Сопротивление материалов / Nesmeyanov - Soprotivleniye materialov. Nestandartniye zadachi i podkhodi k ikh resheniyu 2005

Q		P0=Q(4+		16 12 13 )/13=1.32Q
A	Q	(ɨɬɪɢɰɚɬɟɥɶɧɵɣ	ɤɨɪɟɧɶ	ɨɬɛɪɨɲɟɧ). ɉɪɟɞɟɥɶɧɚɹ ɧɚɝɪɭɡɤɚ
		ɪɚɜɧɚ 19.8 kH;	ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɩɚɫɚ P0/P ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɪɚɜ-
	Q
		ɧɵɦ 1.98.

	ɚ)	P0	Ɂɚɦɟɬɢɦ, ɱɬɨ ɩɨɜɨɪɨɬ ɜɨɤɪɭɝ ɫɪɟɞɧɟɣ ɡɚɤɥɟɩɤɢ (ɩɟɪ-
			ɜɵɣ ɦɟɯɚɧɢɡɦ, ɪɢɫ.29ɛ), ɤɚɡɚɥɨɫɶ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɹɟɬ ɱɚɫɬɧɵɣ
	Qc
Qs			ɫɥɭɱɚɣ ɜɬɨɪɨɝɨ ɪɚɫɫɦɨɬɪɟɧɧɨɝɨ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ, ɨɞɧɚɤɨ ɷɬɨ ɫɩɪɚ-
	Q		ɜɟɞɥɢɜɨ ɥɢɲɶ ɞɥɹ ɩɪɢɜɟɞɟɧɧɵɯ ɜ ɡɚɞɚɱɟ ɪɚɡɦɟɪɨɜ. ɉɪɢ L>2l
Qc	Qs		ɩɟɪɜɵɣ ɦɟɯɚɧɢɡɦ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɞɟɣɫɬɜɢɬɟɥɶɧɵɦ, ɚ ɜɬɨɪɨɣ
		P0	ɞɚɫɬ ɛɨɥɟɟ ɜɵɫɨɤɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɩɪɟɞɟɥɶɧɨɣ ɧɚɝɪɭɡɤɢ. ɉɨɥɧɨɟ
	ɛ)		ɪɟɲɟɧɢɟ ɬɪɟɛɭɟɬ ɚɧɚɥɢɡɚ ɜɫɟɯ ɜɨɡɦɨɠɧɵɯ ɦɟɯɚɧɢɡɦɨɜ.
			Ɂɚɞɚɧɢɟ 1. Ɋɚɫɫɦɨɬɪɢɬɟ ɫɢɬɭɚɰɢɸ ɫ ɞɜɭɦɹ ɡɚɤɥɟɩɤɚɦɢ.
	Ɋɢɫ. 29
			ȼ ɱɟɦ ɛɭɞɟɬ ɨɬɥɢɱɢɟ ɩɪɢ ɪɟɲɟɧɢɢ ɡɚɞɚɱɢ?

Ɂɚɞɚɧɢɟ 2. ɍɜɟɥɢɱɢɬɫɹ ɥɢ ɡɚɩɚɫ ɩɪɨɱɧɨɫɬɢ, ɟɫɥɢ ɫɪɟɞɧɸɸ ɡɚɤɥɟɩɤɭ ɫɞɜɢɧɭɬɶ ɜɩɪɚɜɨ?

Ɂɚɞɚɱɚ 12. ɉɨɪɬɚɥɶɧɚɹ ɪɚɦɚ (pɢɫ.30) ɧɚɝɪɭɠɟɧɚ ɫɢɥɨɣ P ɜ ɬɨɱɤɟ ȼ. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɭɝɨɥ ɩɨɜɨɪɨɬɚ ɫɟɱɟɧɢɹ Ⱥ, ɟɫɥɢ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶ EI ɜɫɟɯ ɭɱɚɫɬɤɨɜ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚ.

