із (1.20) випливає, що коефіцієнт проникності k має розмірність площі, в міжнародній системі одиниць (SI) [k] = м². Фізично це можна розуміти як площу поперечного перерізу, через який маємо рух рідини. У нафтогазопромисловій літературі, яка видрукована в минулі роки, коефіцієнт проникності k визначається одиницею дарсі: 1Д = м² 1 мкм² (тисячна частка дарсі називається мілідарсі). Коефіцієнт проникності нафтогазовмісних порід змінюється в основному від 10^-3 мкм² до 1 мкм² (для великозернистих піщаників 1 – 0,1 мкм², для щільних піщаників 0,01 ‑ 0,001 мкм²). Проникність визначає витрату рідини чи газу через пористе тіло.

Задача 1.1. На скільки збільшиться чи зменшиться коефіцієнт фільтрації в разі фільтрації нафти манявського покладу Долинського родовища через керн, якщо за даними лабораторного дослідження під час фільтрації води з густиною ρ_в= 1000 кг/м³ і динамічним коефіцієнтом в’язкості μ_в = 1 мПа∙с коефіцієнт проникності k = 0,075∙10^-12 м². Густина нафти ρ_н= 674 кг/м³, а динамічний коефіцієнт в’язкості μ_н= 0,9 мПа∙с (за пластових умов).

Розв’язування. Визначаємо коефіцієнт фільтрації під час фільтрації води через керн:

м/с.

Визначаємо коефіцієнт фільтрації під час фільтрації нафти:

м/с.

Визначаємо на скільки відсотків зменшився коефіцієнт фільтрації:

%.

Відповідь: під час фільтрації нафти через керн коефіцієнт фільтрації на 25,11% менший, ніж під час фільтрації води.

Прямої залежності між коефіцієнтами проникності і пористості порід не існує, але статистичні дані засвідчують, що більш проникні породи часто є і більш пористими, але це слід пов’язувати з літологічним типом порід (наприклад, глини іноді є високопористими, але практично непроникні для рідин і газів).

За статистичними даними доволі тісні кореляційні залежності між коефіцієнтами пористості m і проникності k встановлено такого вигляду:

(1.21)

або

, (1.22)

де a₁, в₁, c₁, d₁ – емпіричні коефіцієнти. Так, для девонських пісковиків Туймазинського родовища a₁ = 8,94, в₁ = 4,56, для вугленосних пісковиків Арланського і Ніколо-Березовського родовищ відповідно a₁ = 11,53, в₁ = 4,33 і a₁ = 12,8, в₁ = 3,66, а для каверно-пористих і пористих карбонатних порід Осташковицького родовища відповідно c₁ = 6,63, d₁ = 0,186 і c₁ = 6,32, d₁ = 0,19, де m вимірюється в %, а k – у мкм².

Задача 1.2. У лабораторії провели дослідження керна з визначення його проникності. При цьому через керн здійснювали під надлишковим тиском 3,5 МПа фільтрацію води, об’єм якої у відкритій мензурці становив 0,65 л за кожні 60 хв досліду. Відомо: діаметр і довжина керна 2 і 5 см; динамічний коефіцієнт в’язкості води 1мПа∙с. Чому дорівнює коефіцієнт проникності керна?

Розв’язування. Визначаємо витрату води:

м³/с,

де V – об’єм води; t – час.

Визначаємо площу поперечного перерізу керна:

м²,

де d – діаметр керна.

Для визначення коефіцієнта проникності керна використовуємо закон Дарсі:

м²,

де μ – динамічний коефіцієнт в’язкості води; Δl – довжина керна; Δp – перепад тиску.

Відповідь: коефіцієнт проникності керна становить 0,00821 мкм².