Вопрос 24. Явления переноса в газах и жидкостях. Внутреннее трение (вязкость).

В термодинамически неравновесных системах возникают особые необратимые процессы, называемые явлениями перено­са, в результате которых происходит пространственный перенос энергии, массы количества движения. К явлениям переноса относятся теплопроводность (обус­ловлена переносом энергии), диффузия (обусловлена переносом массы) и внут­реннее трение (обусловлено переносом количества движения). Для этих явлений перенос энергии, массы и количества движения всегда происходит в направ­лении, обратном их градиенту, т. е. систе­ма приближается к состоянию термоди­намического равновесия.

Если в газе имеются слои, движущиеся с различными скоростями, то обмен молекулами между этими слоями будет сопровождаться переносом количества движения из одного слоя в другой. Молекулы, переходящие из более быстрого слоя в более медленный, приносят с собой избыток количества движения, который путем столкновений распределяется между молекулами этого слоя, вследствие чего медленно двигавшийся слой ускоряется. Наоборот, молекулы, проникшие в быстрый слой из более медленного, получают от молекул этого слоя некоторое количество движения. Вследствие этого более быстрый слой замедляется. Такой процесс переноса количества движения из одного слоя в другой, приводящий к выравниванию скоростей отдельных слоев, называется внутренним трением или вязкостью газа.

Если разность скоростей движения слоев газа внешними силами поддерживается постояной, то и поток количества движения от слоя к слою будет постоянным (стационарным). С таким случаем мы встречаемся, например, при медленном течении газа по трубе под действием постоянной разности давлений, направленной вдоль движения.

Для жидкостей характерна достаточно плотная упаковка молекул (об этом свидетельствует их малая сжимаемость). Поэтому каждая молекула, постоянно сталкиваясь с соседними молекулами, в течение некоторого времени колеблется около определенного положения равновесия. Время от времени молекула, получив от соседней молекулы достаточную энергию, скачком переходит в новое положение равновесия. Дальность этого скачка  примерно равна размеру молекул (10^-10м). Среднее время , в течение которого молекула колеблется около данного положения равновесия, называется временем оседлой жизни молекулы. Расчеты показывают, что ₀expE/(kT), (1)

где ₀ – средний период колебаний молекулы; E – минимальная энергия, которую нужно сообщить молекуле жидкости, чтобы она могла перейти из одного положения равновесия в другое (Е10^-20 Дж); k – постоянная Больцмана; Т – абсолютная температура жидкости. Для воды при комнатной температуре ₀  10^-13с, а   10^-11с. С повышением температуры подвижность молекул возрастает, время оседлой жизни уменьшается.

При движении жидкости между слоями, перемещающимися с различной скоростью, возникают силы внутреннего трения (вязкости) подобно, как и в газе. Эти силы направлены так, что ускоряют медленно движущиеся слои или замедляют быстро движущиеся.

Количественно перенос количества движения между слоями, движущимися с различными скоростями, в газах и жидкостях описывается аналогичными уравнениями.

Рассмотрим ламинарный поток жидкости или газа в направлении оси Y (рис. 1). Слои движутся с разными скоростями, а скорости двух слоев, отстоящих друг от друга на расстоянии dx, отличаются на dv. Величина dv/dx· n –градиент скорости – показывает, как быстро изменяется скорость слоев вдоль оси Х, здесь – единичный вектор в направлении максимального возрастания скорости (в нашем случае в отрицательном направлении осиХ).

Ньютон установил, что модуль силы внутреннего трения между слоями прямо пропорционален площади их соприкосновения и модулю градиента скорости:

где  – коэффициент пропорциональности, называемый вязкостью (или коэффициентом вязкости) жидкости или газа, соответственно; площадка S_n ориентирована перпендикулярно к градиенту скорости.

Между слоями жидкости (или газа) будет происходить передача импульса. По второму закону Ньютона

где dp – величина импульса, переносимого за время dt от слоя к слою через поверхность S_n, перпендикулярную к направлению переноса импульса. Знак минус указывает, что импульс переносится от слоев, движущихся с большей скоростью, к слоям, движущимся с меньшей скоростью (в нашем случае вдоль оси Х).

Импульс, переносимый через единичную площадку, расположенную перпендикулярно к переносимому потоку импульса за единицу времени, называется плотностью потока импульса :

Соотношения (2)-(4) являются различными формами записи основного закона вязкости - закона Ньютона. Физический смысл вязкости  можно определить из любого соотношения. Например, из (4) следует, что вязкость  определяется плотностью потока импульса при градиенте скорости, равном единице.

Вязкость жидкости зависит от ее химического состава, примесей и температуры. С повышением температуры Т вязкость жидкости уменьшается по закону

=АexpE/(kT). (5)

Здесь коэффициент А для каждой конкретной жидкости можно приблизительно считать постоянным.

