Нач геом

	61
	z
	R2
	R3
	S2
M2	M3
	S3
x
M1
	S1
	R1
	y
	Рис. 68.

5.2. Взаимное пересечение двух плоскостей

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения этой линии необходимо и достаточно найти проекции двух точек, общих обеим плоскостям, и провести через них прямую.

5.2.1. Горизонтальные плоскости пересекают все другие плоскости по горизонталям.

На рис. 69, a показано пересечение горизонтальной плоскостью треугольника АВС. Линия пересечения строится по двум общим точкам С2С1 и М2М1 и представляет собой горизонталь плоскости треугольника АВС.

62

а)

б)

Рис. 69.

На рис. 69, б показано пересечение горизонтальной плоскости S с плоскостью Р, заданной следами. В этом случае для построения линии пересечения достаточно иметь одну общую точку N2, лежащую на пересечении фронтальных следов – это след горизонтали. Фронтальная проекция горизонтали совпадает со следом плоскости S2, а горизонтальная проекция параллельна следу Р1.

5.2.2. Фронтальные плоскости пересекают все другие плоскости по фронталям.

На рис. 70. показано пересечение фронтальной плоскости R с плоскостью треугольника АВС и с плоскостью Р. В первом случае линия пересечения строится про двум общим точкам М1М2 и N1N2 и представляет собой фронталь плоскости АВС. Во втором случае линия пересечения проходит через общую точку N1N2: ее горизонтальная проекция совпадает со следом R1, а фронтальная проекция параллельна Р2.

63

а)

б)

Рис. 70.

5.2.3. Проецирующие плоскости пересекают все другие по прямой, одна из проекций которой совпадает с главным следом проецирующих плоскостей.

На рис. 71, а показано пересечение треугольника АВС горизонталь- но-проецирующей плоскостью S. Линия пересечения строится по двум общим точкам М1М2 и N1N2, совпадающим с главным следом секущей плоскости Р1, следовательно и вся линия M1N1 совпадает с этим следом.

64

а)

Рис. 71.

б)

На рис. 71, б показано пересечение фронтально-проецирующей плоскости R с плоскостью Р, заданной следами. И в этом случае линия пересечения строится по двум общим точкам М1М2 и N1N2, находящимся на пересечениях одноименных следов, а фронтальная проекция линии пересечения совпадает с главным следом секущей плоскости R2.

В тех случаях, когда проецирующая плоскость пересекает другую плоскость, заданную не следами (рис. 71, а), на чертеже можно ограничиться проведением только ее главного следа, так как второй след в построениях не участвует.

5.2.4. Если две плоскости общего положения заданы следами, то линия их взаимного пересечения строится по двум общим точкам, расположенным на пересечениях одноименных следов.

На рис. 72 показано нестроение линии пересечения плоскостей, следы которых в пределах чертежа пересекаются и нахождение общих точек ММ2 и N1N2 не представляет затруднений. Некоторые особенности построения представлены на рис. 72, в, где одноименные следы также пересекаются в пределах чертежа, только надо их продлить в обратную сторону, и точка их пересечения оказывается невидимой (в данном случае она расположена на нижнем поле плоскости π2 в четвертой четверти пространства).

65

а)	б)	в)
	Рис. 72.

5.2.5. Если в пределах чертежа пересекаются только одна пара следов, то на пересечении этой пары находится только одна общая точка, а другая получается с помощью вспомогательной секущей плоскости. В качестве вспомогательной применяются горизонтальная или фронтальная плоскости.

На рис. 73, а показано применение вспомогательной фронтальной плоскости, которая пересекает обе заданные плоскости по фронталям. Одна точка – N 2N1 находится на пересечении фронтальных следов Р2 и Q2, а другая - на пересечении фронталей f1 и f2 (точка М2М1). Следует обратить внимание на то, что вторая проекция точки М1 находится на следе вспомогательной плоскости.

а)	б)	в)
	Рис. 73.

Через найденные точки проводится линия пересечения заданных

плоскостей М1N1 и M2N2.

На рис. 73, б решение подобной задачи выполнено с помощью горизонтальной вспомогательной плоскости. Одна точка М1М2 находится на

66

пересечении следов P1 и Q1, а вторая - N - на пересечении горизонталей h1 и r1; ее фронтальная проекция N2 находится на следе r2 вспомогательной плоскости.

На рис. 73, в приведен частный случай, когда пара следов параллельна друг другу. В этом случае достаточно иметь одну общую точку N2N1, а линия пересечения заданных плоскостей проходит по их общей горизонтали (или по фронтали, если параллельны фронтальные следы).

Способ вспомогательных секущих плоскостей является универсальным и очень широко применяется в начертательной геометрии при решении многих графических задач.

5.2.6. Если в пределах чертежа не пересекаются обе пары следов, то для построения линии пересечения заданных плоскостей необходимо проведение двух вспомогательных плоскостей, каждая из которых определяет положение одной из двух обеих точек.

На рис. 74 показано построение линей пересечения заданных плоскостей Р и S с помощью двух вспомогательных горизонтальных плоскостей Q и Т. Первая из них определяет положение одной общей точки М1М2, другая - положение второй общей точки N1N2. Следует обратить внимание на то, что вспомогательные плоскости надо проводить по возможности дальше друг от друга (это повышает точность построения), а проекции линии пересечения доводить до оси X.

P2	S2
M2	Q2
N2	T2
x
M1
P1	S1
N1
Рис. 74.

