Сопротивление материалов / Ikrin - Soprotivleniye materialov s elementami uprugosti 2004

Продемонстрированные примеры показывают, что коэффици-
ент приведения массы зависит от
−	точки удара;
−	направления движения ударяющего тела;
−	критерия эквивалентности.
Овладев техникой вычисления коэффициента kred, можно в каж-
дом конкретном случае, используя дополнительные данные анализи-
руемой ситуации, обоснованно назначить критерий приведения, оп-
ределить числовое значение коэффициента и дать количественный
прогноз результата ударного воздействия нагрузки. Известны случаи,
когда такой прогноз приходилось давать, просчитывая конструкцию
с разными критериями приведения, − анализируя процесс с разных
позиций.
а)	б)	в)	Пример 14.13. Сосновую сваю длиной
	m	mred	l = 6 м и диаметром d = 24 см забивают ко-
	h		провым молотом массой m = 300 кг, падаю-
			щим с высоты h = 0,5 м (рис. 14.31 а). Рас-
			четное сопротивление сосны на сжатие R = 13
	l		МПа; плотность	древесины	ρ = 800	кг/м3.
			Проверим сваю на прочность.
			Примем простейшую расчетную			схему
			(рис. 14.31 б), полагая, что при ударе нижний
			конец не смещается (окончание процесса за-
	Рис. 14.31		бивания), и пренебрегая трением грунта по
боковой поверхности сваи (это предположение вносит ошибку, уве-
личивающую напряжения). В расчете учтем массу сваи. Механиче-
ская модель изображена на рис. 14.31 в.
Статические сжимающие напряжения в свае: σ st = N/A.
N = mg = 300 9,81 = 2943 Н. A = (π d2 /4) =3,14 0,242/4 = 4,52 10− 2 м2.
	σ st = 2943/(4,52 10− 2) = 6,51 104 Н/м2 = 0,0651 МПа.
Динамический коэффициент (14.20)
			.
		kdin = 1+√1+ mv0m2 /(vst(mred+ m)g).
Вычислим входящие в него:
−	скорость молота перед ударом v.0m=√2gh=√2 9,81 0,5=3,13 м/с.
−	статическое перемещение −
vst = ∆ l = Nl/(EA) = 2943 6/(1010 4,52 10−				2) = 3,91 10−	5м = 0,0391 мм.
300

− приведенную массу −

mred = kredmstr = kredρ Al = 0,333 800 4,52 10− 2 6 = 72,3 кг.

Теперь kdin = 1+√1+ 300 (3,13)2/(3,91 10− 5(72,3+300)9,81) = 145.

Динамические напряжения

σ din = σ st kdin = 0,0651 145 = 9,41 МПа.

Напряжения меньше расчетного сопротивления, разрушения сваи в процессе ее забивания не произойдет (в примере оценено состояние ствола сваи, головка не рассматривалась; сделанный вывод, естественно, этим и ограничивается).

14.6. Прочность материалов при циклически изменяющихся напряжениях

Многие сооружения, элементы строительных конструкций и машин подвержены циклически изменяющимся напряжениям. Это

−высотные сооружения типа башен, труб, мачт, антенн, подверженных ветровым нагрузкам;

−авто- и железнодорожные мосты, подкрановые балки, элементы погрузочно-разгрузочных эстакад, воспринимающих воздействия подвижных составов;

−движущиеся элементы подъемно-транспортных и строительных машин и т.д.

Прочность таких конструкций не может быть оценена методами статического расчета. Для них требуются специальные экспериментальные исследования и методы расчетов.

14.6.1. Понятие об усталостном разрушении

Конструкции, подверженные циклическим нагрузкам, разрушаются, как правило, при напряжениях, меньших тех, которые способны выдерживать от статического воздействия. Специфичен и характер разрушения:

−отсутствие остаточных деформаций;

−на поверхности излома обычно две области − постепенно развивающейся трещины и мгновенного хрупкого отрыва.

Первые исследователи этого явления предполагали, что под действием циклических напряжений в материале происходят физи-

ко-механические изменения он − “устает”. Хотя в последующем такое толкование процесса опровергнуто, этот термин укоренился

в

301

практике. Под усталостью материала в настоящее время понимают процесс накопления повреждений при циклических напряжениях, заканчивающийся хрупким разрушением.

Способность материала воспринимать переменные напряжения, не разрушаясь, носит название выносливости.

Для количественного прогнозирования поведения элементов конструкций в рассматриваемых условиях необходимо ввести новые характеристики воздействия и прочности материалов.

