Нач геом

51

а)

б)

Рис. 56.

Если плоскость задана так, что точка схода в пределах чертежа не получается, то надо построить по два следа каждой прямой, а если это не получается, то надо построить в заданной плоскости третью прямую, следы которой располагались бы в пределах чертежа. На рис. 56, б приведен как раз такой случай. Прямая n здесь не дает следов в пределах чертежа, поэтому проведена в заданной плоскости вспомогательная прямая r, дающая два следа, и задача получила решение.

4.3.3. К числу прямых, занимающих особое положение на плоскости, относятся горизонтали, фронтали и линии наибольшего уклона к плоскостям проекции. Главными из них являются горизонтали, фронтали и линии наибольшего уклона к плоскости π1, которые носят особое название

– линии наибольшего ската. Эти линии легко строятся на чертеже, поэтому они широко применяются в качестве вспомогательных прямых при решении многих позиционных и метрических задач.

Горизонталью называется прямая, принадлежащая плоскости и одновременно параллельная плоскости π1. Особенностью этой прямой является то, что фронтальная проекция ее всегда параллельна оси Х, а горизонтальная проекция параллельна горизонтальному следу.

Пример 18. В заданной плоскости провести горизонталь на расстоянии 20 мм от плоскости π1.

Решение. На рис. 57, а плоскость задана следами. На расстоянии 20 мм от оси Х проводим фронтальную проекцию горизонтали h2║ОХ – до пересечения со следом Р2 – эта точка является следом горизонтали r, ее

52

вторая проекция находится на оси Х = r. Отсюда проводим горизонтальную проекцию горизонтали h1║Р1.

а)

б)

Рис. 57.

На рис. 57, б плоскость задана треугольником ABC. Построение горизонтали производится в той же последовательности, но только ее вторая проекция находится по двум общим точкам, как у прямой, принадлежащей заданной плоскости (см. пример 15).

Фронталью называется прямая, принадлежащая плоскости Р и одновременно параллельная плоскости π2. Ее горизонтальная проекция параллельна оси X, а фронтальная проекция параллельна фронтальному следу плоскости.

Пример 19. Провести в заданной плоскости фронталь на расстоянии 15 мм от плоскости π2.

На рис. 58, а плоскость задана следами. Сперва проводим горизонтальную проекцию фронтали параллельно оси X на расстоянии 15 мм от нее и находим след фронтали на плоскости π1 - точку Ф, затем, построю вторую проекцию этой точки на оси X, проводим из нее фронтальную проекцию фронтали параллельно следу плоскости P2.

53

f

2

B2

f2

P2

A2

Px

Ф2

C2

x

x

15

B1

f1

f1

Ф1

C1

P1

A1

а)

б)

Рис. 58.

На рис. 58, б плоскость задана двумя параллельными прямыми. Построение фронтали производится в той же последовательности.

Сперва на заданном расстоянии от оси X проводится горизонтальная проекция фронтали, отмечаются точки ее пересечения о заданными прямыми. Затем строятся фронтальные проекции этих точек и через них проводится фронтальная проекция фронтали.

Линией наибольшего ската называется прямая, принадлежащая заданной плоскости и перпендикулярная к ее горизонтальному следу.

Пример 20. Построить в заданной плоскости линию наибольшего ската (рис. 59).

N2

N2

P2

A2

D2

Px

M2

N1

M2

x

x

A1

N1

M1

P1

D1

M1

а)

б)

Рис. 59.

54

Решение. а) Плоскость задана следами. На горизонтальном следе плоскости выбираем произвольную точку N1 и проводим на нее прямую, перпендикулярную следу до пересечения с осью X в точке N1. Затем находим вторые проекции этих точек и, соединив их прямой линией, получаем фронтальную проекцию линии наибольшего ската.

б) Плоскость задана двумя пересекающимися прямыми. Поскольку здесь нет следов плоскости, горизонтальный след можно заменить произвольной горизонталью, так как все горизонтали параллельны этому следу. Итак, сначала проводим произвольную горизонталь А2D2║ОХ и ее проекцию А1D1. Затем проводим горизонтальную проекцию линии наибольшего ската M1N1║A1D1 и по двум точкам находим ее фронтальную проекцию

M2N2.

4.3.4. Главные линии плоскости позволяют упростить решение многих графических задач.

Пример 22. Построить следы плоскости, заданной треугольником АВС (рис. 60).

Рис. 60.

55

Решение. В заданной плоскости проводим горизонталь С2D2║OX↓C1D1 и фронталь А1Е1║ОХ−А2С2. Затем находим след горизонтали (CD)π 2 , через который проводим фронтальный след плоскости

Р2║А2Е2 до пересечения с осью ОХ.

Из полученной точки Р1 проводим горизонтальный след плоскости

Р1║С1D1.

Упрощение состоит в том, что для построения одного из следов плоскости достаточно найти след лишь одной прямой, принадлежащей этой плоскости (горизонтали или фронтали), а направление следов плоскости определяется соответствующими проекциями фронтали и горизонтали.

Пример 22. Построить следы плоскости Р, заданной линией наибольшего ската АВ.

Решение (рис. 61). В общем случае следы плоскости можно построить, если она задана двумя параллельными или пересекающимися прямыми (см. пример 17). Но бывает достаточно и одной линии, если эта линия является линией наибольшего ската плоскости.

а)

б)

Рис. 61.

Находим следы линии наибольшего ската (AB)π1 и (AB)π 2 .

Через след (AB)π1 проводим горизонтальный след плоскости Р1

перпендикулярно А1В1 до пересечения с осью ОХ.

