3. Выборочные характеристики распределения

Наиболее распространенными характеристиками распределения являются средние величины: мода, медиана и среднее арифметическое (или выборочное среднее).

Мода (М₀) равна варианте, которой соответствует наибольшая частота.

Медиана (Ме) равна варианте, которая расположена в середине статистического распределения. Одна делит вариационный ряд на две равные части. При четном числе вариант за медиану принимают среднее значение из двух центральных вариант.

Выборочная средняя – это среднее арифметическое вариант статистического ряда.

где m_i – частота встречаемости значения x_i в выборке, k – количество различающихся между собой значений признака (количество вариант), n – объем выборки.

Для характеристики рассеяния вариант вокруг среднего значения вводят характеристику, называемую выборочной дисперсией – среднее арифметическое квадратов отклонения вариант от их среднего значения.

Корень квадратный из выборочной дисперсии называют выборочным средним квадратическим отклонением.

4. Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке. Точечные оценки. Интервальная оценка генеральной средней. Интервальная оценка истинного значения измеряемой величины

Предположим, что генеральная совокупность является нормальным распределением. Нормальное распределение полностью определено математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением. Поэтому, если по выборке можно оценить, то есть приближенно найти, эти параметры, то будет решена одна из задач математической статистики – определение параметров большого массива по исследованию его части.

Как и для выборки, для генеральной совокупности можно определить генеральную среднюю - среднее арифметическое значение всех величин, составляющих генеральную совокупность (учитывая большой объем этой совокупности, можно считать, что генеральная средняя равна математическому ожиданию).

Рассеяние значений изучаемого признака генеральной совокупности оценивают генеральной дисперсией или генеральным средним квадратическим отклонением.

а) Точечные оценки

Оценка характеристики распределения называется точечной, если она определяется одним числом, которому приближенно равна оцениваемая характеристика.

Наилучшей оценкой генеральной средней являетсясредняя выборочная

Наилучшей точечной оценкой генеральной дисперсии является так называемаяисправленная выборочная дисперсия , определяемая по формуле:

Наилучшей точечной оценкой генерального среднего квадратического отклонения является исправленное выборочное среднее квадратическое отклонение.

Естественно, что точечные оценки справедливы при достаточно большом объеме выборки.

б) Интервальная оценка генеральной средней

При небольших объемах выборки пользуются интервальными оценками.

В этом случае указывается интервал (доверительный интервал), в котором с определенной (как правило, заранее заданной) вероятностью р (доверительной вероятностью) находится генеральная средняя.

Иначе говоря, р определяет вероятность того, что осуществляются следующие неравенства:

,

где положительное число характеризует точность оценки.

Чем шире доверительный интервал, тем выше доверительная вероятность, и наоборот. При решении статистических задач в фармации, медицине и биологии доверительную вероятность, как правило, принимают равной 0,95 (реже – 0,99).

Кроме доверительной вероятности, используют противоположное понятие – уровень значимости (вероятность непопадания генеральной средней в доверительный интервал).

При оценке генеральной средней по результатам выборочных наблюдений в предположении нормального распределения признака в генеральной совокупности доверительный интервал для заданной доверительной вероятности находят следующим методом. Этот метод основан на использовании так называемого распределения Стьюдента для случайной величины , где знаменателем являетсяисправленное среднее квадратическое отклонение средней выборочной

При этом предполагается, что генеральная средняя изучаемого признака и его генеральное среднее квадратическое отклонениенеизвестны (что обычно и бывает на практике.

В этом случае полуширину доверительного интервала для интервальной оценки генеральной средней при заданной доверительной вероятности р находят по формуле:

где -коэффициент Стьюдента, значение которого определяется величиной доверительной вероятности р и числом степеней свободы распределения Стьюдента. Значения коэффициента Стьюдента указаны в соответствующих таблицах.

Таким образом, интервальная оценка генеральной средней представляется доверительным интервалом

,

в котором с доверительной вероятностью р находится генеральная средняя .

Если подставить в формулу для полуширины доверительного интервала выражение для исправленного среднего квадратического отклонения средней выборочной, то получим:

в) Интервальная оценка истинного значения измеряемой величины

Интервальная оценка генеральной средней может быть использована для оценки истинного значения измеряемой величины.

Пусть несколько раз измеряют одну и ту же физическую величину. При этом по разным случайным причинам получают разные значения: x₁, x₂, x_3,…x_i. Будем считать, что нет преобладающего влияния какого-либо фактора на эти измерения.

Истинное значение измеряемой величины (x_ист) совершенно точно измерить невозможно хотя бы по причине несовершенства измерительных приборов. Однако можно дать интервальную оценку для этого значения.

Если значения x₁, x₂, x_3,…x_i.рассматривать как варианты выборки, а истинное значение измеряемой величины как аналог генеральной средней, то можно по описанным выше правилам определить доверительный интервал, в который с доверительной вероятностью р попадает истинное значение измеряемой величины.

Более подробно оценка результатов измерений описана в «Практикуме по физике».

Выводы и заключение

На сегодняшней лекции мы познакомились с некоторыми понятиями медицинской статистики, которые вы будете использовать при обработке результатов измерений, полученных в ходе выполнения лабораторных работ.

Более детально с вопросами медицинской статистики вы познакомитесь на кафедре АВТУ МС академии.