14.6.2. Основные виды и характеристики циклов напряжений

	Если вращающийся образец с круглым сечением рабочей части
F		F1	1	F1	F	a	y	нагрузить,	как	показано
						y ϕ	x	на рис. 14.32, напряжение
		F1		F1	ω			в точке a сечения 1 будет
			Mx					изменяться:
					σ = F/A+Mxy/Jx = F/A+Mxdsinϕ						/(2Jx) =
							= F/A+Mxdsinω		t/(2Jx)
		Рис. 14.32			(d −	диаметр сечения, J −			осевой момент
инерции ω −			угловая скорость вращения образца).
		σ	a)			Изменение напряжения за один пе-
						риод называется циклом напря-
σ
	max					жений. График зависимости на-
	σ	min				пряжения от времени показан на
σ	m				t	рис. 14.33 а. Экстремальные значе-
		σ	б)			ния напряжений равны
							σ	max= F/A + Mxd/(2Jx),
	σ a				t
							σ min= F/A − Mxd/(2Jx).
	σ a
						Они являются количественными ха-
		σ	в)			рактеристиками цикла.
	σ max						Среднее напряжение и ампли-
					t	туда цикла соответственно равны
	σ	m
		σ	г)					σ m=(σ max+ σ min)/2,
	σ				t			σ a=(σ max−	σ min)/2.		(14.21)
		m				В зависимости от отношения
	σ	min						σ min/σ max = ras,			(14.22)
						которое носит название коэффици-
			Рис. 14.33			ента асимметрии цикла, циклы
302

делят на знакопостоянные (ras > 0) и знакопеременные (ras < 0). Циклы с одинаковыми коэффициентами асимметрии называют подоб-

ными.

Если ras =− 1, цикл называется симметричным (рис. 14.33 б), в противном случае асимметричным.

Частными видами асимметричных циклов являются такие, у ко-

торых ras = 0 при σ min = 0 или 1/ras = 0 при σ max= 0. Они называются отнулевыми или пульсационными). Графики отнулевых циклов по-

казаны на рис. 14.33 в, г.

Принято считать, что усталостная прочность не зависит от закона изменения напряжения во времени и частоты цикла. В таком случае для оценки выносливости конструкции достаточно характеризовать цикл напряжений лишь двумя величинами − σ max и σ min

или σ m и σ a.

Перейдем к количественным характеристикам выносливости материала и конструкции.

14.6.3. Понятие о пределе выносливости

Определение механических характеристик выносливости материала производят на специальных машинах и вращающихся образцах, подобных изображенному на рис. 14.32. Вариируя силами F и F1 , задают различные значения σ max и σ min и определяют количество циклов N до разрушения. Наконец, устанавливают такие значения σ max и σ min, при которых разрушение не происходит при любом N.

Количественной характеристикой усталостной прочности явля-

ется предел усталости, или предел выносливости.

Пределом выносливости называют наибольшее σ max (или σ min,

если оно по величине превышает σ max), которое образец выдержи-

вает неограниченное число циклов.

Обозначают предел выносливости σ r, где r − коэффициент асимметрии цикла. При этом указывают численное значение r. Частные случаи обозначений предела выносливости:

−σσ − 1 − при симметричном цикле;

−σσ 0 − при отнулевом.

График, показывающий связь числа циклов до разрушения с максимальным напряжением носит название кривой выносливости

303

		..
	(кривой усталости; диаграммы Велера1). Кривая усталости для сим-
	метричного цикла показана на рис. 14.34.
	У большинства черных металлов кривая выносливости асим-
	σ max	птотически приближается к горизонтали.
	σ u	Поэтому для них термин “предел вынос-
		ливости” имеет безусловный	смысл.		У
	σ − 1	цветных металлов и закаленных до высо-
		кой твердости сталей такого предела нет.
	N
		В подобных случаях вводят понятие ус-
	Рис. 14.34	ловного предела выносливости −		напря-
	жения, которое образец может воспринимать в течение 108 циклов.

14.6.4.Диаграмма усталостной прочности. Запас выносливости образца

	Совокупность	кривых	усталости позволяет очертить область,
	σ a		ограничивающую безопасные значения
	σ − 1		характеристик циклов. Такую область
	σ a	σ m	строят	в координатах σ m−σσ a	(рис.
			14.35) и называют диаграммой уста-
σ uc	σ m	σ ut	лостной прочности (предельных ам-
	Рис. 14.35		плитуд,	выносливости). Если	точка,

соответствующая некоторому циклу напряжений со средним напряжением σ m и амплитудой σ a, располагается внутри диаграммы, усталостного разрушения не произойдет. Близость отображающей точки к границе характеризует степень опасности цикла.

