Физические, технические, некоторые радиобиологические и медицинские аспекты контактной лучевой терапии_Монография_Тимофеев_Л.В

Парциальные дозные распределения Pi(x) рассчитывались двухгрупповым методом для следующей последовательности чередующихся сферических слоев гетерогенной системы: стальное основание корпуса офтальмеоаппликатора, матрица (материал которой эквивалентен стали по дозиметрическим характеристикам) со со90Sr + 90Y, стальная крышка и, наконец, мягкая биологическая ткань. Отпуская все промежуточный выкладки расчета приводим окончательное выражение для Piот каждого парциального спектра:

Pi(x) = 1,6·10-8			· ·			[	( + ) +	] +
[		+	(	]
+	(				)}		[радсек]

Здесь Pi(х) ‒ мощность дозы в ткани глаза на расстоянии х (мг·см-2) от поверхности аппликатора по центру его активной части; индексы С и Tобозначают принадлежность параметров, входящих в формулу, к различным средам гетерогенной системы: С ‒ сталь, T ‒ ткань; Wот‒ среднее по парциальному спектру значение тормозной способности мягкой ткани (кэВ мг-1 см2); τ‒величина удельной активности радионуклида (мг-1сек-1); α‒ коэффициент, характеризующий поглощение нерассеянной части флюенса электронов; ν ‒ коэффициент поглощения диффузионной части флюенса (мг-1см2); F ‒ функция Кинга, затабулированная, например, в (7); D‒коэффициент диффузии для диффузионного флюенса (мг см-2); R ‒ радиус кривизны рабочей поверхности аппликатора (R = 14 мм = 1400 мг см-2 мягкой ткани); ho‒ толщина крышки аппликатора (ho= 117 мг см-2 стали), h‒ толщина матрицы (h = 122 мг см-2).

Величины, необходимые для расчета параметров приведены в таблице для двух первых квазиравновесных спектров, входящих в разложение спектра 90S

+90Y (см. формулу (2)). Дело в том, что бета-частицы последнего третьегоr

спектра вследствие своей низкой граничной энергии практически полностью поглощаются материалом крышки аппликатора и поэтому при расчете не учитываются.

Значение параметров, входящих в формулу (3)

Номер i	Wот	αc	αT	νc	νT	νcDc	νTDT
КВ-спектра	кэВ мг-1 см2			мг-1 см2	мг-1 см2
1	2,15	1,3	1	0,00680	0,00666	0,2	0,4
2	2,35	1,3	1	0,01000	0,01000	0,2	0,4

270

Сигнальный экземпляр

На рис.108 представлены глубинные дозные распределения в ткани глаза (по центру зоны офтальмоаппликаторов), полученные экспериментальным (сплошная кривая) и расчетным (штриховая линия) методами1. Как следует из рис.8, результаты расчетов и измеоений отличаются не более, чем на ±15% для всегопрактическизначимогодиапазонарасстоянийотповерхностиаппликаторов, т.е. для всех расстояний, где поглощается более 90% энергии радионукли- да.Полученноесогласиеданных,по-видимому,свидетельствуетокоректности проведенных исследований дозных полей офтальмологическихаппликаторов.

Центральная часть относительных дозных распределений от большинства типоваппликатороводинакова.ИсключениясоставляютаппликаторытипаС1, С2, С7 и С13‒С16, дозное поле которых спадает более круто с увеличением расстояния от источника ‒ из-за малой площади активной зоны.

Рис. 108. Глубинное дозное распределение в мягкой биологической ткани, контактирующей с дерматологическим аппликатором со 90Sr+90Y, изготовленным на основе КПВ.

271

4. Функции точечного источника многоэнергетических электронов. Расчётные данные.

ДругаявозможностьопределениявидафункцииW(r)состоитвиспользовании опубликованных расчётных данных. Функции W (r) для любых бетаспектров можно вычислить путём суперпозиции дозных распределений W(l, Ei) для отдельных моноэнергетических линий:

W(r) = i iW(r, Ei)

Здесь αi −доля моно−линии в спектре, а функция

W(r, Ei)= 4 2 (r, Ei)

Описывает распределение поглощённой энергии вокруг точечного изотропного источника моноэнергетических электронов с энергией Ei. Основой для для расчёта W(r) являются, как видно, функции W(r, Ei) или Ψ(r, Ei).

Эти функции представляют и самостоятельный интерес, т.к. могут быть использованы, например, при расчёте доз от электронов внутренней конверсии.

Вработах Спенсера /11,12/ описан метод решения уравнения переноса для электронов и приведены результаты расчётов распределения диссипированной энергии для двух конфигураций источника:

а. плоский бесконечно широкий источник электронов с направлением эмиссии, перпендикулярным плоскости источника;

б. точечный изотропный источник.