Из полученной точки Рх проводим фронтальный след плоскости Рz, который обязательно должен пройти через фронтальный след линии наибольшего ската (AB)π 2 .

Таким образом, линия наибольшего ската может считаться седьмым способом задания плоскости на чертеже (см. п. 4.1.1).

56

4.3.5. Точка принадлежит плоскости, если ее проекции находятся на одноименных проекциях прямой, принадлежащей этой плоскости.

Пример 24. Заданы плоскость и одна из проекций принадлежащей ей точки Е. Найти вторую проекцию этой точки.

Решение (рис. 62).

Рис. 62.

а) Плоскость задана двумя параллельными прямыми АВ и CD. Через заданную проекцию точки Е2 проводим произвольную пря-

мую m2, принадлежащую заданной плоскости, и по двум общим точкам 1 и 2 находим ее горизонтальную проекцию m1 (см. пример 15).

На полученной прямой m находим вторую проекцию точки Е1.

б) Плоскость задана следами Р2 и Р1. В этом случае проекции принадлежащих ей точек проще всего находятся при помощи горизонтали или фронтали.

Через заданную проекцию точки Е2 проводим горизонталь плоскости h1║Р1. На этой второй проекции находим недостающую проекцию точ-

ки Е1.

Точно такой же результат можно получить при помощи фронтали f2║Р2 и ее второй проекции f1║ОХ.

Пример 24. В заданной плоскости построить точку Е о координата-

ми y=20 мм и z=15 мм.

Решение (рис. 63). Проводим в заданной плоскости горизонталь на расстоянии z=15 мм (см. пример 18) от оси Х h2║ОX и ее вторую проекцию h1. На расстоянии у=20 мм от оси Х проводим фронталь f1║ОХ. Вторую проекцию фронтали f2 проводить не обязательно.

				57
					P2
	B2
11	21	E2	h2	h2	E2
		С2	15
A2
x			0	x	0
	B1
					f2
A1			20		E1
		E1		h1	P1
		C1	h1
а)			Рис. 63.		б)

Пример 25. Построить точку D с координатой z=20 мм, принадлежащую одновременно двум заданным плоскостям.

Решение (рис. 64). Проводим в заданных плоскостях фронтальную проекцию горизонтали h2║ОХ на расстоянии 20 мм от оси X и находим вторые их проекции. Фронтальные проекции горизонталей сливаются в одну линию, а горизонтальные проекции пересекаются в точке, принадлежащей одновременно обеим плоскостям. Это и есть единственно возможное положение точки D1, отвечающее условию задачи. После этого находится ее вторая проекция D2.

Рис. 64.

58

ГЛАВА 5

ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

5.1.Плоскости взаимно параллельные

5.1.1.Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

Пример 26. Через точку А провести плоскость, параллельную заданной плоскости.

На рис. 65, а плоскость задана двумя пересекающимися прямыми m

иn. Через точку А проведем параллельную плоскость также в виде двух пересекающихся прямых АВ и АС, параллельных соответственно АВ║m и

АС║n. Для этого проекции A2B2 проведены параллельно m2 и А1В1║m1, а проекции А2С2 параллельно n2 и А1С1║n1 две эти плоскости окажутся параллельными друг другу.

а)

б)

Рис. 65.

59

5.1.2. Две плоскости параллельны, если параллельны их одноименные следы или горизонтали и фронтали.

На рис. 65, б плоскость задана следами Р1 и Р2. Эти следы можно рассматривать как две пересекающиеся прямые (см. п. 4.1.2), принадлежащие плоскостям проекции, поэтому точка их пересечения находится на оси

X (Рх),

Следы новой плоскости непосредственно через проекции заданной точки провести нельзя, так как она расположена в пространстве, а не на плоскости проекций. Поэтому сперва через точку А проводим горизонталь (или фронталь) h2║ОХ, h1║P1, находим след этой горизонтали h π 2 , через

который и пройдет фронтальный след искомой плоскости Q2║P2, а затем и горизонтальный след Q1║Р1.

Пример 27. Через точку М провести плоскость Р, параллельную плоскости треугольника ABC.

Решение (рис. 66). В плоскости треугольника проводим горизонталь АЕ и фронталь СD. Через точку М проводим горизонталь искомой плоскости h2║ОХ, h1║А1Е1 и находим след этой горизонтали h π 2 . Через этот след

проводим фронтальный след искомой плоскости Р2║С2D2, а затем – горизонтальный след Р1║А1Е1.

Рис. 66.

5.1.3. Если параллельны друг другу проецирующие плоскости, то расстояние между их главными следами являются действительным расстоянием между плоскостями (рис. 67, а).

60

а)

б)

Рис. 67.

в)

У профильно-проецирующих плоскостей фронтальные и горизонтальные следы всегда параллельны, но истинное взаимное положение их может быть установлено только с помощью третьей проекции: профильные следы их должны быть также параллельны. На рис. 67, б, например, заданные плоскости не параллельны, так как не параллельны их профильные следы.

Пример 28. Через точку М провести плоскость S, параллельную заданной плоскости R.

Решение (рис. 68). Заданная плоскость является профильнопроецирующей, поэтому задачу можно решить только с помощью третьей проекции. Строим третью проекцию заданной плоскости (т.е. ее профильный след R3) и заданной точки – М3. Через точку М3 проводим профильный след искомой плоскости S3║R3 и через ее точки схода Sz и Sy проводим фронтальный след S2║R2, а затем и горизонтальный след S1║R1.