Построение диаграммы усталостной прочности требует многочисленных и длительных испытаний. Поэтому на практике используют приближенные ее варианты. Широкое применение получила диаграмма (рис. 14.36), построенная по трем точкам, соответствующим пределам выносливости при симметричном (точка с) и отнулевом (точка d) циклах, а также статическому разрушению (точка g).

Через точки c, d и g проводят прямые c(d)f; gf под 450 к оси абс-

цисс до пересечения. Уравнения прямых:
− cf: σ ua = σ − 1+ (1− 2 σ − 1/σ 0)σ um;	(14.23)

______________________________________

..

1 Велер (1819− 1914) − немецкий ученый и инженер, с работ которого началось экспериментальное изучение усталости материалов.

304

− fg:	σ ua = σ ut −			σ um.		(14.24)
В формулах (14.23) и (14.24) σ ua		и σ	um −		предельные значения ам-
плитуды и среднего напряжения.				σ	a
Если образец	подвержен	σ	− 1	c
циклическому напряжению с σ m и		σ 0/2			d e f
σ a, характеризуемому	точкой h,
степень безопасности нагружения
может быть оценена отношением		σ	a		h	g σ m
отрезков Oe/Oh. Это отношение					450
носит название коэффициента			O		σ m σ 0/2	σ ut
запаса выносливости образца.					Рис. 14.36

Обозначим его nes. Он показывает, во сколько раз характеристики подобного предельного цикла выше чем у заданного.

Когда отображающая точка h лежит выше прямой Of, определяющей границей является прямая cf. Коэффициент запаса выносли-

вости по равенству (14.33) nesσ a = σ − 1 + (1− 2σ − 1/σ 0)nesσ m	равен
nes= σ − 1/(σ a− (1− 2 σ − 1/σ 0)σ m).	(14.35)
Когда ниже, − по равенству (14.34)
nes= σ ut/(σ a+ σ m).	(14.36)

Действительным является меньший из этих двух значений. Методика определения коэффициента запаса образца проиллюстрирована для положительного (растягивающего) среднего напряжения цикла. Если оно сжимающее, вычисление nes аналогично описанному.

Элемент реальной конструкции, подверженный циклическому напряжению, обладает обычно меньшим запасом выносливости чем образец. Рассмотрим эту сторону обсуждаемого воздействия.

14.6.5. Основные факторы, влияющие на предел выносливости

Предел выносливости зависит от многих геометрических, технологических и других особенностей конструктивного элемента. Остановимся на наиболее важных из них: концентрации напряжений, качестве поверхности, абсолютных размерах.

Влияние концентрации напряжений

Усталостные трещины развиваются, как правило, в местах концентрации напряжений. Влияние этой особенности оценивают ко-

эффициентом чувствительности q. Он зависит от механических

305

характеристик материала и теоретического коэффициента концен-

трации α σ. Чем выше предел прочности σ

u, тем больше коэффи-

q

циент чувствительности. У высокопроч-

1

1,8; 1,9

ных сталей

q ≈ 1, у углеродистых q ≈

0,8

1,6

1,7

≈0,6…0,8. У чугуна q ≈ 0. Графики зави-

1,4

симости

коэффициента чувствительно-

0,6

1,5

сти от предела прочности

при

разных

1,3

значениях теоретического коэффициента

0,4

1,2

концентрации приведены на рис. 14.37.

0,2

В расчетах на выносливость фи-

α

σ

= 1,1

σ u кН/см2

гурирует так называемый эффектив-

0

ный

коэффициент концентрации

40 60

80 100

120

kσ

= 1+ q (α σ − 1),

(14.27)

Рис. 14.37

снижающий

эффект концентрации за

счет реальных свойств материала.

Влияние качества поверхности детали

Качество поверхности детали сильно влияет на предел выносли-

вости. Степень влияния чистоты поверхности зависит от прочности

материала. Иллюстрацией отмеченного служит рис. 14.38. Если при-

нять за 100 % предел выносливости образца с полированной поверх-

ностью (прямая 1),

то при более грубой обработке усталостная

1

β

1

прочность

будет

ниже. Степень снижения

усиливается с ростом предела прочности.

