11. Сжимаемость жид-тей и газов. Несжимаемая жидкость.Стационарный поток. Ур-ние неразрывности.

В отличие от твердого тела в жидкости и газе возможны значительные смещения составляющих их частиц относительно друг друга. Поэтому жидкости и газы не имеют собственной формы и всегда принимают форму сосуда, в котором они содержатся. Под действием сколь угодно малых сил они будут изменять свою форму, пока действуют силы. Следовательно, жидкости и газы не обладают упругостью по отношению к деформациям, вызывающим изменение формы без изменения объема. Но жидкости и газы обладают упругостью по отношению к деформации сжатия, т.к. для изменения их объема на конечную величину к ним необходимо приложить конечные силы тем большие по величине, чем больше их сжатие. В жидкостях и газах, как и в твердых телах, при их сжатии возникают силы, препятствующие сжатию, причем величина их возрастает с возрастанием величины деформации сжатия. Эти силы, подобно упругим, уравновешивают деформирующие силы. Однако сжимаемость жидкости мала и в движущейся жидкости, если V_ж < V_звука, ею можно пренебречь. Рассматриваем 1) жидкость несжимаемую, для воды  1% при Р = 200 атм.

Реальная жидкость вязкая. Если силы внутреннего трения малы по сравнению с другими действующими в ней силами (давление, тяжести и т.д.), то жидкость можно считать практически не вязкой. Воображаемая жидкость, совершенно не обладающая вязкостью, наз. идеальной. 2) Рассматриваем идеальную жидкость. В этих случаях потери энергии движения на трение и переход в тепло незначительны, и поэтому можно применять закон сохранения энергии в чисто механической форме.

Изучая движение жидкости необязательно следить за движением каждой ее частицы. Движение жидкости будет известно, если в каждой точке той области пространства, где течет жидкость, задан вектор скорости проходящих через нее частиц жидкости как функция времени. Такое поле скоростей, т.е. область пространства, каждой точке которой поставлен в соответствие вектор скорости частиц жидкости, проходящей через нее в различные моменты времени, наз. потоком жидкости. В тот или иной момент времени скорости в разных точках потока жидкости различны по величине и по направлению и, кроме того, могут изменяться во времени.

Если ни в одной из точек потока скорость с течением времени не изменяется, то поток наз. стационарным. Но в разных точках стационарного потока скорости могут быть различными. В стационарном потоке жидкости все частицы проходят в разные моменты времени через ту или иную его точку с одинаковой скоростью, хотя скорости частиц при переходе от одной точки потока к другой изменяются.

Для наглядной характеристики потока жидкости пользуются так наз. линиями тока. Это такие линии, касательные к которым в каждой их точке параллельны скоростям частиц, проходящих в данный момент времени через эти точки потока.

Движение жидкости наз. установившимся (стационар-ным), если скорость жидкости в каждой точке объема не изменяется с течением времени. 3) Рассматриваем движение жидкости установившееся. В этом случае линии тока также остаются неизменными и частица жидкости, находясь в данный момент времени на некоторой линии тока, все время остается на этой линии тока. При стационарном движении траектории частиц жидкости совпадают с линиями тока. Установившееся (стационарное) движение жидкости имеет место в тех случаях, когда силы, вызывающие движение, не изменяются во времени. Если поток нестационарен, то линии тока не совпадают с траекториями частиц жидкости.

Линии тока нигде не могут пересекаться одна с другой, т.к. в той или иной точке потока в данный момент времени может находиться только одна частица жидкости, обладающая определенной скоростью.

Часть потока, ограниченная боковой поверхностью, образованной линиями тока, наз. трубкой тока. В стационарном потоке жидкости любая трубка тока не изменяется с течением времени. Кроме того, если поток стационарен, то внутри данной трубки тока все время движутся одни и те же частицы жидкости. Жидкость в данном случае не может ни входить в трубку тока, ни выходить из нее через боковую поверхность, т.к. скорости частиц, движущихся непосредственно у боковой поверхности трубки, направлены по касательной к ней и не имеют составляющих, перпендикулярных ей. Линии же тока, проходящие внутри и вне трубки, не пересекают линий, образующих ее боковую поверхность.

