2) Потенциальная энергия тела массы m, находящегося в гравитационном поле другого тела массой м на расстоянии r0 от него.

Для этого рассчитаем работу А перемещения первого тела по пути x, соответствующем максимальному сближению тел. Учитывая переменный характер силы тяготения данную задачу просто решить путем интегрирования А = - Fdr = - fmM dr/r² = f mM/r_п – fmM/r₀. (8)А = Е_по – Е_пк,

где r – переменное расстояние между центрами тяготеющих масс. Знак (-) потому, что для сближающихся масс dr отрицателен, т.к. работа dA = Fdr должна быть положительной, поскольку перемещение массы происходит в направлении действия силы.

Данную задачу можно было решить и без интегрирования, разбивая путь на достаточно малые отрезки, на каждом из которых можно считать силу тяготения постоянной, подсчитать совершаемые на этих отрезках работы и просуммировать их. Но это достаточно громоздко.

Из (4) и (6) следует, что Е_п = -fMm/r - потенциальная энергия тяготения. Знак (-) показывает, что по мере самопроизвольного сближения тяготеющих тел их потенциальная энергия должна уменьшаться, переходя в кинетическую.

В механике доказывается, что всякая предоставленная самой себе система стремится перейти в состояние, соответствующее минимуму потенциальной энергии.

Из (7) следует, что максимальное значение кинетической энергии Е_п (W_п = 0) тяготеющие тела будут иметь в случае, когда они удалены на r = др. от др. и Е_п равна min при rr_min.

3) Определим потенциальную энергию тела массой m, находящегося на небольшой высоте h над земной поверхностью.

Е_п=-fMm/(R + h)=-f(Mm/R)/(1 + h/R), где М – масса Земли, R – радиус Земли. Так как h/R <<1, то пренебрегая h²/R² по сравнению с 1, можно считать 1/(1 + h/R) = (1 – h/R)/(1 – h²/R²)  1 – h/R.

Тогда Е_п = -fMm(1 – h/R)/R = - fMm/R + (fM/R²)mh, но fM/R² = g,

Тогда W_п = - fMm/R + mgh, где fMm/R – потенциальная энергия тела, находящегося на уровне земной поверхности, обычно принимают равной нулю, тогда Е_п = mgh.

Механическая энергия является лишь одним из многих видов энергии. В настоящее время кроме мех. энергии известны химическая, электрическая, электромагнитная, ядерная, тепловая и др. В природе и технике постоянно имеют место переходы (превращения) энергии из одних видов в другие.

Вопрос 12. Гармоническое колебание и его хар-ки. Маятники.

Среди явлений природы мы часто наблюдаем периодические процессы. Например, морские приливы и отливы, морские ветры и т.д.

В периодическом процессе изменение какой-либо величины повторяется в точности через совершенно определенное время – период. Математически функция f(t) является периодической с периодом Т, если для любого момента времени выполняется равенство: F(t + T) = f(t). (1)

Многие реальные процессы идут с «затуханием» и любую величину, описывающую их движение, нельзя в точности описать с помощью (1), т.е. движение не будет периодическим. Однако, движение такого рода, когда тело поочередно многократно раз смещается то в одну то в другую сторону, наз. колебательным движением или колебанием. Периодические процессы представляют частный случай колебательных процессов. Их можно представить как наложение гармонических колебаний.

Колебания называются свободными (или собственными), если они совершаются за счет первоначально сообщенной энергии при последующем отсутствии внешних воздействий на колебательную систему.

Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим закономерностям и могут быть сведены к совокупности простейших периодичесих колебаний, называемых гармоническими. Эти колебания представляют собой периодический процесс, в котором изменение какой-либо величины происходит по закону синуса или косинуса.