P B

A

P

Ɋɟɲɟɧɢɟ. ɀɟɫɬɤɨɫɬɶ ɭɱɚɫɬɤɨɜ ɪɚɦɵ ɩɪɢ

l ɪɚɫɬɹɠɟɧɢɢ-ɫɠɚɬɢɢ ES ɛɭɞɟɦ ɫɱɢɬɚɬɶ (ɤɚɤ

			ɨɛɵɱɧɨ) ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɣ ɩɨ ɫɪɚɜɧɟɧɢɸ ɫ ɠɟɫɬ-
l	l		ɤɨɫɬɶɸ ɧɚ ɢɡɝɢɛ (EI), ɬɨɝɞɚ ɯɚɪɚɤɬɟɪ ɩɟɪɟ-
			ɦɟɳɟɧɢɣ ɜ ɪɚɦɟ ɧɟ ɢɡɦɟɧɢɬɫɹ, ɟɫɥɢ ɫɢɥɭ ɩɟ-
			ɪɟɧɟɫɬɢ ɜ ɫɟɪɟɞɢɧɭ ɭɱɚɫɬɤɚ Ⱥȼ (pɢɫ.31). Ɂɚ-
			ɞɚɱɚ ɨɤɚɡɵɜɚɟɬɫɹ ɤɨɫɨɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɣ, ɩɨɷɬɨ-
	Ɋɢɫ.30	Ɋɢɫ.31	ɦɭ ɜɵɛɟɪɟɦ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɭɸ ɨɫɧɨɜɧɭɸ ɫɢɫɬɟ-
			ɦɭ (ɫɧɹɜ ɜɫɟ ɜɧɟɲɧɢɟ ɫɜɹɡɢ) ɢ ɩɨɫɬɪɨɢɦ ɤɨ-

ɫɨɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɭɸ ɷɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɭɸ ɡɚɞɚɱɭ ɧɚ ɪɢɫ.32 (ɪɟɚɤɰɢɢ ɧɚɣɞɟɧɵ ɢɡ ɞɜɭɯ ɤɨɫɨɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɵɯ ɭɫɥɨɜɢɣ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ).

ȼɜɢɞɭ ɭɤɚɡɚɧɧɨɣ ɫɢɦɦɟɬɪɢɢ ɩɨɜɨɪɨɬ ɫɟɱɟɧɢɣ Ⱥ ɢ ȼ ɨɞɢɧɚɤɨɜ ɢ ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɜ ɨɞɧɭ ɫɬɨɪɨɧɭ. ɇɚ ɪɢɫ.33 ɩɪɢɜɟɞɟɧɚ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɚɹ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɚɹ ɡɚɞɚɱɚ ɦɟɬɨɞɚ Ɇɨɪɚ – ɬɚɤɠɟ ɤɨɫɨɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚɹ. ɗɤɜɢɜɚɥɟɧɬɧɚɹ ɩɨɫɥɟɞɧɟɣ ɡɚɞɚɱɚ ɩɨɤɚɡɚɧɚ ɧɚ ɪɢɫ.34, ɜɦɟɫɬɟ ɫ ɧɚɣɞɟɧɧɵɦɢ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɣ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ ɪɟɚɤɰɢɹɦɢ (ɤɚɤ ɢ ɢɫɯɨɞɧɚɹ

P	1/2		1/2		ɡɚɞɚɱɚ,		ɜɫɩɨɦɨɝɚ-
				1/2	ɬɟɥɶɧɚɹ	ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɢ
					ɨɩɪɟɞɟɥɢɦɚ). ɗɩɸ-
					ɪɵ	ɢɡɝɢɛɚɸɳɢɯ
ɗ	ȼɫ	1/2	ɗɜɫ		ɦɨɦɟɧɬɨɜ		ɜɟɫɶɦɚ
P/2	P/2		F=0	F=0	ɩɪɨɫɬɵ; ɩɨɫɥɟ ɜɵ-
					ɱɢɫɥɟɧɢɹ		ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ
P	P		G=1/l	G=1/l	Ɇɨɪɚ ɩɨɥɭɱɢɦ MȺ=
					=Mȼ=Pl2/(12EI).
Ɋɢɫ.32	Ɋɢɫ. 33		Ɋɢɫ.34

