- •Нормальное распределение
- •210100 Электроника и наноэлектроника
- •Теоретические сведения
- •Основные термины и определения
- •Понятия о законах распределения одномерных случайных величин
- •Построение гистограммы распределения случайной величины
- •Параметры нормального распределения
- •Проверка гипотезы о согласовании выборочного эмпирического распределения с гипотетически нормальным распределением
- •Практические упражнения
-
Теоретические сведения
-
Основные термины и определения
Ход изложения материала в данных методических указаниях учитывает то, что согласно программе подготовки инженеров по специальности «Промышленная электроника» на третьем курсе студенты должны иметь представление о предмете теории вероятностей и математической статистики. Однако для лучшего взаимопонимания необходимо дать некоторые определения из теории вероятностей и математической статистики.
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности в массовых однородных случайных явлениях, т.е. таких явлениях природы и общества, которые при неоднократных наблюдениях или измерениях, казалось бы, в однородных условиях дают различающиеся результаты и которые невозможно заранее предсказать с абсолютной точностью.
Математическая статистика – наука о математических методах систематизации, обработки, анализа и использования статистических опытных данных для научных и практических выводов, для выявления объективных закономерностей.
Опыт – это воспроизведение или наблюдение какого-либо явления при определённом комплексе условий в целях испытания или исследования. В случае наблюдения явления опыт называется пассивным, в случае воспроизведения – активным.
Событие – это качественная характеристика опыта, заключающаяся в свершении или отсутствии какого-либо желаемого факта в результате опыта.
События имеют свою классификацию.
По степени достоверности события подразделяют: а) на достоверные (происходящие всегда в любом опыте); б) на невозможные; в) на случайные (промежуточные между достоверными и невозможными).
Случайные события, в свою очередь, также имеют классификацию.
По признаку совместимости случайные события подразделяют: а) на совместимые и б) несовместимые. Например, пусть событие – появление короля при вытягивании карты из колоды, событие – появление бубновой карты, а событие - появление карты трефовой масти. Тогда событие и – совместные, так как возможно появление бубнового короля. Аналогично совместны события и . События же и – несовместные, так как карт бубновой и трефовой мастей одновременно не существует (имеется ввиду стандартная колода карт без учёта джокера).
По степени возможности случайные события подразделяют: а) на равновозможные и б) на неравновозможные. Например, при бросании игрального кубика, появление любого из очков, от 1 до 6, должно быть равновозможным. Это можно доказать практически при большом числе опытов.
Рассматривают также противоположные события: например событие – попадание пули в мишень, противоположно событию – промаху.
Результат наблюдения (или просто наблюдение), если он получен в виде некоторого числа является количественной характеристикой опыта, выраженная числовым результатом измерения.
Случайная величина – есть такая величина, конкретное значение которой в результате опыта невозможно заранее точно предсказать. Непрерывная случайная величина – случайная величина, которая может принимать любые частные значения в широком диапазоне. Дискретная случайная величина может принимать только определённое количество фиксированных значений , называемые её вариантами или дискретами. При этом совокупность К значений случайной величины x называют её спектром. Дискреты случайной величины на числовой оси могут располагаться неравномерно. Непрерывно-дискретная случайная величина – случайная величина, которая на отдельных участках числовой оси дискретна, а на остальных – непрерывна.
Статистической совокупностью называют совокупность всех частных значений случайной переменной, которые либо получены, либо могут быть получены в результате специальных опытов или текущего учёта.
Генеральная статистическая совокупность содержит все возможные частные значения случайной величины. Выборочная статистическая совокупность (выборка, проба) обычно является лишь небольшой частью генеральной. Элемент статистической совокупности – одно из частных значений xj случайной величины x в данной статистической совокупности. Объёмом статистической совокупности называется общее количество N её элементов. Для генеральной совокупности обычно . Для выборки всегда .
Относительная частота νk дискретной случайной величины x определяется числом Nk элементов в её k-м варианте xk к общему объёму N выборки, т.е.
11\* MERGEFORMAT ()
Понятие вероятности случайной величины применяется по отношению к генеральной совокупности. Известны три основные определения вероятности:
-
количественная мера «уверенности»;
-
доля, которую данное случайное событие занимает среди всех равновозможных событий;
-
предел относительной частоты, когда .
В данном методическом указании под вероятностью pk события (появления случайной величины в её k-м варианте) понимается предел относительной частоты νk при бесконечном увеличении объёма статистической совокупности
22\* MERGEFORMAT ()
Интервал случайной величины x – это связная область (отрезок) между двумя частными значениями x на её числовой оси, например xj и xl, внутрь которой может попасть (или не попасть) некоторое количество элементов выборки x. При этом, если граница включается в интервал – она называется открытой, если исключается из интервала – закрытой, т.е. при условии xj < x ≤ xl граница xj будет открытой, а граница xl – закрытой.
Плотность вероятности непрерывной случайной величины определяется как вероятность её появления, приходящаяся на некоторый единичный интервал:
33\* MERGEFORMAT ()
Плотность относительной частоты:
44\* MERGEFORMAT ()