Вобоих случаях рассматривалось безграничное пространство и эмиссия моноэнергетических электронов. Диапазон энергий достаточно широк /12/, от 25 кэв до 10 Мэв, а в качестве среды, наряду с некоторыми металлами со сравнительно большим Z[11] взяты и легкоатомные материалы: углерод, полистирол, воздух /12/.

Результаты вычислений диссипации энергии для условий, близких к а) и б), приведены также в /13/ (полубесконечный водный фантом, энергия 1 Мэв, расчёт методом Монте−Карло), а расчётные данные, относящиеся к случаю б)

иэнергии 0,4 Мэв (для воздуха) можно получить из работы /14/. Расчётные результаты, полученные в перечисленных работах для близких геометрических условий и материалов и одинаковых энергий, довольно хорошо согласуются с собой.

Сопоставить результаты расчётов для интересующего нас случая геометрии б) с какими-либо экспериментальными данными нельзя, так как измерения величин W( r, Ei), насколько нам известно, пока не проводились. С другой стороны, измерения дозных распределений от широкого плоского “перпендикулярного” моноэнергетического источника ( геометрия а) проводилась неоднократно, и соответствующие экспериментальные данные имеются в литературе. Сравнив расчётные и экспериментальные данные, относящиеся к геометрииа),можнооценитьнадёжностьрасчетовирольихтехприближений, в рамках которых они проведены. Поскольку в упомянутых выше работах методы расчётов для случаев а) и б) мало отличались друг от друга, таким путём

272

Сигнальный экземпляр

можно также оценить достоверность интересующих нас расчётных значений функций W (r, Ei), приведённых в литературе.

На рис. № 3Б штрих-пунктиром изображены результаты измерений дозного распределения в полиэтилене ( полубесконечный фантом) при нормальном падении широкого электронного пучка с энергией 1 Мэв (данные Г.Б. Раздиевского, Д.П. Осанова). При оси абсцисс отложена глубина Z под облучаемой поверхностью, выраженная в долях пробега: Z=r/R, а по оси ординат−отношение W/|dE/dx|, где W(r)−мощность дозы на глубине r. Результаты расчётов Спенсера /12/ для полистиролантой же энергии изображены штриховыми линиями, а данные Бергера и Зельцера− гистограммой (вода, 1 Мэв) /13/.

Рис.№1 В,Г.

Рис. 1 В. Дозные распределения при нормальном падении широкого электронного пучка с энергией 1 Мэв. на плоский полубесконечный фантом.

Штрихпунктирная линия− результаты измерений [15], Штриховая линия− результаты расчётов Спенсера [12], гистограмма− данные Бергера [13].

Рис.№1.Г. Сплошная кривая(1)− дозное распределение в алюминии для геометрии а) и энергии 4 Мэв, вычисленное в приближении непрерывного замедления. Точки− результат расчёта с учётом флуктуаций в потерях энергии. Кривые (2)− “кривые трансмиссии”. Сплошная− расчёт в приближении непрерывного замедления; штрих−пунктир−эксперимент.

Несмотря на то, что расчетные данные /12/ относятся к безграничной среде, а результаты расчётов /13/− к полубесконечному фантому, они достаточно хорошо согласуются между собой. Впрочем, при нормальном падении пучка электронов, как показано в /?/, даже в случае алюминия разница между дозами при бесконечном и полубесконечном слоях материала не превышает 4−5% и наблюдается лишь вблизи источника. В то же время на рис. № 1 В. видно, что экспериментальные результаты заметно отличаются от расчётных, и разница почти всюду превышает ошибки измерений. Экспериментальные данные для аналогичных материалов и той же энергии, полученные в других работах, отличаются отличаются от рассматриваемых расчётных результатов не меньше, чемизображённыенарис.№1Бэкспериментальныеданные,причёмразличие вбольшинствеслучаевимееттакойжехарактер,т.е.уэкспериментальнойкривой максимум расположен несколько ближе, а наклон этой кривой при больших толщинах−несколько меньший, чем у расчётного распределения. Примерно такие же по характеру различия между расчётными и экспериментальными данными наблюдаются при меньшей энергии электронов, −100 кэв и 400 кэв.

Такимобразомотличиятеоретическихрезультатовотданныхэксперимента /рис. 1 А,Б/ являются типичными.

Причиной отличий экспериментальных и расчётных дозных распределений

273

являются , очевидно, приближения, сделанные в расчётах и, в первую очередь, использование модели непрерывного замедления. Возможно, что некоторую, хотя и меньшую роль, играет игнорирование в расчётах образования вторичных электронов.