Ɂɚɞɚɱɚ 13. Ɉɩɪɟɞɟɥɢɬɶ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ, ɡɚɩɚɫɟɧɧɭɸ ɫɢɫɬɟɦɨɣ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɨɞɢɧɚɤɨɜɵɯ ɛɚɥɨɤ ɞɥɢɧɨɣ 2 ɢ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶɸ EI (ɪɢɫ.35) ɩɪɢ ɧɚɝɪɭɠɟɧɢɢ ɟɟ ɫɢɥɨɣ P [2].

Ɋɟɲɟɧɢɟ. Ⱦɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɷɧɟɪɝɢɢ ɭɞɨɛɧɨ ɩɨɞɫɱɢɬɚɬɶ ɪɚɛɨɬɭ ɫɢɥɵ P, ɫɨɜɟɪɲɟɧɧɭɸ ɩɪɢ ɧɚɝɪɭɠɟɧɢɢ – ɧɚ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɢ ɬɨɱɤɢ Ⱥ. Ⱦɪɭɝɢɦɢ ɫɥɨɜɚɦɢ, ɫɥɟɞɭɟɬ ɧɚɣɬɢ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶ ɫɢɫɬɟɦɵ (ɫ) ɩɪɢ ɞɚɧɧɨɦ ɧɚɝɪɭɠɟɧɢɢ. Ɉɫɨɛɟɧɧɨɫɬɶɸ ɡɚɞɚɱɢ ɹɜɥɹɟɬɫɹ ɬɨ, ɱɬɨ ɩɪɢ ɭɞɚɥɟɧɢɢ ɜɟɪɯɧɟɣ ɛɚɥɤɢ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶ ɫɢɫɬɟɦɵ ɧɟ ɦɟɧɹɟɬɫɹ – ɜɜɢɞɭ ɛɟɫɤɨɧɟɱɧɨɝɨ ɱɢɫɥɚ ɛɚɥɨɤ. ɗɬɨ ɫɜɨɣɫɬɜɨ ɦɨɠɧɨ ɢɫɩɨɥɶɡɨɜɚɬɶ ɞɥɹ ɜɵɱɢɫɥɟɧɢɹ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ ɫ. ɇɚɣɞɟɦ ɫɢɥɭ, ɤɨɬɨɪɭɸ ɧɭɠɧɨ ɩɪɢɥɨɠɢɬɶ ɤ ɛɚɥɤɟ (ɪɢɫ.36), ɱɬɨɛɵ

Ɋ	a
a
Ⱥ	c
	Ⱥ
	c
	1
	Ɋɢɫ.36
	Ɋɢɫ.35

ɩɪɨɝɢɛ ɜ ɬɨɱɤɟ Ⱥ ɛɵɥ ɪɚɜɟɧ ɟɞɢɧɢɰɟ – ɟɫɥɢ ɩɪɚɜɵɣ ɤɨɧɟɰ ɨɩɢɪɚɟɬɫɹ ɧɚ ɩɪɭɠɢɧɭ ɢɫɤɨɦɨɣ ɠɟɫɬɤɨɫɬɢ. ȼɟɥɢɱɢɧɚ ɷɬɨɣ ɫɢɥɵ ɢ ɟɫɬɶ ɠɟɫɬɤɨɫɬɶ ɫ – ɩɨ ɨɩɪɟɞɟɥɟɧɢɸ.