2

0,8

Кривые относятся к поверхностям:

3

−

2 −

шлифованной;

−

3 −

обработанной резцом;

0,6

4

−

4 −

имеющей насечку;

5

0,4

−

5 −

полученной при прокатке;

6

−

6 и 7 − корродированным соответст-

0,2

венно в обычной и морской воде.

7

Считают,

что

на

грубой

поверхности

σ u кН/см2

0

больше дополнительных концентраторов

30

70

110

150

напряжений. Поэтому поверхности ответ-

ственных конструкций тщательно обраба-

Рис. 14.38

тывают. В расчетах на выносливость качество поверхности оцени-

вают коэффициентом поверхностной чувствительности β .

			Влияние абсолютных размеров детали
Размеры детали также являются важным фактором, влияющим
на предел выносливости. В					α m
расчетах он представлен мас-					1
штабным			коэффициентом 0,8				1
α m. Числовое значение коэф-					0,6
фициента α m зависит не только						4	3	2	d
от размеров детали, но и от ма-					0,4
териала,		качества		обработки	10	50	100	150
поверхности, наличия источни-							Рис. 14.39
ков концентрации напряжений. Как пример, на рис. 14.39 приведены
графики зависимости масштабного коэффициента от диаметра вала,
работающего в условиях изгиба с кручением. Кривые относятся
−	1 −	углеродистая сталь при отсутствии местных напряжений;
−	2 −		легированная сталь без концентрации напряжений и угле-
родистая сталь при умеренной концентрации;
−	3 −	легированная сталь при наличии концентраторов;
−	4 −	стали с сильной концентрацией напряжений.
14.6.6. Расчет на прочность при циклических напряжениях

Условие прочности при переменных напряжениях требует, что-

бы фактический коэффициент запаса выносливости был не ме-

нее допускаемого: nes = [nes]. (14.28) Фактический коэффициент определяют по коэффициенту запа-

са образца, внося в него коррективы, учитывающие

−концентрацию напряжений;

−чистоту поверхности,

−размеры детали.

Поправочные коэффициенты вносят в амплитудную часть цикла напряжений. С учетом названных поправок формулы фактического коэффициента запаса выносливости имеют вид

	nes = σ − 1/(kσ σ a/(βα m) − (1− 2σ − 1/σ 0) σ m)
или	nes = σ ut/(kσ σ a /(βα m) + σ m).	(14.29)

Как и прежде, действителен меньший коэффициент запаса.

306

307

Формулы (14.29), строго говоря, справедливы для одноосного напряженного состояния. Их можно обобщить на чистый сдвиг − простой вид напряженного состояния, легко реализуемый в лабораторных условиях. При сложном напряженном состоянии оценка запаса выносливости оказывается весьма сложной. В настоящее время для практических расчетов при плоском напряженном состоянии используют формулу перехода

			n	= n	n	/√n2	+n2	,	(14.30)
		nes −	es	esσ	esτ	esσ	esτ
где			искомый	коэффициент			запаса		выносливости;
nesσ	− коэффициент запаса при одноосном напряженном состоянии;
nesτ	−	то же при чистом сдвиге.

Попытку теоретического разрешения проблемы прочности материалов и конструкций при циклических напряжениях в настоящее время нельзя считать завершенной. Механизмы усталостного разрушения определяются особенностями молекулярного и кристаллического строения вещества. Фундаментальные гипотезы сопротивления материалов, в частности, предпосылка о континуальности не способны вскрыть эти особенности. Привлечение аппарата физики твердого тела также оставляет некоторые вопросы усталости нерешенными. Поэтому приходится идти по пути накопления экспериментальных результатов, введения эмпирических поправок. Отсутствие стройной теории делает производимые расчеты весьма приближенными, требующими внимательного и критического осмысления в каждом конкретном случае.

308

15. Основы безмоментной теории тонких осесимметрично нагруженных оболочек вращения

Тело, два размера которого одного порядка (H и D на рис. 15.1)

	и значительно больше третьего (h), называется	D
	оболочкой. Оболочка – распространенный элемент
	зданий и сооружений, нередко самостоятельный	h
	строительный объект (покрытия, емкости для хра-
	нения жидких, газообразных или сыпучих мате-
	риалов, трубопроводы и т.п.). По этой причине	H
	расчет оболочек представляет не только теорети-
	ческий, но и практический интерес.