Вязкость газов (паров) в отличие от жидкостей с повышением температуры медленно увеличивается (), при критической температуре Т_кр. вязкости жидкости и ее пара сравниваются (рис. 2). Рис. 2

Разный характер температурной зависимости вязкости жидкостей и газов указывает на различие механизмов внутреннего трения в них. В газах перенос импульса осуществляется при переходе молекул из слоя в слой благодаря тепловому движению. В жидкостях большую часть времени молекулы колеблются около положения равновесия, скачкообразные переходы редки. Так как молекулы жидкости находятся близко друг к другу, силы молекулярного сцепления между ними значительны. Поэтому одни слои жидкости увлекают (тормозят) соседние слои в основном за счет сил притяжения. Перенос импульса вследствие скачкообразных переходов молекул не играет решающей роли. С повышением температуры расстояния между молекулами увеличиваются, а силы притяжения уменьшаются и, как следствие, уменьшается вязкость.

Величина / (6) называется кинематической вязкостью.

Приборы для измерения вязкости называются вискозиметрами. Существует несколько методов определения вязкости: метод Стокса, основанный на измерении скорости падения шарика в исследуемой жидкости; метод Пуазейля, в основе которого лежит измерение объема жидкости (газа), протекающей через капиллярную трубку; метод затухающих колебаний тела, подвешенного на упругой нити в исследуемой среде, и другие. Молекулярно-кинетическая теория для вязкости газов дает выражение:  = (1/3)V, где  - средняя длина свободного пробега молекул газа.

Вопрос 25. Средняя квадратичная скорость теплового движения молекул газа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул газа. Степени свободы молекул. Распределение энергии по степеням свободы.

Вариант 1.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения газовых молекул равна  mV²/2 = 3кТ/2, где к – постоянная Больцмана, Т – абсолютная температура газа.

Однако, кроме поступательного движения газовых молекул могут совершаться и другие виды движения: вращение и колебание, с которыми тоже связана некоторая энергия. Таким образом, полный запас кинетической энергии молекулы не исчерпывается энергией лишь поступательного движения, она может обладать кинетической энергией вращения и колебания.

Для того чтобы подсчитать среднюю кинетическую энергию молекулы, приходящуюся на все виды ее движения, необходимо ввести понятие о степенях свободы молекулы и выяснить, какая доля общей энергии приходится на одну степень свободы.

Под числом степеней свободы любой механической системы понимают число независимых движений, которые одновременно может совершать эта система; или другими словами, число степеней свободы – это число независимых переменных, определяющих положение системы в пространстве.

Во многих случаях молекулу одноатомного газа можно рассматривать как материальную точку, которой приписывают три степени свободы поступательного движения (вращательными степенями свободы материальная точка обладать не может). Система N материальных точек, могущих двигаться независимо друг от друга, имеет 3N степеней свободы. Если же отдельные точки в системе как-то связаны друг с другом, то число степеней свободы такой системы будет меньше 3N. Например, абсолютно твердое тело, могущее как угодно двигаться в пространстве, обладает 6 степенями свободы, из которых 3 отвечают поступательному движению (три независимо изменяющиеся координаты, определяющие вращение центра тяжести тела) и три – вращательному движению.

Многие газы, например, H₂, O₂, N₂,окись углерода СО и другие состоят из молекул, построенных из двух атомов. В первом приближении двухатомную молекулу можно рассматривать как систему из двух материальных точек, расположенных на некотором расстоянии друг от друга и связанных между собой силами взаимодействия. Можно допустить, что связь между атомами молекул является абсолютно жесткой, т.е. расстояние между атомами не изменяется, тогда такой молекуле следует приписать 5 степеней свободы, а именно: 3 поступательного движения и 2 вращательного движения. Такая молекула кроме трех поступательных движений может совершать еще 2 вращательных движения вокруг 2-х взаимно перпендикулярных осей, составляющих прямой угол с линией, соединяющих атомы. Вращение вокруг самой оси молекул мы не принимаем во внимание, т.к. оно лишено смысла. Таким образом, 2-х атомная молекула обладает пятью степенями свободы (i = 5). Подобно трехатомные и многоатомные линейные молекулы обладают пятью степенями свободы: а именно: 3 поступательного движения и 2 вращательного движения (i = 5). Трехатомные и многоатомные нелинейные молекулы имеют 6 степеней свободы: 3 поступательного и 3 вращательного движения. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому для реальных молекул иногда необходимо учитывать также степени свободы колебательного движения. Так 2-х атомная молекула с нежесткой связью между атомами будет обладать, кроме 3 поступательных и 2 вращательных степеней свободы, одной колебательной степенью свободы, соответствующей переменной, определяющей взаимное расстояние между атомами, которое в этом случае будет изменяться. Следовательно, в общем случае 2-х атомные молекулы обладают 6 степенями свободы.

Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, все они равноправны, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения средней кинетической энергии поступательного движения молекул газа, а именно ₁₀/3 = (1/2)кТ.

Можно показать, что этот результат относится к вращательному и колебательному движениям молекул, т.е. справедливым является следующее положение: для статистической системы, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная кТ/2, а на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная кТ (теорема Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул).

Колебательная степень свободы «обладает» вдвое большей энергией, потому что на нее приходится не только кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), но и потенциальная энергия, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы. Таким образом, средняя энергия молекулы  = (i/2)кТ,

где i – сумма числа поступательных, вращательных и удвоенного числа колебательных степеней свободы молекул I = I_пост+ I_вращ + 2i_колеб

В классической теории рассматриваются молекулы с жесткой связью между атомами. Сумма всех видов энергий движения и взаимодействия частиц тела или системы тел называется внутренней энергией тела или системы. В состав внутренней энергии тела входит энергия всех видов движения, а именно: энергия поступательного и вращательного движения молекул, энергия колебательного движения атомов в молекулах, а также энергия взаимодействия входящих в тело молекул. Внутренняя энергия не включает в себя кинетическую и потенциальную энергию тела, как целого.

Если известен закон взаимодействия между частицами в том или ином теле, то молекулярно-кинетическая теория позволяет рассчитать внутреннюю энергию этого тела. Проще всего определить внутреннюю энергию идеального газа. Так как в идеальном газе взаимодействие между молекулами отсутствует (взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю), то его внутренняя энергия складывается только из энергии теплового движения отдельных молекул. Тогда внутренняя энергия, отнесенная к одному молю газа, будет равна сумме кинетических энергий N_А молекул:

U₀ = (i/2)kTN_A = (i/2)RT.

Внутренняя энергия для произвольной массы М газа U = (M/)i RT/2 = Z i RT/2. Из полученной формулы видно, что внутренняя энергия данной массы идеального газа зависит только от температуры и совершенно не зависит от объема, занимаемого газом при данной температуре. Для реального газа это не так.

Вариант 2.

Важной характеристикой термодинами­ческой системы является ее внутренняя энергия U — энергия хаотического (тепло­вого) движения микрочастиц системы (мо­лекул, атомов, электронов, ядер и т. д.) и энергия взаимодействия этих частиц. Из этого определения следует, что к внут­ренней энергии не относятся кинетичес­кая энергия движения системы как целого и потенциальная энергия системы во внешних полях.

Внутренняя энергия — однозначная функция термодинамического состояния системы, т. е. в каждом состоянии систе­ма обладает вполне определенным значе­нием внутренней энергии. Состояние системы, в котором U = О, совершенно про­извольно, поскольку в термодинамике ин­терес представляет не сама внутренняя энергия U системы, а ее изменение ΔU при изменении состояния системы.

В ряде задач молекулу одно­атомного газа (рис. 77, а) рассматривают как материальную точку, которой припи­сывают три степени свободы поступатель­ного движения. При этом энергию вра­щательного движения можно не учиты­вать (r→0, J = mr²→ О, T_Bp = Jω² /2→0).

В классической механике молекула двухатомного газа в первом приближении рассматривается как совокупность двух материальных точек - атомов, жестко связанных недеформируемой связью (рис. 77,6). Эта система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси (оси, проходящей через оба атома) ли­шено смысла. Таким образом, двух­атомный газ обладает пятью сте­пенями свободы (i = 5). Трехатомная (рис. 77, в) и многоатомная нелинейные молекулы имеют шесть степеней свобо­ды — три поступательных и три враща­тельных. Естественно, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому для реальных молекул необходимо учи­тывать также степени свободы колеба­тельного движения.

Независимо от общего числа степеней свободы молекул три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из посту­пательных степеней свободы не имеет пре­имущества перед другими, поэтому на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная ⅓ значения (43.7):

В классической статистической физике выводится закон Больцмана о равномер­ном распределении энергии по степеням свободы молекул: для статистической си­стемы, находящейся в состоянии термо­динамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетиче­ская энергия кТ/2, а на каждую коле­бательную степень свободы - в среднем энергия кТ. Колебательная степень обла­дает вдвое большей энергией потому, что на нее приходится не только кинетиче­ская энергия (как в случае поступатель­ного и вращательного движений), но и потенциальная энергия, причем средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы.

Таким образом, средняя кинетическая энергия молекулы <ε>=ikT/2, где i — сумма числа поступательных, числа вращательных и удвоенного числа колеба­тельных степеней свободы молекулы i ⁼ i_пост + i_вращ+ 2i_колеб. Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаи­модействуют), то внутренняя энергия, от­несенная к одному молю газа, будет рав­на сумме кинетических энергий N_A мо­лекул : U_m=ikTN_A/2= iRT/2. (50.1)

Если имеем v молей газа (v=m/M), то его внутренняя энергия где m — масса газа, М — молярная мас­са газа.