В различных участках стационарного потока идеальной жидкости скорости ее частиц неодинаковы. Действительно, пусть идеальная несжимаемая жидкость течет по трубе с изменяющимся вдоль ее длины поперечным сечением.

Рис.1.

Выберем в трубе тока два поперечных сечения: S₁, где скорость течения жидкости V₁ и S₂ c V₂. Т.к. жидкость не сжимается, не разрывается и не проходит через боковую поверхность трубки, то за время t через эти сечения пройдут одинаковые объемы, а следовательно, и одинаковые массы m жидкости. Объем жидкости, протекающей через широкое сечение, имеет форму цилиндра с основанием S₁ и высотой V₁t; он равен S₁ V₁t. Точно так же через S₂ имеем S₂ V₂t. Тогда S₁ V₁ = S₂ V₂ . Т.к. сечения выбраны произвольно, то

SV = const - уравнение неразрывности струи.

Для данной трубки тока произведение площади поперечного сечения трубки на скорость течения жидкости есть величина постоянная.

Оно справедливо не только для трубки тока, но и для всякой реальной трубы, для русла реки и т.п.

Очевидно, чем уже трубка тока, тем с большей скоростью движется в ней жидкость, и наоборот.

В узкой части трубы, где скорость течения наибольшая, линии тока оказываются сгущенными. Т.о., картина линий тока дает представление не только о направлении, но и о значении скорости течения жидкости.

При течении реальной жидкости по трубам наблюдается качественно такая же зависимость между скоростью течения жидкости и площадью поперечного сечения трубы, если в трубе устанавливается стационарный поток жидкости, и силы трения между слоями жидкости и стенками трубы малы, так что скорости частиц жидкости во всех точках какого-либо сечения трубы оказываются практически одинаковыми.

12.УР-НИЕ БЕРНУЛЛИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЯ .

Пусть по наклонной трубе (или трубке тока) переменного сечения движется жидкость слева направо. Мысленно выделим область трубки, ограниченную сечениями S₁ и S₂ , в которых скорости течения V₁ и  V₂ , рис. 1 из предыдущего параграфа.

Определим изменение полной энергии, происходящее в этой области за малый промежуток времени t. За это время масса жидкости, заключенная между сечениями S₁ и S₁ втекает в рассматриваемую область, а масса, заключенная между S₂ и S₂ вытекает из нее. Иных изменений в данной области не происходит. Поэтому изменение полной энергии Е равно разности полных энергий вытекающей и втекающей масс:

Е = ( Е_к + Е_п)₂ – ( Е_к + Е_п) ₁ или (1)

Е = mV₂²/2 + mgh₂ - mV₁² - mgh₁ (2)

В соответствии с законом сохранения энергии найденное изменение энергии равно работе А внешних сил (давления) по перемещению массы m:

Е = А. (3)

Определим эту работу. Внешняя сила давления F₁ совершает работу А₁ по перемещению втекающей массы на пути V₁t, в то же время вытекающая масса на пути V₂t совершает А₂ против внешней силы F₂. Поэтому

А₁ = F₁V₁t; A₂ = - F₂V₂t («-» т.к. сила направлена против перемещения), а искомая работа

А = А₁ + А₂ = F₁V₁t - F₂V₂t.

Учитывая, что F₁ = p₁S₁ и F₂ = p₂S₂ , получим

А = p₁S₁ V₁t - p₂S₂ V₂t,

но S₁ V₁t =S₂ V₂t = V, т.к. жидкость не сжимается.

Поэтому А = р₁V – p₂V (4)

Объединяя (2) и (4), получим

mV₂²/2 + mgh₂ + p₂V = mV₁²/2 + mgh₁ + p₁V |:V

V₂²/2 + gh₂ + p₂ = V₁²/2 + gh₁ + p₁ . (m/V =)

Поскольку сечения S₁ и S₂ выбраны произвольно, можно окончательно написать

V²/2 + gh + p = const - уравнение Бернулли (5)

1700 – 1782г., петербургский академик.