15.1. Основные геометрические понятия			Рис. 15.1
Геометрическое место точек, равноуда-
ленных от наружной и внутренней поверхно-
стей оболочки, называется срединной поверх-	O1
ностью. У оболочки вращения срединная по-
верхность является поверхностью вращения
(рис. 15.2).	3	O2		1
Линия пересечения плоскости, проходя-			R1
щей через ось оболочки, со срединной по-	2	r	R2	b
верхностью называется меридианом или об-				a
разующей (1).			c

	Линия пересечения плоскости, перпен-
	дикулярной оси оболочки, со срединной по-
	верхностью носит название параллели. Она
	ограничивает параллельный круг (2) радиусом	Рис. 15.2
	r.
		309

Радиус кривизны меридиана называют первым главным радиу-

сом (O1a), он обозначен R1. Второй главный радиус кривизны сре-

динной поверхности (O2a) обозначен R2.

Оболочку считают тонкой, если h/R1 ≤ 0,05; h/R2 ≤ 0,05. Сечение оболочки конической поверхностью, вершина которой

находится на оси вращения, а образующие перпендикулярны сре-

динной поверхности, называется нормальным коническим сечением.

Нормальное коническое сечение в теории оболочек играет такую же роль, как поперечное сечение в теории стержней.

Подобно тому, как стержень задается осью и поперечным сечением, оболочка – срединной поверхностью и толщиной стенки.

15.2. Исходные предпосылки. Виды напряженных состояний оболочек

	Техническая теория тонких оболочек опирается на две фунда-
а)		Nϕ		ментальные предпосылки:
				– справедлива гипотеза о неизменности нормали
N		N		(отрезки, прямые и перпендикулярные срединной по-
θ		θ		верхности до деформации, остаются прямыми и пер-
		Nϕ		пендикулярными срединной поверхности после де-
б)				формации);
				– справедлива гипотеза о ненадавливании слоев
Q Mϕ
				(между слоями, параллельными срединной поверхно-
		M
Mθ		θ		сти, нормальные напряжения не возникают).
		Q		Гипотезы о неизменности нормали и ненадавливании
				слоев в теории оболочек – аналог гипотез плоских се-
	Mϕ
				чений и ненадавливании волокон в теории стержней.
в) Mϕ		Nϕ
				К исходным предпосылкам можно отнести и вид
		Nθ
Q				напряженного состояния, в котором находится обо-
		M		лочка. Различают три вида напряженных состояний:
N			θ
θ		Q		– безмоментное (рис. 15.3 а), когда напряжения-
Mθ
				ми от изгибающих моментов можно пренебречь по
Nϕ		Mϕ
				сравнению с напряжениями от растяжения (сжатия);
Рис. 15.3				– моментное (рис. 15.3 б), при котором преобла-

дают изгибные напряжения;

– смешанное (рис. 15.3 в), если и те, и другие напряжения одного порядка.

310

Существенно, что вид напряженного состояния в теории оболочек введен в разряд предпосылок, а не является результатом исследования. Это объясняется чрезмерной громоздкостью теории, построенной на общих предпосылках. Следствием такого методического построения теории является необходимость определения области ее корректности.

15.3. Усилия в оболочке по безмоментной теории

Рассмотрим тонкую оболочку (рис. 15.1, 15.2) под осесимметричной нагрузкой. Напряжения и деформации в этом случае также осесимметричны – все меридиональные сечения находятся в одинаковых условиях. Допустим, что напряженное состояние оболочки – безмоментное: нормальные напряжения равномерно распределены

	по толщине стенки.			Z
	Отделим нормальным коническим сече-
	нием часть оболочки (рис. 15.4). На нее дей-			Nϕ
	ствуют равнодействующая внешней нагрузки		O2	R2
	Z и меридиональные силы Nϕ (размерность Nϕ
	сила/длина). Проецируя силы на ось враще-		ϕ	r
	ния, имеем 2π rNϕ sinϕ – Z = 0. Отсюда			c a
	Nϕ = Z/(2π rsinϕ ).
	Учитывая, что r = R2sinϕ , получаем
	Nϕ = Z/(2π R2sin2ϕ ).	(15.1)
	Это уравнение называют уравнением равно-
	весия зоны.		Рис. 15.4
	Определение равнодействующей Z обычно не составляет
	больших трудностей. Тем не менее в общем случае ее можно найти
	так (рис. 15.5):
	ϕ
	Z = ∫0 (pcosψ – tsinψ )(R1dψ )(2π R2sinψ ).		Z	ϕ
	В упорядоченном виде		dψ
	ϕ
			O1	R1	t
	Z = 2π∫∫0 (pcosψ – tsinψ )R1R2sinψ	dψ . (15.2)
			ψ
				R2
	Еще раз подчеркнем, что в конкретных задачах				p
	несложно выполнить операции, положенные в
	основу получения равенств (15.1) и (15.2). По-
	этому не следует рассматривать их, как формулы.		Рис. 15.5
	Полезнее из вывода усвоить способ определения сил Nϕ .
				311