Ознакомимся с этими колебаниями на примере равномерного движения материальной точки по окружности. Предположим материальная точка А движется по окружности радиуса R c угловой скоростью . Смещение ее вдоль оси Ох будет определяться проекцией радиуса на ось Ох (рис.1)

R_x(t) = R cos ( t +  ). (2)

Эта формула описывает колебательное движение проекции точки А вдоль оси Ох около точки О, которую будем наз. «положением равновесия». Период изменения проекции такой же, как и время одного оборота точки А. Он равен Т = 2t  - фаза колебания (аргумент тригонометрической функции в уравнении гармонических колебаний). Она определяет состояние колебательной системы в любой момент времени. При t = 0 ₀ – начальная фаза.

Максимальное значение проекции точки А вдоль оси Ох от положения равновесия, наз амплитудой колебаний. В данном случае R_xmax. = R. Очевидно, фазам, различающимся между собой на величину кратную 2, соответствуют одинаковые смещения. Изменение фазы на 2 рад. соответствует промежутку времени в период Т.

Обычно смещение обозначают X и тогда X(t) = A sin (t + ₀) (2).

Определим скорость точки, совершающей гармоническое движение

V = dx/dt = Acos t =A sin(t +  /2). (3)

Из (3) видно, что V = V(t), следовательно, колебательное движение совершается с ускорением W, которое равно W =d²x/dt² =dV/dt=²Acos(t + /2)=²A sin(t +)= - ²Asint= -²x. (4).

Из выражения (4) следует дифференциальное уравнение гармонических колебаний d²x/dt² + ²x = 0. Решением этого уравнения является уравнение (2).

Таким образом, смещение X, скорость V и ускорение W точки А совершают гармонические колебания с одинаковыми круговой частотой и периодом Т = 2.

Маятники. Пружинный маятник — груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершаю­щий гармонические колебания под дей­ствием упругой силы F = — кх, где к — коэффициент упругости, в случае пружины, называемый жесткостью.

Физический маятник — твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси подвеса, не проходящей через центр масс тела.

Математи­ческий маятник — идеализированная сис­тема, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеблющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника яв­ляется небольшой тяжелый шарик, под­вешенный на тонкой длинной нити.

В качестве примера гармонических колебаний рассмотрим движение математического маятника, т.е. небольшого тела, подвешенного на столь длинной нити, что размерами тела по сравнению с длиной нити можно пренебречь. Нить нерастяжима и невесома.

Если отклонить тело от положения равновесия (в точку А) и отпустить, оно начнет совершать колебательные движения, рис.2. На тело действуют сила тяжести и сила натяжения нити. Составляющая силы тяжести mgsin, направлена вдоль касательной к траектории, меняет величину скорости тела. Маятник движется вниз с нарастающей скоростью.

По второму закону Ньютона - mg sin = mW_ (*)

Cчитаем: 0 и х0 при отклонениии вправо от вертикали.

В положении равновесия (в точке 0) касательное ускорение W_ =0, однако скорость тела не равна нулю, и оно по инерции движется дальше, поднимаясь вверх. Слева от положения равновесия тангенциальная составляющая силы тяжести направлена против скорости, следовательно, движение маятника замедляется. В момент остановки (точка А) скорость V = 0, a ускорение W_ = max и маятник начнет двигаться направо в сторону положения равновесия.

Если угол отклонения  мал, то отклонение тела от положения равновесия х, отсчитываемое вдоль дуги окружности, по которой движется маятник, равно х = l. Уравнение Ньютона (*) тогда будет иметь вид g = - W_. Знак «-« означает, что угол  и ускорение направлены в разные стороны. Т.к.  =х/l, то W_ = - gx/l (5)

Сравниваем (5) и (4) и видим, что ² = g/l, т.е. движение маятника происходит по гармоническому закону, а его смещение в любой момент времени определяется выражением X(t) = Asin( g/l + ₀), т.е.

Математический маятник колеблется с частотой g/l, а его период

Т = 2  g/l  l/g  f(m) !  g ! Аналогично рассматриваются колебания пружинного маятника и получают: X(t) = A sin(k/m t + ₀) , а период T = 2 = 2m/k, где к – жесткость.