3. Свойства определенного интеграла

b

dx b a

a

Доказательство

b		Lim
			(1 x1	1 x2	... 1 xn ) b a
	dx
a	max x 0

4. Свойства определенного интеграла

Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, т.е.

	b	b
Доказательство	Kf x dx K f x dx
	a	a

Пусть фиксированы разбиение отрезка [а, b] и выбор точек

ξ1,ξ2,…. на каждом из отрезков разбиения. Используя ассоциативный

(распределительный) закон умножения чисел, имеем

Δхi = К Δхi

Перейдем к пределу в левой и правой части последнего равенства при max0:

5. Свойства определенного интеграла

Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен
такой же сумме интегралов от этих функций, т.е.
b	f1 x f2 x dx b f1	x dx b f2 x dx
a	a	a

Доказательство

6. Свойства определенного интеграла

	Если на [а, b]		b		b
	f x (x)		, то f	x dx (x)dx
			a		a
	т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.
	Доказательство
	b			n
	( f x (x))dx Lim			( f ( i ) ( i )) xi 0
	a		max x 0	i 1
	По свойству 5 получаем
	b	b		b	b
	f x dx (x) 0
				f x dx (x)

a

a

a

a

7. Свойства определенного интеграла

Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, т.е. при любых а, b, с:

b	c	b
f x dx f x dx f x dx
a	a	c
Доказательство
b	c	b
f x dx S	f x dx S1	f x dx S2

a

a

c

8. Свойства определенного интеграла

Если M – наибольшее значение функции f(x) на отрезке [a;b], а m – наименьшее значение функции f(x) на отрезке [a;b], то:

Доказательство

m

9.Свойства определенного интеграла

a)Интеграл от нечетной функции по симметричному отрезку равен

нулю

b) Интеграл от четной функции по симметричному отрезку равен удвоенному интегралу по половине отрезка

9. Свойства определенного интеграла

Доказательство

a)По свойству 7

b)По свойству 7

Теорема о среднем

Теорема. Если функция непрерывна на [а, b], то

существует такая точка, что

b

f (x)dx f ( )(b a).

a

Доказательство

Тогда

найдется такое число ξ [а, b], что

Найдется такая точка ξ из отрезка [а, b], что площадь под кривой у= f(x) на [а, b] равна площади прямоугольника со сторонами f () и b

— а.

Интеграл с переменным верхним пределом

Если функция f(x)интегрируема на отрезке [a,b], то она интегрируема и на отрезке [a, x], где x [a,b], т.е. существует интеграл

Ф(х)=

Этот интеграл является функцией x , и называют интегралом с переменным верхним пределом.

Теорема. Если f(x) - непрерывная на отрезке [a,b] . Тогда в каждой точке х отрезка [а, b] производная функции Ф(х) по переменному верхнему пределу равна подынтегральной функции

f (x ) , т.е. Ф′(x)= f(x), или f(x) Следствие.