Рассмотрим теперь равновесие бесконечно малого элемента оболочки, выделенного двумя парами радиальных плоскостей и нормальных конических сечений (рис. 15.6). На него действуют меридиональные и окружные силы с интенсивностями Nϕ и Nθ , а также внешняя нагрузка, заданная компонентами p и t (размерностями сила/площадь). Спроецируем силы на направление p: p(R1dϕ )(R2dθ ) –

–2Nθ sin(dθ /2)(R1dϕ )–Nϕ sin(dϕ /2))(R2dθ )–(Nϕ +dNϕ

)sin(dϕ

/2)(R2dθ )=0.

После упрощений (приведения подобных членов,

приравнивания ма-

dϕ

лого угла его синусу,

отбрасывания пренебрежимо малых

O1

слагаемых

и

деления на произведение R1R2)

условие равновесия принимает вид

R1

Nϕ

/R1 + Nθ /R2 = p. (15.3)

Это – уравнение Лапласа.

Рис. 15.6

Уравнения

(15.1) ...

O2

dϕ /2

(15.3) позволяют найти

Nϕ +dNϕ

усилия

в

сечениях

dθ

Nθ

С целью более

оболочки.

подробного знаком-	R2			b	dθ /2	При равномерном
			t
ства с безмоментной	Nθ					распределении по тол-
теорией рассмотрим		c	a		p	щине стенки нормаль-
несколько примеров.	dθ /2	Nϕ				ные напряжения
			dϕ	/2	σ ϕ = Nϕ /h, σ θ = Nθ /h. (15.4)

Пример 15.1. Найдем усилия в сферической оболочке радиуса R0, подверженной газовому давлению p0 (рис. 15.7 а).

	На часть оболочки, изображенную на рис. 15.7 б, действуют
а)		б)	давление p0, распределенное
		R0	по кругу радиуса	R0sinϕ , и
	p0		меридиональные	силы Nϕ ,
		p0 ϕ
			R0 Nϕ распределенные по окружно-
		Nϕ
		Рис. 15.7	сти того же радиуса. Проецируя си-
			лы на вертикаль, имеем
		p0π (R0 sinϕ	)2– Nϕ sinϕ ·2π (R0 sinϕ ) = 0, Nϕ = p0R0/2.
	Обратимся теперь к уравнению (15.3). У сферы R1			= R2= R0.

Уравнение (15.3) примет вид Nϕ + Nθ = p0R0. Из него Nθ = p0R0/2. Итак, в сферическом сосуде при газовом давлении силы Nθ = Nϕ = = p0R0/2 независимо от угла ϕ .

312

Пример 15.2. Цилиндрическая оболочка под гидростатическим
давлением (рис. 15.8 а); γ – объемный вес жидкости. Найдем усилия
в стенке.
На часть оболочки, изображенную на рис. 15.8 б, действуют:
– вес жидкости γ zπ R2;				а)		б)	в)
		0
– давление p = γ z;					z		Nθ
– усилия Nϕ .				p=γ z
				γ
Приравнивая		нулю	H		Nϕ	p=γ z	Nϕ
сумму вертикальных сил:
						R0
γ zπ R02 – pπ R02 + Nϕ 2π R0 = 0,
видим, что Nϕ = 0. Меридио-				R0	Рис. 15.8		γ HR0
нальных сил в стенке нет.
Воспользуемся теперь уравнением (15.3). У цилиндрической
оболочки радиус кривизны меридиана R1 бесконечно большой. Вто-
рой главный радиус R2 = R0 . Поэтому Nθ					= pR0, или Nθ = γ zR0 Окруж-
ная сила линейно возрастает с ростом z. Эпюра Nθ изображена на
рис. 15.8 в.
Пример 15.3. Покрытие в форме конической оболочки опира-
ется на кольцевой шарнир, представленный семейством меридио-
нальных стерженьков (рис. 15.9 а). Размеры: H = 3 м,							R0 = 8 м. На
покрытие действует снеговая нагрузка p0 = 1 кН/м2 горизонтальной
поверхности. Найдем усилия в стенке.
Из равновесия верхней части (рис. 15.9 б) следует
т.е. Nϕ =–p0r /(2sinα		p0π r2 + Nϕ		sinα ·2π r = 0,
	) = 0. Меридиональное усилие линейно возраста-
ет от вершины к основанию. Эпюра Nϕ					изображена на рис. 15.9 г
слева.			привлечем уравнение (15.3). У конуса R1
Для определения Nθ
бесконечно большой. Следовательно, Nθ = pR2. Второй главный ра-
диус кривизны (рис. 15.9 б) R2= r/sinα .
При выводе уравнения (15.3) предполагалось, что p – нормаль-
ное к срединной поверхности давление на единицу ее площади. Оп-
ределим его.
Вертикальное давление на единицу площади срединной по-
верхности p1 = p0cosα		(рис. 15.9 в). Перпендикулярная меридиану
							313

