Сопротивление материалов / Suriyaninov - Metodi postroeniya epyur 2001

Должны выполняться два условия:

1)δ11 + 2δ12 + δ 22 = δ SS ;

2)1F + 2F = SF .

Вычисляем величины δ SS																									и			SF .
							S2
δ SS = ∑ ∫					М								1			1								2							1		1							2						81
									ds =											6				6				6 2 +											3 3			3			=			;
						EI							E2I				2									3					EI					2				3							EI
				S
																	1 1																6 + 3															1
	SF = ∑ ∫					M F				М S																			3														1
													ds	=										18				6		6	+								3 18 +							3 3				9 + 18	−
				S			EI								E2I 3														4				2										2					3
	1		1					1										182
−				3		3					18 +			9		=							.
	EI		2					3												EI
						1) δ11 + 2δ12 + δ 22 =																			1		(207 − 2 135 + 144) =													81					= δ SS
																									EI																EI
						2)					1F +					=				1		(702 − 520) =										182			=				SF ,
														2F
																				EI												EI

таким образом, коэффициенты при неизвестных и свободные члены канонических уравнений вычислены правильно.

Вычисляем реакции лишних связей:

207X1 − 135X 2 + 702 = 0;

− 135X + 144X − 520 = 0.

1 2

X1 = −2.67кН

=

X 2 1.11кН

Строим эпюры продольных (Nz) и поперечных (Qy) сил и изгибающих моментов (Мх) для заданной системы с учетом вычисленных реакций лишних связей (рис.43,а-г).

Для выполнения статической проверки необходимо вырезать жесткие узлы рамы 3 и 4 (рис.43,а) и убедиться в справедливости условий равновесия для каждого из них.

101

Условия равновесия для узла 3 (рис.42,а):

1)∑X = 3,33 − 3,33 = 0;

2)∑Y = −1,11 +1,11 = 0;

3)∑M3 = 2 − 2 = 0.

Условия равновесия для узла 4 (рис.42,б):

1)∑X = 3,33 − 3,33 = 0;

2)∑Y = 1,89 −1,89 = 0;

3)∑M3 = 4,4 − 4,4 = 0.

Таким образом, статическая проверка выполняется.

Рис. 42

Для выполнения кинематической проверки перемножим суммарную единичную эпюру М S (рис.41,е) и окончательную эпюру изгибающих моментов Мх (рис.43,г):

						1
	S = ∑ ∫	M X М S						2					1				2
					ds =		−		3,56 5,34 2,67			+		2	0,66			0,66		+ 5,34	+
	S	EI				E2I 3							3				3
3	(2 2 6	− 2 1,3 3 − 6 1,3 + 2 3) +								3	(2 3 5,6 −	3 4,4)] = −				0,08			≈ 0,
6									6							EI

следовательно, все проверки метода сил выполняются, и расчет проделан

правильно.

102

Рис. 43

Теперь рассмотрим примеры, иллюстрирующие различные способы использования симметрии.

Пример 21. Построить эпюры Nz, Qy и Mx для симметричной рамы, загруженной несимметричной внешней нагрузкой (рис.44,а).

Заданная рама имеет два замкнутых бесшарнирных контура, следовательно, ее степень статической неопределимости N = 6.

Записанная формально, без использования симметрии, система канонических уравнений метода сил имеет вид

δ11X		1 + δ12 X	2 + δ13 X 3 + δ14 X 4 + δ15 X 5 + δ16 X 6 +
		1 + δ22 X	2 + δ23 X 3 + δ24 X 4 + δ25 X 5 + δ26 X 6 +
δ	21X

...............................................................................

δ61X1 + δ62 X 2 + δ63 X 3 + δ64 X 4 + δ65 X 5 + δ66 X 6 +

1Q = 0;

2Q = 0;

6Q = 0.

103

Из многих возможных вариантов выбора основной системы наиболее целесообразным, максимально упрощающим расчет, является вариант, представленный на рис.44,б, полученный путем разрезания каждого из ригелей посредине пролета. Так как разрез стержня приводит к появлению трех неизвестных факторов (двух сил и момента), то эквивалентная система (рис.44,в) будет состоять из двух жестко защемленных рам, одна из которых загружена только неизвестными реакциями, а другая – такими же (по величине) реакциями и внешней нагрузкой.

Указанный выбор основной системы позволяет не только получить простые единичные эпюры (рис.44,г-и), но, что особенно важно, при этом целый ряд побочных коэффициентов системы канонических уравнений обращается в ноль. Это те коэффициенты, которые получаются путем перемножения симметричной и кососимметричной эпюр:

δ 12 =δ 15= δ 23 = δ 24 = δ 26 = δ 35 = δ 45 = δ 56 = 0.

