Нач геом

81

Рис. 91.

5.6.2. Две плоскости перпендикулярны, если одна из них перпендикулярна к прямой, принадлежащей другой плоскости.

Пример 40. Через точку Е провести плоскость Р, перпендикулярную к заданной плоскости.

На рис. 92, а плоскость задана треугольником АВС, а за прямую, принадлежащую этой плоскости, принята сторона АВ.

P2	B2
E2
A2
x	C2
	C1
A1

E1

P1 B1

		Q2
		P2
	E2
		En2
		A2
	x	B2
		A1
		P1
		B1
	E1	Q1
	Рис. 92.

82

На рис. 92, б плоскость задана следами Q1 и Q2 и проведена произвольная прямая АВ, принадлежащая этой плоскости.

И в том, и в другом случае задача сводится к построению плоскости, перпендикулярной к заданной прямой и проходящей через заданную точку. Решение подобной задачи уже изложено выше (см. пример 35). Напомним только, что сперва надо через заданную точку провести горизонталь или фронталь перпендикулярно к заданной прямой, найти след этой горизонтали или фронтали, а затем провести следы искомой плоскости - перпендикулярно к одноименным проекциям прямой.

Если плоскость перпендикулярна к прямой, значит она перпендикулярна к любой плоскости, проведенной через эту прямую.

83

ГЛАВА 6 СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЧЕРТЕЖА

Задание прямых линий и плоских фигур в частных положениях относительно плоскостей проекций значительно упрощает построения и решение задач, а иногда позволяет получить готовый ответ или непосредственно по чертежу, или путем простейших построений.

Однако, довольно часто на чертеже прямые линии и плоские фигуры занимают общее положение по отношению к плоскостям проекций, и решение задач по определению их геометрических параметров становится затруднительным, возникает необходимость в преобразовании чертежа.

Говоря о преобразовании чертежа, мы имеем в виду получение новых проекций предмета путем изменения его положения относительно плоскостей проекций. При этом его геометрические элементы, находящиеся ранее в общем положении, займут частное положение, параллельное или перпендикулярное какой-либо плоскости проекций. В первом случае они становятся видны в натуральную величину, во втором прямая превращается в точку, а плоскость - в прямую линию.

Это достигается одним из следующих способов:

способом замены плоскостей проекций, при котором изменяется направление проецирования путем введения дополнительных плоскостей проекций;

способами вращения, при которых изменяется положение самого предмета в пространстве путем вращения его вокруг некоторой оси.

Применение способов преобразования чертежа предполагает полное сохранение принципов ортогонального проецирования.

6.1.Способ замены плоскостей проекций

6.1.1.Сущность способа заключается в том, что в процессе преобразования сам предмет (прямая, плоская фигура) не меняет своего положения в пространстве, а изменяется система плоскостей проекций путем вве-

дения дополнительных плоскостей V' или H' , по отношению к которым

1 1

предмет оказывается в частном положении.

Одновременно две плоскости заменить нельзя. Замена происходит последовательно, сначала одной плоскости, а затем другой. Новая система выбирается так, чтобы получить положение предмета, наиболее удобное да выполнения требуемых построений.

На чертеже замена плоскостей проекций выражается проведением новых осей проекций, которые обозначаются буквами X', X'', X'''и т.д. (рис. 93).

84

π2'

π' 2

π' 2

' π1

'	1
π
2

' π1

Рис. 93.

Условимся все оси проекций при этом способе сопровождать дополнительными обозначениями плоскостей проекций в виде как бы дроби

π1 π2 , π1' π2 и т.п., причем каждая буква проставляется по ту сторону

оси, где находится видимая часть данной плоскости. Необходимо отметить, что в соответствии с принципами ортогонального проецирования:

в любой новой системе угол между плоскостями проекций всегда равен 90°;

проекции точки в любой новой системе располагаются на перпендикуляре к новой оси проекций.

6.1.2. Преобразование точки. На рис. 94 показана замена плоскости π2 на новую плоскость π'2 и проецирование точки А на эту новую плоскость.

В новой системе π1π'2 плоскость π1 не имеет своего положения, поэтому горизонтальная проекция точки А1 остается на месте, а фронтальная проекция А2 заменяется новой фронтальной проекцией A'2 . При этом новая проекция A'2 располагается на перпендикуляре, проведенном из точки А1 к новой оси X', а расстояние от оси Х' до A'2 равно расстоянию от оси Х до А1, так как высота точки А над плоскостью π1 не изменяется.

85

Рис. 94.

На рис. 95 показана замена плоскости π1 на π1' . В новой системе

π2π1' неизменной остается плоскость π'2 . Фронтальная проекция точки А2 не меняет своего положения, а горизонтальная проекция А1 заменятся новой проекцией A1' .