Рис. 15.10

составляющая p =

p0cos2α .

Учитывая,

что давление направлено

а)

p0

внутрь оболочки,

принимаем

p =–p0cos2α

. Теперь

H

Nθ =–p0cos2α

·r/sinα .

Сила Nθ также линейно воз-

растает от вершины к осно-

R0

ванию. Эпюра Nθ изображена

на рис. 15.9 г справа.

б)

p0

Приведенные

примеры

α

свидетельствуют,

что опре-

деление

усилий

в оболочке

Nϕ

r

Nϕ

по

безмоментной

теории –

несложная

статически

раз-

p0cosα

решимая задача. Это способ-

α

R2

ствует

использованию

на-

в)

α

званной

теории

в

практиче-

ских расчетах.

Естественно

p0cos2α

α

α

возникает вопрос об услови-

ях

существования

безмо-

Nϕ

Nθ

ментного

напряженного

со-

г)

стояния. Как показали теоре-

тические

исследования,

для

20

этого

необходимо,

чтобы

11,4 кН/м

геометрические

параметры

Рис. 15.9

оболочки,

опорные

устрой-

ства и внеш-

няя нагрузка удовлетворяли определенным требованиям. Эти требования таковы.

Геометрические параметры оболочки (толщина стенки, главные радиусы кривизны срединной поверхности) должны быть описаны едиными непрерывными функциями без разрывов в первой производной.

Опорные устройства должны исключать перемещения, касательные к меридиану, и не препятствовать перемещениям, перпендикулярным к срединной поверхности.

314

Нормальная составляющая внешнего давления должна описываться единой непрерывной функцией с непрерывной первой производной. Касательная же часть может быть и разрывной в меридиональном направлении, но, естественно, равномерно распределенной по параллели.

Из приведенного перечня требований видно, что возможности нарушения безмоментного напря-

женного состояния достаточно широ- ки. Рис. 15.10 иллюстрирует места возникновения из- гибных напряже-

ний (они выделены кружками).

15.4. Заключение к разделу

Выше рассмотрены простейшие задачи из теории оболочек. В целом же теория весьма многообразна и достаточно сложна. Объясняется это, главным образом, многообразием внешних воздействий и геометрических особенностей оболочек. Так, внешние воздействия могут быть:

–в виде механических нагрузок и температурных полей;

–осесимметричные и произвольные;

–распределенные, сосредоточенные и т.п.

По геометрическим особенностям оболочки подразделяют на:

–оболочки вращения и произвольные;

–тонкие и толстые;

–пологие и большой высоты;

–положительной, отрицательной кривизны и т.д.

Каждое сочетание качеств требует формирования по сути индивидуальной теории и нередко вовлекает специальный математический аппарат.

315

Программы строительных вузов не предоставляют достаточного времени для углубленного изучения теории оболочек. Да, пожалуй, в этом и нет необходимости. Студент, инженер, получивший фундаментальную подготовку по математике, механике и сопротивлению материалов, вполне может самостоятельно освоить соответствующий раздел теории оболочек, если такая потребность возникнет.

316

16. Основы теории упругости

Теории упругости, пластичности и ползучести − три научные направления механики твердого деформируемого тела. Задачи, которые ставят перед собой названные дисциплины, во многом схожи:

−описать связь напряжений и деформаций для элементарного параллелепипеда;

−сформировать математическую модель задачи о напряженнодеформированном состоянии твердого тела;

−на тестовых задачах исследовать и продемонстрировать влияние изучаемой физической особенности материала на напряженнодеформированное состояние; при этом, как правило, не считаются с математическими трудностями решения;

−очертить область актуальности дисциплины;

−получить практически значимые решения, которыми бы мог воспользоваться инженер.