ɉɪɨɝɢɛ ɫɟɱɟɧɢɹ A ɧɚ ɪɢɫ.36 ɪɚɜɟɧ ɫɭɦɦɟ ɩɪɨɝɢɛɚ ɛɚɥɤɢ ɧɚ ɠɟɫɬɤɢɯ ɨɩɨɪɚɯ ɢ ɩɨɥɨɜɢɧɵ ɨɫɚɞɤɢ ɩɪɭɠɢɧɵ. ɉɟɪɜɭɸ ɜɟɥɢɱɢɧɭ ɧɚɣɞɟɦ ɢɡ ɢɧɬɟɝɪɚɥɚ Ɇɨɪɚ, ɩɟɪɟɦɧɨɠɢɜ ɩɨɯɨɠɢɟ ɷɩɸɪɵ ɜ ɢɫɯɨɞɧɨɣ ɢ ɜɫɩɨɦɨɝɚɬɟɥɶɧɨɣ ɡɚɞɚɱɚɯ (ɡɞɟɫɶ ɢɯ ɧɟ ɢɦɟɟɬ ɫɦɵɫɥɚ ɩɪɢɜɨɞɢɬɶ), ɷɬɨ ɫɚ3/(6EI). Ɉɬɫɸɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ:

ɫɚ3/(6EI)+1/2 c/2 1/c=1

ɢ, ɡɧɚɱɢɬ,

c=9EI/(2a3).

ɉɟɪɟɦɟɳɟɧɢɟ ɬɨɱɤɢ A ɩɨɞ ɞɟɣɫɬɜɢɟɦ ɫɢɥɵ Ɋ ɪɚɜɧɨ

XA=Ɋ/c=2Pa3/(9EI)

ɢ ɪɚɛɨɬɚ ɫɢɥɵ Ɋ (ɩɟɪɟɯɨɞɹɳɚɹ ɜ ɩɨɬɟɧɰɢɚɥɶɧɭɸ ɷɧɟɪɝɢɸ ɫɢɫɬɟɦɵ W) ɪɚɜɧɚ ɊXA/2, ɨɬɤɭɞɚ ɫɥɟɞɭɟɬ ɨɬɜɟɬ: W=P2a3/(9EI).

	Ɂɚɞɚɱɚ 14. ɗɥɟɦɟɧɬɵ ɮɟɪɦɵ, ɩɪɟɞɫɬɚɜɥɟɧɧɨɣ	P
	ɧɚ ɪɢɫ.37, ɢɦɟɸɬ ɤɪɭɝɥɨɟ ɩɨɩɟɪɟɱɧɨɟ ɫɟɱɟɧɢɟ
	(d=40 ɦɦ). Ⱦɚɧɨ: l=1.2 ɦ, D =300, E=2 105Mɉɚ,
	VT=300 Mɉɚ.	1
	ɇɚɣɬɢ ɞɨɩɭɫɬɢɦɨɟ ɡɧɚɱɟɧɢɟ ɫɢɥɵ P, ɟɫɥɢ ɧɨɪɦɚ-		3
		2 l
	ɬɢɜɧɵɣ ɤɨɷɮɮɢɰɢɟɧɬ ɡɚɩɚɫɚ ɩɪɨɱɧɨɫɬɢ ɪɚɜɟɧ
	ɞɜɭɦ.
	Ɋɟɲɟɧɢɟ. Ɂɚɞɚɱɚ ɤɨɫɨɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɚ ɢ ɩɨɬɨɦɭ	Ɋɢɫ. 37
	ɫɬɟɪɠɟɧɶ 2 ɧɟ ɧɚɝɪɭɠɟɧ, ɭɫɢɥɢɹ

ɜ1 ɢ 3 ɫɬɟɪɠɧɟ ɧɚɯɨɞɹɬɫɹ ɢɡ ɭɫɥɨɜɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ. Ɉɞɧɚɤɨ, ɤɨɝɞɚ ɧɨɪɦɚɥɶɧɚɹ ɫɢɥɚ