5.2.7. Если плоскости заданы разными способами (например, одна - следами, другая - плоской фигурой или обе плоскости заданы не следами), то линии их взаимного пересечения находятся также способом вспомогательных плоскостей, но в качестве вспомогательных здесь могут применяться не только плоскости уровня, но и любые проецирующие плоскости.

67

Пример 29. Построить линию пересечения заданных плоскостей.

Решение (рис. 75).

	B2
l2		N2	S2
D2	C2	M2	S1
A2
	B1	h2
	l1
			h1
A1		N1
	C1
		M1

Рис. 75.

На рис. 75, а одна плоскость задана треугольником АВС, другая

следами Р1 и P2.

Проводим две вспомогательные горизонтальные плоскости S1 и S2. Первая из них пересекает плоскость Р по горизонтали h1, вторая пересекает плоскость ABС по горизонтали С1D1, на их пересечении находятся одна

общая точка М1М2.

Плоскость S2 пересекает плоскость Р по горизонтали h2, плоскость АВС - по горизонтали (l1)║С1D1, на их пересечении находится вторая общая точка N1N2. Через найденные точки проводится линия пресечения заданных плоскостей M1N1, M2N2.

5.2.8. В тех случаях, когда заданные плоскости на чертеже накладываются друг на друга, в качестве вспомогательных целесообразно применять проецирующие плоскости и необходимо дополнительно решать вопросы видимости фигур относительно друг друга.

На рис. 76 заданы два треугольника АВС и DEF, проекции которых наложены друг на друга. Здесь вспомогательные проецирующие плоскости целесообразно проводить через прямые, принадлежащие заданным фигурам.

68

Рис. 76.

Первая вспомогательная плоскость R проведена через прямую АВ (ее главный след совпадает с проекцией a2b2 (см. пример 14) в результате чего эта прямая становится линией пересечения плоскости R с плоскостью АВС. Линия пересечения плоскости R с плоскостью DEF строится по двум точкам 12-22, 11-21. На пересечении 1-2 с А1В1 находится одна из двух искомых точек M1M2. Вторая вспомогательная плоскость S проведена через прямую DE, и она становится линией пересечения плоскости S с плоскостью DEF. Линия пересечения плоскости S с плоскостью АВС находится по двум точкам 31-41, 32-42 и на пересечении D2E2 с 32-42 находится вторая искомая точка N2N1.

Соединив полученные точки, получим линию взаимного пересечения заданных фигур M1N1, M2N2.

Определение видимости фигур относительно друг друга производится с помощью конкурирующих точек (см. рис. 37).

Достаточно проанализировать пару конкурирующих точек, например, на пересечениях скрещивающихся прямых АВ и DE, чтобы установить, что на горизонтальной проекции фигур прямая А1В1 перекрывает собой прямую D1Е1, так как принадлежавшая ей точка расположена выше своей конкурентки.

На фронтальной проекции фигур прямая А2В2 перекрывает прямую D1E1, так как принадлежащая ей точка ближе своей конкурентки по отношению к наблюдателю.

69

Сообразуясь с этими выводами, производим окончательную обводку чертежа.

Может оказаться, что какая-либо из вспомогательных плоскостей не дает точки в пределах чертежа, следовательно она проведена ошибочно. В этом случае следует провести другую вспомогательную плоскость, через другую прямую.

5.3.Прямая, параллельная плоскости

5.3.1.Прямая параллельна плоскости, если она параллельна какойлибо прямой, принадлежащей этой плоскости.

Чтобы установить, параллельна ли заданная прямая заданной плоскости, достаточно в этой плоскости построить произвольную прямую так, чтобы какая-либо одна из ее проекций была параллельна одноименной проекции заданной прямой. Если при этом окажется, что и другая пара проекций параллельны между собой, то данная прямая и плоскость параллельны. В противном случае прямая не будет параллельна плоскости.

На рис. 77, а прямая параллельна плоскости Р, так как ее проекции

А1В1 и А2В2 параллельны одноименным проекциям M1N1 и M2N2 прямой MN, построенной в этой плоскости.

а)

б)

Рис. 77.

На рис. 77, б прямая DE не параллельна плоскости АВС, так как одна из ее проекций D1E1 оказалась не параллельной одноименной проекции прямой M1N1, построенной в этой плоскости, хотя другая пара проекций параллельны – M 2N2║D2E2.

70

5.4. Пересечение прямой линии е плоскостью

Прямая пересекает плоскость в одной единственной точке, определение которой производится с помощью вспомогательных проецирующих плоскостей, проведенных через заданную прямую.

Порядок решения задачи является общим для любого случая и показан на следующем примере.

Пример 30. Определить точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р.

Решение. 1) Через заданную прямую проводим вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость R (можно провести и фронталь- но-проецирующую плоскость).

2) Строим линию пересечения заданий и вспомогательной плоско-

стей M1N1, M2N2.

3) Находим точку пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Линия MN является геометрическим местом точек, общих для заданной и вспомогательной плоскостей, и только одна единственная из них одновременно принадлежит заданной прямой. Следовательно, эту точку надо искать на пересечении прямой АВ с прямой МN: А2В2ÇM2N2=К____.

4) Определяем видимость прямой относительно плоскости Р методом конкурирующих точек.

Если плоскость задана следами, то прямая будет видна там, где ее проекции пересекают одноименный след плоскости.

На рис. 78 изображены два варианта заданных плоскостей, однако порядок решения задачи остается неизменным.

P2

R2

N2

A2

B2

P3

R2

K2

K2

B2

A2

x

M2

N1

x

M2

N2

B1

B2

K1

M1

M1

K1

R1

P1

R1

A1

A1

P1

N1

Рис. 78.