1.3 Границі застосування закону Дарсі. Нелінійні закони фільтрації

Експериментально встановлено, що закон Дарсі порушується внаслідок дії:

1) інерційних сил за великих швидкостей фільтрації, тобто за великих градієнтів тиску (верхня межа справедливості закону Дарсі);

2) так званих нелінійних ефектів за малих градієнтів тиску, що пов’язані з неньютонівськими властивостями рідини та молекулярно-поверхневою взаємодією насичуючого флюїду з твердим скелетом пористого середовища (нижня межа справедливості закону Дарсі).

Ці причини ведуть до нелінійних законів фільтрації. Нелінійність законів фільтрації ще пов’язується також з деформацією гірських порід за великих перепадів тиску і, як результат, із нелінійною зміною коефіцієнта проникності порід від тиску.

Першу кількісну оцінку верхньої межі дав М.М.Павловський залежно від критерію (числа) Рейнольдса Re (критерій Рейнольдса визначає співвідношення між силами інерції та силами в’язкого тертя в рухомій рідині чи газі), тобто за Re < Re_кр справедливим є лінійний закон Дарсі, а за Re > Re_кр – нелінійний закон, де Re_кр – критична значина числа Рейнольдса, коли порушується закон Дарсі.

Пізніше за аналогією із загальною трубною гідравлікою, виходячи з формули Дарсі-Вейсбаха

, (1.23)

шукали залежність між коефіцієнтом гідравлічного опору (числом Ейлера)

(1.24)

і критерієм Рейнольдса

, (1.25)

де λ – коефіцієнт гідравлічного опору; d – характерний лінійний розмір пористого середовища, що характеризує його з геометричної точки зору (діаметр труби); U – характерна швидкість руху рідини; ν – кінематичний коефіцієнт в’язкості рідини. Такий підхід грунтується на тому, що з порівняння формули Пуазейля, яка випливає з формули Дарсі-Вейсбаха за ламінарного режиму, і формули закону Дарсі маємо аналогію між коефіцієнтом проникності k та величиною , тобто пористе середовище з геометричної точки зору треба характеризувати лінійним розміром. Різні автори заU та d брали різні величини (і т. д.), тому одержали безліч різних формул. Ці формули не мають принципових переваг одна перед другою і однаково зручні для практичного використання. Приклад залежності λ від Re показано на рис. 1.2.

У практиці розробки газонафтових родовищ найчастіше використовується формула В. М. Щелкачова:

, (1.26)

критична значина для якої Re_кр = 0,032...14 (в основному Re_кр = 1...10). Широкий діапазон зміни пояснюється тим, що в неповній мірі формула враховує особливості структури пористого середовища. Крім того, має вплив плавний перехід від лінійного закону (режиму) фільтрації до нелінійного. Коефіцієнт λ відповідно до цієї формули

(1.27)

Зазначимо, що за ламінарність потоку не порушується; турбулентність проявляється за значно більших значин Re, ніж Re_кр.

Швидкість фільтрації, за якої порушується закон Дарсі у верхній границі, називають критичною швидкістю фільтрації v_кр. Її можна визначити з формули (1.26) за Re = Re_кр (з розрахунковим запасом рекомендується брати Re_кр = 1) або графічно, виходячи з експериментальних даних (рис. 1.3).

Задача 1.3. Через циліндричний керн діаметром d = 3 см і довжиною Δl = 6 см фільтрується нафта з об’ємною витратою Q = 7∙10^-5 м³/хв. Тиск на вході в керн p₁= 0,7 МПа, на вході p₂ = 0,1 МПа. Визначити швидкість фільтрації v, дійсну швидкість w руху частинок, число Рейнольдcа Re (за формулою В.М.Щелкачова) і коефіцієнт проникності k пористого середовища, якщо коефіцієнт пористості m = 18%, а кінематичний коефіцієнт в’язкості ν і густина ρ нафти – 2,1∙10^-6 м²/с і 872 кг/м³.

Розв’язування: Визначаємо площу поперечного перерізу керна:

м².

Знаходимо швидкість фільтрації нафти через керн:

м/с.

Визначаємо дійсну швидкість руху:

м/с.

Знаходимо коефіцієнт проникності керна, використовуючи закон Дарсі:

м².

За формулою В.М.Щелкачова визначаємо число Рейнольдса:

.

Відповідь: швидкість фільтрації рівна 1,65∙10^-3 м/с, дійсна швидкість руху частинок рівна 9,17∙10^-3 м/с, коефіцієнт проникності становить 3,022∙10^-13 м², число Рейнольдса – 0,223.