ɜɫɬɟɪɠɧɟ 3 ɞɨɫɬɢɝɚɟɬ ɫɜɨɟɝɨ ɤɪɢɬɢɱɟɫɤɨɝɨ ɡɧɚɱɟɧɢɹ R3*, ɢɫɱɟɪɩɚɧɢɹ ɧɟɫɭɳɟɣ ɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɢ, ɜɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɨɣ ɧɟɨɩɪɟɞɟɥɢɦɨɫɬɢ ɤɨɧɫɬɪɭɤɰɢɢ, ɧɟ ɩɪɨɢɫɯɨ-

ɞɢɬ. ɉɪɢ ɞɚɥɶɧɟɣɲɟɦ ɪɨɫɬɟ ɫɢɥɵ P ɧɨɪɦɚɥɶɧɚɹ ɫɢɥɚ ɜ ɬɪɟɬɶɟɦ ɫɬɟɪɠɧɟ ɩɨɫɬɨɹɧɧɚ (ɫɥɟɞɫɬɜɢɟ ɝɢɩɨɬɟɡɵ ɦɚɥɨɫɬɢ ɩɟɪɟɦɟɳɟɧɢɣ), ɚ ɞɨɝɪɭɠɚɸɬɫɹ ɫɬɟɪɠɧɢ 1 ɢ 2. Ɋɚɛɨɬɚ ɤɨɧɫɬɪɭɤɰɢɢ ɩɟɪɟɫɬɚɟɬ ɛɵɬɶ ɫɢɦɦɟɬɪɢɱɧɨɣ, ɧɨ ɡɚɞɚɱɚ ɨɫɬɚɟɬɫɹ ɫɬɚɬɢɱɟɫɤɢ ɨɩɪɟɞɟɥɢɦɨɣ (R3* – ɢɡɜɟɫɬɧɨ).

ȼɨɡɦɨɠɧɵ ɞɜɚ ɦɟɯɚɧɢɡɦɚ ɪɚɡɪɭɲɟɧɢɹ: ɚ) ɩɨɬɟɪɹ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ ɫɬɟɪɠɧɹ 2 (ɪɢɫ.38) ɢ ɛ) ɞɨɫɬɢɠɟɧɢɟ ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɟɦ ɜ ɫɬɟɪɠɧɟ 1 ɩɪɟɞɟɥɚ ɬɟɤɭɱɟɫɬɢ (ɪɢɫ.39).

Ɂɚɩɢɫɚɜ ɭɫɥɨɜɢɹ ɪɚɜɧɨɜɟɫɢɹ (ɫɭɦɦɵ

Ɋ( ɚ)	P(0	ɛ)		ɦɨɦɟɧɬɨɜ ɨɬɧɨɫɢɬɟɥɶɧɨ ɬɨɱɟɤ A ɢ B),
0				ɩɨɥɭɱɢɦ ɫɨɨɬɜɟɬɫɬɜɭɸɳɢɟ ɩɪɟɞɟɥɶ-
R*
				ɧɵɟ ɧɚɝɪɭɡɤɢ. ɉɪɟɞɜɚɪɢɬɟɥɶɧɨ ɧɚɯɨ-
3	N Ɍ1		R*3
R*				ɞɢɦ ɝɢɛɤɨɫɬɢ ɫɬɟɪɠɧɟɣ (O2=120, O3
2
Ⱥ		ȼ		=138); ɧɟɬɪɭɞɧɨ ɜɢɞɟɬɶ (ɩɨ ɞɚɧɧɵɦ ɜ
				ɡɚɞɚɱɟ E, ɢ VT), ɱɬɨ ɫɩɪɚɜɟɞɥɢɜɚ
Ɋɢɫ.38
		Ɋɢɫ.39		ɮɨɪɦɭɥɚ ɗɣɥɟɪɚ: Ri*=S2ES/Oi2. ɇɚɣ-

ɞɟɦ: Ɋ0(ɚ)=0.228 Ɇɇ, Ɋ0(ɛ)=0.257 Ɇɇ. Ɂɧɚɱɢɬ, ɩɪɨɢɫɯɨɞɢɬ ɩɨɥɧɨɟ ɢɫɱɟɪɩɚɧɢɟ ɧɟɫɭɳɟɣ ɫɩɨɫɨɛɧɨɫɬɢ ɩɨ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɢ; ɞɨɩɭɫɤɚɟɦɚɹ ɧɚɝɪɭɡɤɚ – 114 ɤɇ.

