II. Типовые задачи по математике.

1. Операции с векторами на плоскости.

Даны векторы и . Найти:

1. длины этих векторов;

2. ;

3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними.

1. Операции с векторами в пространстве

Даны векторы и . Найти:

1. длины этих векторов;

2. ||;

3. скалярное произведение данных векторов и угол между ними

3. Прямые и окружности на плоскости.

   1. Составить уравнение прямой, представленной на рисунке.

2. Определить угловой коэффициент "k" и величину отрезка "b", отсекаемого прямой на осиOY.

3. Даны уравнения прямых: а) x+y+1=0; б) x+y=0; в) 2·x+y+2=0; г) y=2·x

Какие из заданных прямых параллельны?

4. Составить уравнение прямой, если известно, что прямая проходит через точку М(1;1) и имеет угловой коэффициент к=1.

5. Найти длину отрезка, заключенного между точками пересечения прямой

3у+4х-12=0 с осями координат.

1. Определить угол между прямыми х–2у–2=0 и у=–2 х+3.

2. Составить уравнение прямой, проходящей через точки и.

3. Определить, с какими из прямых а) у=3; б) у=-х; в) х=5; г) у=2х пересекается окружность х²+у²=25.

4. Составить уравнение окружности, проходящей через точку М(-1;1) и центр которой лежит в точке С(-4;5).

5. Определить координаты центра окружности, заданной уравнением .

6. Составить уравнение окружности, представленной на рисунке.

1. Определители (детерминанты).

Вычислить определители:

1. ;

2. ;

3. .

1. Операции с квадратными матрицами.

Даны матрицы: и . Найти:

1. 5А – В;

2. 3А^t – 2B;

3. АВ.

1. Обратные матрицы.

   1. Найти обратные матрицу для матрицы .

2. Системы линейных алгебраических уравнений

   1. Решить систему методом Крамера.

8. Пределы дробно-рациональных функций и замечательные пределы

Вычислить пределы:

1. .

2. 

3. .

1. Производные элементарных функций

   1. Найти производную функции .

2. Геометрический смысл производной. Уравнение касательной

   1. Составить уравнение касательной к графику функции в точке (1;2).

3. Возрастание, убывание, экстремумы функции одной переменной.

   1. Исследовать на экстремум функцию y=2x²+6x-7.

   2. Определить наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.

4. Табличные интегралы

   1. Вычислить интеграл.

5. Интегрирование подстановкой

   1. Вычислить интеграл .

6. Интегрирование по частям

   1. 

7. Геометрический смысл интеграла

   1. Каким интегралом задается площадь заштрихованной части фигуры, изображенной на чертеже?

8. Теория множеств.

   1. Пусть А – множество различных букв слова «РЕКЛАМА», В – множество различных букв слова «МАРКЕТИНГ». Найти АВ, АВ, А\В, В\А.

   2. Пусть А = { (x,y) |x<y}; В = {(x,y) |y>0 } Изобразить множества АÇВ, ВÈА, А\В, В\А.

   3. Даны множества A= {1,5,7,137},B= {5,7,23},C= {0,1,5, 23},D= {0,7,23,1998}. Найдите множество (AB) \ (CD)

   4. Пусть А={Аня; Лена; Вова}, B={Велосипед; Ролики}. Найти декартово произведениеAxB. Выделить из него функцию

9. Алгебра логики.

   1. Построить таблицу истинности для высказывания A & B  A  A & (B  C)

   2. Пусть, A= “ 2·2 = 5 ”,B= ” Париж – столица Китая ”. Сформулировать (словами) высказываниеABи определить истинно оно или ложно

   3. Пусть, P(n) = “n– натуральное, кратное трем”,Q(n) = “n< 20”. Найти множество истинности предикатаP(n)Q(n)

   4. Пусть, на множестве рек задан предикат P(x) = “x– протекает через несколько стран”. Сформулировать 4 высказывания:xP(x),xP(x) и их отрицания. Определить истинность полученных высказываний

10. Комбинаторика

    1. Сколько прямых можно провести через 8 точек, никакие 3 из которых не лежат на одной прямой, так чтобы каждая прямая проходила через 2 точки?

    2. Сколько различных шестизначных чисел, начинающихся цифрой 2 и оканчивающихся цифрой 5, можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 при условии, что каждая цифра в обозначении числа встречается 1 раз?

    3. Найти mиn, если.

    4. Вычислить: .

11. Теория вероятностей .

    1. Игральная кость бросается один раз. Найти вероятность того ,что появится не менее пяти очков.

    2. В урне 4 белых и 6 черных шаров. Из урны вынимают сразу 2 шара. Найти вероятность того, что шары разного цвета.

    3. Пусть, испытание-приобретение одного лотерейного билета; событие А-«выигрыш 1000 рублей»; событие В-«отсутствие выигрыша». Найти A+BиA·B. Как называются полученные события? Чему равны их вероятности? Объяснить полученные результаты.

    4. Завод изготовил две партии телевизоров. Первая партия телевизоров в два раза больше второй. Надежность телевизоров первой партии-0.9, второй партии-0.8. Определить вероятность того, что наугад купленный телевизор будет надежным.

12. Теория вероятностей (распределения).

    1. Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбиваемых каждым из них при одном выстреле, являются случайными величинами Х₁и Х₂, которые характеризуются следующими законами распределения:

Число очков Х1	3	4	5
Вероятность	0,3	0,4	0,5

Число очков Х2	1	2	3	4	5
Вероятность	0,1	0,1	0,1	0,2	0,5

2. Результаты стрельбы одного стрелка не влияют на результаты стрельбы второго. Составить закон распределения числа очков, выбиваемых данной командой, если стрелки сделают по одному выстрелу.

Если график плотности распределения случайной величины Х имеет вид:

то D(3X + 1) =

1. Если случайная величина Xзадана плотностью распределениятоM(2X+3) равна

1. Математическая статистика

   1. Студенты группу из 20 человек получили следующие оценки на экзамене по математике.

3

5

5

3

2

4

4

5

2

3

4

3

5

3

3

4

4

3

4

4

Составить частотный ряд, построить полигон и гистограмму, вычислить среднее, исправленную дисперсию, исправленный стандарт, медиану размах, моду.