За лінійний закон Дарсі перестає бути справедливим, наступає область справедливостінелінійного закону. Останній прийнято виражати такими формулами:

1) степеневою (одночленною або Смрекера)

; (1.28)

2) двочленною (Проні або Форхгеймера)

, (1.29)

де k_к – коефіцієнт пропорціональності (можна назвати коефіцієнтом Краснопольського); n – показник режиму фільтрації (), причомуn є функцією швидкості v і тільки за малої зміни v можна брати ;a, b – постійні експериментальні коефіцієнти, причому коефіцієнт a характеризує сили в’язкого тертя, а коефіцієнт b – інерційні сили.

За n = 1 з формули (1.28) маємо закон Дарсі, а за n = 0,5 – квадратичний закон Краснопольського.

Із формули (1.29) у разі великих швидкостей, коли нехтуємо першим членом і дістаємо квадратичний закон; за малих швидкостей, колинехтуємо другим членом, що характеризує інерційні сили, і дістаємобезінерційний закон Дарсі, причому

. (1.30)

Коефіцієнт b можна оцінити, наприклад, за формулою А. Й. Ширковського:

. (1.31)

У газопромисловій справі ще записують:;(див. гл. 2),або, деk_ρ, , с – експериментальні константи пористого середовища; l – коефіцієнт макрошорсткості пористого середовища, який характеризує внутрішню структуру порового простору, причому k_ρ=l=1/ с=. Величини k_ρ, , с, l можна оцінити з формули (1.31).

За статистичними даними багатьох досліджень встановлено емпіричну залежність

, (1.32)

де l вимірюється в метрах, а k – в м².

Тоді двочленну формулу нелінійного закону, наприклад, можна записати

. (1.33)

Відзначимо, що коефіцієнт проникності k характеризує усереднений масштаб пористого середовища (ефективний діаметр зерен, питому поверхню і т.п.), а коефіцієнт k_ρ (аналогічно с, l ) – усереднені показники геометричної структури (кількість звужень пор, ступінь стиснення струменів рідини та інші). Причому перший характеризує пористе середовище для ідеальної в’язкої рідини, а другий – для ідеальної вагової рідини. Між ними немає певного аналітичного зв’язку, хоч статистично на основі експериментів зв’язок встановлено.

Задача 1.4. У лабораторії здійснили фільтрацію води через циліндричний керн. Об’ємна витрата Q становила 0,15 л/хв за перепаду тиску Δp = 0,9 МПа. Відомо: діаметр d і довжина Δl керна 2 і 5 см; коефіцієнт проникності гірської породи k = 0,48 мкм²; динамічний коефіцієнт в’язкості μ і густина ρ води 1 мПа∙с і 1000 кг/м³. Визначити коефіцієнти пористості m і макрошорсткості l' пористого середовища. Методичні вказівки: використати двочленну формулу нелінійного закону фільтрації і формулу А.Й.Ширковського.

Розв’язування. Визначаємо швидкість фільтрації води через керн:

7,96·10^-3 м/с.

Записуємо формулу Форхгеймера , з якої визначаємо експерименталь­ний коефіцієнтb, що характеризує інерційні сили, тобто

Па·с²/м³.

Визначаємо коефіцієнт макрошорсткості:

м.

Використовуючи формулу А.Й.Ширковського, визначаємо коефіцієнт пористості керну:

.

Відповідь: коефіцієнт макрошорсткості рівний 4,455∙10^-8 кг/Па, коефіцієнт пористості становить 24,1%.

Двочленна формула є фізично найбільш обгрунтованою, оскільки враховує одночасні дії в’язких та інерційних сил, що проявляються різною мірою за різних швидкостей фільтрації (чи за різних градієнтів тиску). З двочленної формули, записаної у вигляді

, (1.34)

зіставляючи ці сили з силою тиску (з градієнтом тиску), можна двояко одержати:

(1.35)

або

. (1.36)

Позначившимаємо:

(1.37)

або

. (1.38)

Тут Eu – число Ейлера, яке характеризує співвідношення сил тиску та інерції; Da – число Дарсі, яке характеризує співвідношення в’язкісних сил і сил тиску; Re^* – критерій Рейнольдса, де характерні лінійний розмір і швидкість представлено величинами відповідно kс і v.

Із рівнянь (1.37) і (1.38) маємо, що закон Дарсі справедливий за чи, або іншими словами за. Залежність (1.37), яку запропонував М.П. Лебединець (використав результати багатьох експериментів різних дослідників заm = 0,18-0,36, k = 0,46-2200 мкм², с = 9,3·10³ – 1,5·10⁷ м^-1), графічно показано на рис. 1.4. Звідси з похибкою не більше 1% можна прийняти, що за справедливим є закон Дарсі (), за– квадратичний закон, а в інтервалі 0,01< Re*< 100 – двочленна формула нелінійного закону (перехідна область або мішана фільтрація).

Порушення закону Дарсі за малих градієнтів тиску(в нижній границі) буде розглянуто дальше в окремому розділі.