Схожи и основные фундаментальные предпосылки:

−тело наделяют свойством сплошной непрерывной среды;

−материал считают однородным;

−деформации полагают малыми;

−рассматривают статическое нагружение.

Общность предпосылок приводит к тому, что в разрешающих уравнениях обсуждаемых дисциплин фигурируют одинаковые статические и идентичные геометрические уравнения. Различны физические модели материала и, следовательно, физические уравнения.

В теории упругости такие уравнения формируют на основе закона Гука (с учетом анизотропии материала или без учета).

317

В задачах теории пластичности рассматривают тело, нагруженное за предел упругих деформаций. Однако игнорируют развитие деформаций во времени − полагают, что деформации изменяются лишь тогда, когда изменяется нагрузка.

Теория ползучести главное внимание уделяет процессу развития деформаций во времени и исследует поведение тел, воспринимающих длительные нагрузки.

От сопротивления материалов названные науки отличаются, главным образом, объектами изучения. Теории упругости, пластичности и ползучести не ограничиваются стержневыми элементами, а рассматривают и пластинки, и оболочки, и массивные тела.

Очерченные границы между ветвями механики деформируемого тела в известной степени условны. Есть задачи, лежащие в пограничной области, объединяющие дисциплины в многогранный цикл наук о поведении элементов конструкций под нагрузкой.

16.1. Задача теории упругости. Плоская задача и ее разновидности

Задача теории упругости формулируется так. Даны

	y	−	форма и размеры тела (рис. 16.1);
	p	−	материал;
		−	условия закрепления;
		−	вид и величина внешней нагрузки p.
			Требуется найти
			−	напряжения σ x(x, y, z), σ y(x,	y,	z),
			σ z(x, y, z), τ xy(x, y, z), τ yz(x, y, z), τ zx(x, y, z);
z		x	−	деформации ε x(x, y, z), ε y(x,	y,	z),
Рис. 16.1			ε z(x, y, z), γ xy(x, y, z), γ yz(x, y, z); γ zx(x, y, z);
−	перемещения u(x,		y, z), v(x, y, z), w(x, y, z) в теле, считая его

упругим.

Сформулированная таким образом задача теории упругости но-

сит название пространственной (объемной, трехмерной).

Частным случаем пространственной является плоская (двумер-

ная) задача, в которой напряжения и деформации являются функциями двух геометрических координат, например, σ x(x, y), σ y(x, y),

σ z(x, y), τ xy(x, y); ε x(x, y), ε y(x, y), ε z(x, y), γ xy(x, y).

318

В плоской задаче объект анализа − пластинка, нагруженная в

	своей плоскости (рис. 16.2).		y	p2
	Плоскую задачу разделяют на две		p3
	разновидности:			dy
	−	плоское напряженное состояние;
			dx	p1
	−	плоскую деформацию.
	На рис. 16.3 изображена расчетная			x
	схема несущей стены. На ее боковых по-
	верхностях нагрузки нет. Если по толщине		Рис. 16.2
	пластины давления p распределены рав-

номерно, то в среднем вертикальном сечении по свойству симмет-
рии				y
напряжения τ yz= τ zx = 0 (из-за малости толщи-				p1
ны можно принять и σ z= 0). Продолжая такое
деление, приходим к выводу, пластинка нахо-
дится в плоском напряженном состоянии.
На рис. 16.4 показана плотина, подвер-
женная гидростатическому давлению. Ус-
ловно ее можно считать бесконечной. При				z
равномерном по длине плотины давлении
все элементарные отрезки находятся в оди-				p2
наковых условиях. Достаточно рассмотреть
				x
один из них. Из-за большой длины исклю-
				p3
чены линейные деформации ε z. Поскольку				Рис. 16.3
любое вертикальное сечение делит плотину
на симметричные части,			по закону
симметрии касательные напряжения
τ yz = τ zx = 0.	Элементарная пластин-
ка находится в условиях плоской				y
деформации.
Обратим внимание на то, что				p
при плоском напряженном состоя-
нии деформированное			состояние	p
объемно, так как		поперечная де-
				z
формация	ε z ≠ 0.	Аналогично при пло-		Рис. 16.4	x
ской деформации напряженное состоя-

ние объемное, поскольку из-за взаимного давления пластин друг на

друга между ними возникают нормальные напряжения σ z.	319