86

Рис. 95.

При этом проекция A1' находится на одном перпендикуляре к оси X' с проекцией А2, а расстояние от оси X' до А1 равно расстоянию оси Х до А1, так как положение точки А по отношению к плоскости π2 не изменяется.

При замене двух плоскостей проекций все построения производятся аналогично. При этом, как уже отмечалось выше, замена плоскостей происходит последовательно, а не сразу.

На рис. 96, а показан последовательный переход от системы π1π2 сперва к системе π1π'2 , а затем - системе π1'π'2 . На рис. 96, б мы видим пе-

реход сперва к системе π1'π2 , а затем - к системе π1'π'2 .

87

	’
x	1

2

1

	2
2	1

Рис. 96.

При введении второй дополнительной плоскости проецирование на нее отдельной точки производится также, как и при введении первой, с той лишь разницей, что за "старую" систему принимается система промежуточная π 1'π 2 или π 1 π 2' .

Из всего рассмотренного выше вытекает одно общее правило: сколько бы ни было последовательных замен, новая проекция точки всегда лежит на линии связи с предыдущей проекцией, перпендикулярной к новой оси, а ее расстояние от новой оси равно расстоянию от замененной проекции до предыдущей оси.

6.1.3. Преобразование прямой. Для преобразования прямой из общего положения в частное, параллельное плоскости проекции, достаточно ввести одну дополнительную плоскость, которая была бы параллельна заданной прямой (рис. 97). На чертеже это выряжается тем, что при замене плоскости π2 новая ось проекций X' проводится параллельно горизонтальной проекции прямой (рис. 97, а), а при замене плоскости π1 - параллельно фронтальной проекции прямой (рис. 97, б).

Рис. 97.

88

В первом случае прямая становится фронтальной, а во втором - горизонтальной прямой, и в том, и в другом случае мы видим ее натуральную величину.

Для преобразования прямой из общего положения в частное, перпендикулярное плоскости проекции, необходимо последовательно ввести

две дополнительные плоскости, то есть перейти от системы π1 π2 к системе π1'π'2 через промежуточную систему π1'π2 или π1 π'2 (рис. 98).

Рис. 98.

Первая плоскость вводится таким образом, чтобы прямая оказалась параллельной ей (см. выше). Вторая плоскость вводится так, чтобы прямая оказалась перпендикулярной к ней, то есть ее проекция на этой плоскости превратилась бы в точку. Для этого необходимо ось проекций Х''провести

перпендикулярно к промежуточной проекции прямой A'2 B'2 или A1'B1' .

89

На рис. 98, а прямая преобразована в положение горизонтальнопроецирующее, а на рис. 98, б - в положение фронтально-проецирующей прямой.

6.1.4. Преобразование плоскости. Преобразование плоскости из общего положения в частное, перпендикулярное к плоскости проекций, производится заменой одной плоскости проекций. Для преобразования плоскости во фронтально-проецирующее положение надо ввести новую

плоскость π'2 , в горизонтально-проецирующее положение - новую плос-

кость π1' . Так как дополнительные плоскости являются проецирующими,

то их главный след (то есть новую ось проекций Х') следует проводить перпендикулярно к заданной плоскости.

Если плоскость задана следами, то для ее преобразования в проецирующее положение новую ось проекций Х' следует провести перпендикулярно к одноименному следу заданной плоскости.

На рис. 99, а показано преобразование плоскости Р во фронтальнопроецирующее положение, новая ось проекций Х' проведена перпендикулярно к следу P1. Чтобы построить новый фронтальный след заданной

плоскости P2' , на старом ее следе Р2 взята произвольная точка N1, N2, построена новая проекция этой точки N'2 , через которую и проходит новый след заданной плоскости P2' .

x

1

’

1

2

90

	x	’
	1
		1
		2

2 N2

x

1

P2

N1

P1

Рис. 99.

P’ 1

N’ 1

На рис. 99, б заданная плоскость преобразована в горизонтальнопроецирующую плоскость, новая ось проекций проведена перпендикулярно к фронтальному следу Р2 и с помощью произвольной точки М1М2 по-

строен новый горизонтальный след этой плоскости P1'.

Если плоскость задана не следами, то для ее преобразования следует провести в ней горизонталь или фронталь, которые в процессе преобразования выполняют роль следов.

На рис. 100 показано преобразование треугольника ABC в проецирующее положение. Если новую ось проекций X' провести перпендикулярно горизонтали А1С1, то новая проекция треугольника превратится в прямую линию, то есть плоскость станет фронтально-проецирующей, че-

рез прямую A'2 B'2C'2 проходит ее главный след.