2 семестр МПиТК / 2-й семестр / Коллоквиум 2 поток / Коллоквиум

Пусть имеет непрерывные вторые частные производные в точке , а, значит, ее первые частные производные дифференцируемы в этой точке. Возьмем дифференциал от первого дифференциала, считая и константами, .

. .

Формула Тейлора.

Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные до той включительно. Тогда ее можно разложить в окрестности точки по формуле Тейлора , где - точка, лежащая на прямой между точками и . Последнее слагаемое называется остаточным членом в форме Лагранжа. Данная формула совпадает с формулой Тейлора для функции одной переменной, если последнюю записать через дифференциалы. Формулу Тейлора можно записать и с остаточным членом в форме Пеано .

Экстремумы.

Опр. Функция имеет в точке локальный максимум (минимум), если . В случае строгих неравенств экстремумы называются строгими.

Теор. (Необходимое условие экстремума). Пусть имеет экстремум в точке , тогда, если существуют частные производные первого порядка , то они равны нулю в этой точке.

Док. Зафиксируем все переменные кроме той. Получим функцию одной той переменной, которая имеет экстремум, а, значит, ее производная, согласно теореме Ферма, равна нулю. Теорема доказана.

Замечание. Если функция имеет экстремум в точке и дифференцируема в этой точке, а, значит, имеет все производные первого порядка, тогда .

Равенство нулю частных производных первого порядка не является достаточным для существования экстремума. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмотреть простую функцию .

Опр. Квадратичная форма называется:

а) положительно определенной квадратичной формой, если

б) отрицательно определенной квадратичной формой, если

в) неопределенной квадратичной формой, если

Критерий Сильвестра. Квадратичная форма положительно определена в том и только том случае, когда все главные миноры ее матрицы положительны

Квадратичная форма отрицательно определена, если положительно определена. Утверждение. Если квадратичная форма положительно определена, то найдется такое положительное число , что .

Действительно. Рассмотрим квадратичную форму на сфере . Функция положительно определена и непрерывна на сфере (замкнутом ограниченном множестве), значит, принимает в некоторой точке сферы минимальное положительное значение . Если , то точка принадлежит сфере, поэтому . Используя однородность квадратичной формы, получаем , то есть .

Теор. (Достаточное условие экстремума). Пусть функция имеет в окрестности точки непрерывные частные производные второго порядка, и пусть . Тогда, если - положительно определенная квадратичная форма, то - точка строгого минимума, если - отрицательно определенная квадратичная форма, то - точка строгого максимума, если - неопределенная квадратичная форма, то в точке нет экстремума.

Док. Используя формулу Тейлора при и тот факт, что , запишем приращение функции .

Пусть является положительно определенной квадратичной формой, тогда в силу последнего утверждения найдется такое положительное число , что . Теперь приращение функции можно записать в виде . Последний член в неравенстве более высокого порядка малости при , чем предпоследний. Поэтому найдется окрестность точки , в которой предпоследний член превзойдет последний по модулю, и мы получим , то есть в точке будет наблюдаться локальный минимум. Аналогично доказывается для отрицательно определенной квадратичной формы. Для неопределенной квадратичной формы доказывается методом от противного. Теорема доказана.

Условный экстремум.

Пусть задана функция и уравнения связи

Опр. Функция имеет в точке условный максимум (минимум), если и удовлетворяющим уравнениям связи выполняется неравенство . В случае строгих неравенств условные экстремумы называются строгими.

Прямой метод отыскания условного экстремума.

Предположим, что из системы уравнений связи можно выразить какие-либо переменных через остальные переменных. Тогда, подставив их в получим функцию переменных. Задача отыскания условного экстремума сводится, таким образом, к отысканию обычного экстремума.

Наибольшие и наименьшие значения функции.

Пусть непрерывная функция определена в некоторой ограниченной замкнутой области, граница которой задается уравнением . Наибольшие и наименьшие значения функция может принимать в точках экстремума (внутри области) и на границе области в точках условного экстремума функции с уравнением связи .

Неявные функции.

Рассмотрим уравнение . Множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому уравнению, можно назвать графиком уравнения. Например, множеством точек, удовлетворяющих уравнению , является окружность единичного радиуса. Верхняя часть этой окружности соответствует функции , нижняя часть окружности определяется функцией .

Теор. Пусть непрерывная функция имеет в окрестности точки непрерывные производные и при этом , , тогда существует прямоугольник в котором функция определяет как неявную функцию . Функция - непрерывно дифференцируема на интервале и .

Вопросы к коллоквиуму (2 семестр, гр. МП – 16, 17, 17а, 18, 19)

1.Несобственные интегралы. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.

2.Несобственные интегралы. Их свойства.

3.Необходимое и достаточное условие сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций.

4.Признак сравнения.

5. Предельный признак сравнения.

6.Открытые, замкнутые, ограниченные, связные множества.

7.Предел функции. Критерий Коши существования конечного предела.

8.Непрерывность функции в точке.

9.Дифференцируемость функции. Необходимое условие дифференцируемости.

10.Достаточное условие дифференцируемости.

11.Необходимое и достаточное условие дифференцируемости.

12.Дифференцирование сложной функции.

13.Дифференциал. Инвариантность формы первого дифференциала.

14.Касательная плоскость к графику функции двух переменных. Вектор нормали.

15.Теорема о смешанной производной.

16.Формула Тейлора.

17.Экстремум функции. Необходимое условие экстремума.

18.Достаточное условие экстремума.

19.Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума.

20.Теорема о неявной функции.