Ʌɂ Ɍ ȿ Ɋ Ⱥ Ɍ ɍ Ɋ Ⱥ

1.Ɇɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɭɤɚɡɚɧɢɹ ɩɨ ɪɟɲɟɧɢɸ ɡɚɞɚɱ 1-ɝɨ ɬɭɪɚ ȼɫɟɫɨɸɡɧɨɣ ɨɥɢɦɩɢɚɞɵ ɩɨ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɸ ɦɚɬɟɪɢɚɥɨɜ. – Ɇ.: ɆȼɌɍ ɢɦ. ɇ.ɗ.Ȼɚɭɦɚɧɚ, 1977. – 10 ɫ.

2.ɉɪɟɞɦɟɬɧɵɟ ɨɥɢɦɩɢɚɞɵ. Ɉɪɝɚɧɢɡɚɰɢɹ ɢ ɡɚɞɚɱɢ. Ɇɟɬɨɞɢɱɟɫɤɢɟ ɭɤɚɡɚɧɢɹ. – Ƚɨɪɶɤɢɣ: Ƚɉɂ ɢɦ. Ⱥ.Ⱥ.ɀɞɚɧɨɜɚ, 1986. – 104 ɫ.

3.Ȼɨɥɢ Ȼ., ɍɷɣɧɟɪ Ⱦɠ. Ɍɟɨɪɢɹ ɬɟɦɩɟɪɚɬɭɪɧɵɯ ɧɚɩɪɹɠɟɧɢɣ. Ɇ.: Ɇɢɪ, 1964. –

520 ɫ.

4.Ⱥɥɮɭɬɨɜ ɇ.Ⱥ. Ɉɫɧɨɜɵ ɪɚɫɱɟɬɚ ɧɚ ɭɫɬɨɣɱɢɜɨɫɬɶ ɭɩɪɭɝɢɯ ɫɢɫɬɟɦ. – Ɇ.: Ɇɚɲɢɧɨɫɬɪɨɟɧɢɟ, 1978. – 312 ɫ.

5.Ɏɟɨɞɨɫɶɟɜ ȼ.ɂ. ɂɡɛɪɚɧɧɵɟ ɡɚɞɚɱɢ ɢ ɜɨɩɪɨɫɵ ɩɨ ɫɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɸ ɦɚɬɟɪɢɚɥɨɜ. –

Ɇ.: ɇɚɭɤɚ, 1967.– 376 ɫ.

6.Ɋɭɛɢɧɢɧ Ɇ.ȼ. ɋɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɦɚɬɟɪɢɚɥɨɜ. – Ɇ.: Ɇɚɲɝɢɡ, 1961. – 468 ɫ.

7.Ʌɢɯɚɪɟɜ Ʉ.Ʉ., ɋɭɯɨɜɚ ɇ.Ⱥ. ɋɛɨɪɧɢɤ ɡɚɞɚɱ ɩɨ ɤɭɪɫɭ "ɋɨɩɪɨɬɢɜɥɟɧɢɟ ɦɚɬɟɪɢɚɥɨɜ": ɍɱɟɛ. ɩɨɫɨɛɢɟ ɞɥɹ ɦɚɲɢɧɨɫɬɪɨɢɬɟɥɶɧɵɯ ɜɭɡɨɜ. – Ɇ.: Ɇɚɲɢɧɨɫɬɪɨɟɧɢɟ,

1980. – 224 ɫ.