В силу теоремы о взаимности перемещений число нулевых коэффициентов удваивается. В результате формально записанная система канонических уравнений распадается на две самостоятельных системы:

δ11X1 + δ13 X 3 + δ14 X 4 + δ16 X 6 + 1Q
	+ δ33 X3	+ δ34 X 4	+ δ36 X 6 + 3Q
δ31X1
I)	+ δ43 X 3	+ δ44 X 4	+ δ46 X 6	+ 4Q
δ41X1
	+ δ63 X 3	+ δ64 X 4	+ δ66 X 6	+ 6Q
δ61X1

=0;

=0;

=0;

=0.

δ22 X 2	+ δ25 X 5 +	2Q
II)	+ δ55 X5 +
δ52 X 2		5Q

=0;

=0.

Вычисление коэффициентов этих систем уравнений (с обязательным учетом соотношения жестокостей элементов) приводит к следующим результатам:

		1		1				2			1		6				354,7
δ11	=				4	4			4	+				(2 4 4 + 2 10 10 + 4 10 + 10 4)	2	=		;
				2				3			E2I		6
	EI																EI

104

			1					1						1		10 + 4									58
δ13	= δ31	=									4 4 1 +									6 1			2	=		;
								2						E2I				2
			EI																						EI
			1					1			2									144
δ14	= δ 41	=									6 6			6 + 4				2	=			;
				E2I				2
											3										EI

δ16	= δ61									=						1										10 + 4												6 1 2 =																							42							;
														E2I
																								2																																					EI
δ .33	=		1										(1 3 1 +1 6 1) 2 +																																											1						1 4 1 2 =																17				;
			E2I																																																				EI																								EI
δ34 = δ 43 =																		1									1			6 6 1 2 =																											18						;
														E2I
																								2																																			EI
δ36 = δ 63 =																1									1 6 1 2 =																									6						;
														E2I																																			EI
δ 44	=	1													1					6 6											2				6 2 =																	72								;
		E2I
														2										3																													EI
δ 46 = δ 64 =																		1										1		6 6 1 2 =																												18						;
														E2I
																								2																																			EI
										1																							1																																						7,5
δ66	=														1 6 1 +																											1 3 1																			2 =														;
																																	E4I
		E2I																																																																						EI
										1																							1																		2																		1																				135
δ 22	=													3 6 3 +																						3						3														3								+										3		4 3							2 =								;
		E2I																															2																		3																		EI																					EI
δ 25 = δ52 =																		1							3 6 3 2 =																									54									;
														E2I
																																																		EI
										1																										1											1																	2													58,5
δ55	=														3 6 3 +																																				3 3																				3 2 =													.
																																																																3
		E2I																																	E4I 2																																													EI
						1										1																										1									10 + 4																												261
1Q	= −																					4 4 9 +																																													6						9			= −									;
						EI										2																								E2I																2																								EI
										1								1															3																																						1															199,12
2Q	= −																								9 3											3						+ 3								6 9															−									3		4 9 = −																;
																		3															4																																					EI
										E2I																																																																																EI
										1								1																																											1																				67,5
3Q	= −																								9 3 1 + 9 6 1																																−											9 4								1 = −												;
																		3																																											EI																				EI
										E2I
	= −									1										1			6 6 9 = −																							81							;
4Q
										E2I								2																												EI
	= −							1								3 6 9 = −																							81						;
5Q
										E2I																													EI
	= −								1							1 6 9 = −																						27						.
6Q
										E2I																												EI

105

Рис. 44

106

Для выполнения проверки вычисленных перемещений строим суммарную единичную эпюру М S от одновременного действия шести единичных факторов

(рис.45,б).
Вычисляем коэффициенты δ SS									и	SQ :
	2
δ SS = ∑∫	M S		1		3						1		2
		DS =				(2	4 4	+ 2	1 1	+ 2 4 1) +		1 1,5		1 2	+
S	EI		E4I		6						2		3

+	1		1	12	6		2	12	+	1	1	1		2	1	+	1	2 2	2	2 +	3	(2	4	4	+ 2 1 1 +
	E2I		2				3			2				3			2		3		6

+ 2 4 1) +						6			(2 12 12 + 2 24 24 + 2												12		24)] +			1				4	(2	4		4		+ 2 8 8 +
						6																				EI				6
+ 2 4 8) +							4		(2 2 2 + 2 1 1 − 2 1 2)] =															1324,7	;
						6																		EI
	SQ = ∑∫				M						M S					1 1					3						12 + 24
								Q						DS = −						9 3				3 + 1	+								6		9		−
			S					EI								E2I 3					4									2
−	4 + 8		4 9								1		=		− 716,62		.