V²/2 –удельная кинетическая энергия жидкости

gh – удельная потенциальная энергия жидкости

р - удельная энергия жидкости, обусл. силами давления

При установившемся движении идеальной несжимаемой жидкости сумма удельной энергии давления и кинетической и потенциальной удельных энергий остается постоянной на любом поперечном сечении потока.

Единицей давления 1 Па = 1Н/м² = 1 Н м/м³ = Дж/м³.

Следовательно, уравнение Бернулли выражает закон сохранения энергии (удельной).

Все члены (5) можно рассматривать как давления, причем р наз. статическим, V²/2 –динамическим, gh –гидравлическим давлением (напором).

Следовательно,В установившемся потоке идеальной несжимаемой жидкости полное давление (напор) , слагающееся из динамичес-кого, гидравлического и статического давлений , постоянно на любом поперечном сечении потока (уравнение Бернулли).

Для горизонтальной трубки тока (h₁ = h₂) уравнение Бернулли примет вид

V²/2 + p =const.

Из уравнений Бернулли и неразрывности следует, что в местах сужения трубопровода скорость течения жидкости возрастает, а статическое давление понижается. Уравнения (1) – (5) применимы и для газа, поскольку, как показывает теория и опыт, при скоростях движения газа, меньших скорости распространения звука в нем, сжимаемостью газа можно пренебречь.

Уравнение Бернулли является одним из основных законов механики движения жидкости и газов, имеющих большое прикладное значение. Примеры: 1) гидротурбина (потенциальная энергия давления воды в узком сопле переходит в кинетическую энергию, за счет которой рабочее колесо приводится во вращение) 2) гидротаран, 3)аэрация почвы, 4)карбюратор двигателей, 5) пульверизатор, 6)сталкивание двух параходов, близко идущих одним курсом.

Давление в движущейся жидкости можно измерить с помощью неподвижной манометрической трубки (зонд), если ее соприкасающееся с текущей жидкостью отверстие площади S ориентировано параллельно направлению движения жидкости, рис. 1.

Рис.1.

Действительно, элементарно тонкий слой жидкости в манометрической трубке, примыкающий к ее отверстию, находится в покое. Значит, сила давления F =pS, действующая со стороны текущей жидкости, уравновешивается силой, с которой столб жидкости в трубке высотой h действует на него в противоположном направлении (вниз) и которая равна весу столба жидкости F =  ghS (внутри трубки, у ее закрытого конца, над поверхностью жидкости вакуум). Т.о. Р = gh,

т.е. давление р в той точке потока жидкости, на уровне которой находится отверстие в манометрической трубке, равно весу столба жидкости, находящейся в трубке, площадь сечения которого равна единице.

Давление в движущейся жидкости в соответствии с законом Бернулли связано со скоростью ее частиц. В более широких участках трубки, где скорость жидкости мала, давление жидкости

будет по величине большим, чем в более узких участках той же трубки тока, где скорость жидкости больше (трубка Вентура).

Совсем другое давление будет измерять в движущейся жидкости неподвижная манометрическая трубка, изогнутая под прямым углом, так что ее отверстие, находящееся в жидкости, ориентировано навстречу потоку и его площадь перпендикулярна к линиям тока (трубка Пито), рис. 2.

Рис.2.

Пусть вдали от манометрической трубки давление и скорость жидкости равны р и V . В сечении же, совпадающем с отверстием манометрической трубки, скорость жидкости V = 0, т.к. жидкость, достигшая отверстия, здесь затормаживается. Обозначим давление в сечении отверстия р, то в соответствии с законом Бернулли для двух данных сечений трубки тока получим:

Р + V²/2 = p, т.к. (h и h равны). (6)

Возрастание давления у отверстия изогнутой трубки обусловливается сжатием затормаживаемой здесь жидкости. Из (6) можно определить V жидкости

V = 2(р - р)/ (7)