2EI EI

Выполняем проверку:

6

1

1)

∑δ IJ

=

[354,7 + 17 + 72 + 7,5 + 135 + 58,5 + 2(58 + 144 +

I , J =1

EI

42 + 18 + 6 + 18 + 54)] =

1324,7

δ SS ;

EI

6

1

(− 261 −199,12 − 67,5 − 81 − 81 − 27) =

716,62

2)

∑ IQ

=

=

SQ ,

I =1

EI

EI

следовательно, коэффициенты и свободные члены систем канонических уравнений вычислены правильно.

107

Рис. 45

Подставляя вычисленные значения перемещений, получим системы канонических уравнений I и II в виде:

354,7X1 + 58X 3 + 144X 4 + 42X 6 = 261;
		+ 17X3 + 18X					+ 6X 6 = 67,5;
58X	1					4
I.
144X1 + 18X 3 +72X						4	+ 18X 6		= 81;
42X	1	+ 6X	3	+ 18X	4	+ 7,5X		6	= 27.

II.135X 2 + 54X5 = 199,12;

54X 2 + 58,5X5 = 81.

108

Решение системы I и II дает значения реакций лишних связей:

Х1 = 0,607кН;

Х2 = 1,46кН;

Х3 = 2,753кН м;

Х4 = −0,692кН;

Х5 = 0,037кН;

Х6 = −0,34кН м.

Окончательные эпюры NZ, QY, MX, построенные от одновременного действия вычисленных реакций и внешней нагрузки q (рис.45,в) показаны на рис.45,г,д,е.

Пример 22. Построить эпюры NZ, QY, MX в симметричной раме (рис.46.а). Рама имеет два замкнутых бесшарнирных контура, поэтому она шесть раз

статически неопределима. При обычном подходе в этом случае было бы необходимо решить систему шести линейных уравнений, т.е. расчет был бы весьма трудоемким. Использование симметрии, как это будет показано ниже, позволит свести задачу к решению только лишь двух линейных уравнений.

Выберем основную систему, разрезая каждый из ригелей посредине пролета (рис.46,б). Но, в отличие от предыдущего примера, сформируем две эквивалентных системы, одну из которых загрузим симметричными составляющими внешней нагрузки (рис.46,в), а другую – обратно симметричными составляющими (рис.46,г). Легко убедиться в том, что сумма внешних нагрузок, приложенных к обеим эквивалентным системам, равна внешней нагрузке, приложенной к заданной раме.

При действии симметричных самоуравновешенных сил F1 2 и F2 2

(рис.46,в), приложенных в узлах, в элементах рамы отсутствуют изгибающие моменты и поперечные силы, а продольные силы возникают только в ригелях и вычисляются непосредственно из условий равновесия узлов 3 и 5, или, что то же самое, 4 и 6:

109

∑

F (3)

= 0 :

F

2 − N

34

= 0;

N

34

= F

2 = 5кН.

X

1

1

∑

F (5)

= 0 :

F

2 − N

56

= 0;

N

56

= F

2 = 2,5кН.

X

2

2

При действии обратносимметричных сил F1 2 и F2 2 (рис.46,г) в разрезах, сделанных по оси симметрии рамы, возникают обратносимметричные неизвестные поперечные силы Х1, Х2, а продольные силы и изгибающие моменты обращаются в ноль как симметричные усилия при обратносимметричной нагрузке.

Таким образом, для расчета рамы нужно составить только два канонических уравнения метода сил:

δ11X1 + δ12 X 2 +			1F = 0;
	+ δ22 X 2	+ 2F = 0.
δ.21 X1

Единичные и грузовая эпюра изгибающих моментов показаны на рис.46,д,е,ж. Вычислим коэффициенты канонических уравнений путем перемножения соответствующих эпюр по правилу Верещагина:

	=		2					1				3		3			2			3 + 3 4						=		45
δ11																								3						;
								2									3
		E2I																											EI
δ12 = δ 21 =											2		3 4 3 =								36		;
								E2I													EI
	2			1										2										2							177
δ 22								3				3					+			3 4 3 +								3 4 3 =					;
														3
	E2I 2																							EI								EI
	=		2							10 + 40									4 3 =			300			;
1F			E2I
												2										EI

Единичные и грузовая эпюра изгибающих моментов показаны на рис.46,д,е,ж.

110