Учёт флуктуаций потерь энергии при расчёте доз наиболее важен для материалов с низким атомным номером, таким как ткань, вода, пластмассы /11/, хотя он заметно влияет на полученные результаты даже в случае алюминия. Это видно на рис. 1 Г. Здесь сплошная кривая (1)−дозное распределение в алюминии для геометрии а) и энергии 4 Мэв, вычисленное в приближении непрерывного замедления, точки – результат расчёта ( методом Монте−Карло) того же распределения, но с учётом флуктуации в потерях энергнии. Характер различия данных, полученных без учёта и с учётом флуктуаций здесь такой же, как расчётных и экспериметальных кривых на рис. №1Б.

Кривые (2) на рис. № 1.Г. изображают зависимость электронного тока, вышедшего из плоского образца, от его толщины Х ( “кривая трансмиссии”). Материал−алюминий, начальная энергия электронов, падающих нормально, 0,5 Мэв. Сплошная кривая− расчёт методом Монте−Карло в приближении непрерывного замедления / /, штрих−пунктир−экспериментальные результаты /…/.

Ввиду заметного различия расчётных и экспериментальных результатов, относящихся к геометрии а), мы при вычислении ФТИ для бета−излучения не использовали полученные в работе Спенсера /11/ функции W(r, Ei).

Приближение “единых дозовых функций”.

Для получения функций W(r, Ei) можно воспользоваться результатами измерения дозных распределений в тканеэквивалентных материалах от широких мононаправленных пучков электронов. Пусть функция P(x, Ei, θ) обозначает мощность дозы на глубине Х под поверхностью полубесконечного образца, создаваемую (бесконечно) широким пучком электронов с энергией Ei, падающим под углом θ. Если функция P нормирована на единичный поток электронов, то её можно записать в виде /15/:

P(x, Ei, θ)= Ι			(Ei)Ι[1+Δ(Ei, θ)]ƒ(x, Ei, θ)	(4)
где (Ei, θ)− так называемый	дозный коэффициент обратного рассеяния;

А f (x, Ei, θ)= P(x, Ei,θ)− относительное дозное распределение.

В работе /15/ описаны результаты измерений функции f(x, Ei,θ) для углов в диапазоне Оо≤θ≤600 и энергией в интервале и 0,4≤Ei≤1,2 Мэв. Оказалось, что кривыезависимостиfотглубиныдляразныхэнергий Eiипрификсированном θ очень близки по форме и различаются в основном лишь масштабами по оси толщин X.

Это свойство функции f можно представить в виде равенства:

Где Z=x/R ( Ei)− относительная глубина, измеренная в долях среднего пробега R электронов с энергией Ei.

Соотношение (5) выражает приближение “универсальных” или “единых

274

Сигнальный экземпляр

дозовых функций”, использованное при решении некоторых задач дозиметрии электронов и бета−излучения. Универсальность формы дозных распределений fбылаэкспериментальноустановленавработеГ.Б.РадзиевскогоиД.П.Осанова/15/длясравнительноузкогодиапазонаEiидляугловпаденияθ≤600.Последующие измерения, проведенные авторами работы /15/, показали, что область применимостиприближения(5)сточностьюнехуже±20%можетбытьрасширена по крайней мере вплоть до θ=750 и Ei= 50кэв.

На возможность существования универсальности в форме как токовых распределений (кривых трансмиссий), так и расчётных дозных распределений для геометрии а) в широком диапазоне энергии, обратили внимание давно. Это свойство распределений иногда упоминается в литературе в качестве т.н. “закона преобразования масштаба” (scaling low). “Закон преобразования масштаба”(безотносительно к геометрии источника) можно обосновать теоретически, правда, в очень грубом приближении, если принять, что замедление электронов происходит непрерывно, а начальная энергия их Ei значительно меньше 2mc2=1,02 Мэв. Поскольку указанное обоснование не является корректным доказательством универсальности формы истинных распределений, последнее может быть получено из анализа результатов детальных расчётов или измеренийтоковыхидозныхраспределенийдляконкретныхгеометрическихусловий распространения излучения. В качестве такого доказательства для геометрии а) можно рассматривать, в частности, расчётные результаты /11/, полученные

вшироком диапазоне энергии. По данным этой работы дозные распределения в легкоатомных материалах универсальны по форме с 20%−точностью в интервале энергии, по крайней мере, от 25 кэв ( для меньшей энергии расчёты не производились) и до 2÷3 Мэв. Впрочем, истинные распределения для легкоатомных материалов, как было показано выше, заметно отличаются от вычисленных с использованием модели непрерывного замедления, ввиду чего

вданном случае, по−видимому, следует отдать предпочтение экспериментальным доказательствам.

Рассмотрим случай / / когда на плоской поверхности полубесконечного образцанаходитсябесконечноширокийтонкийизотропныйисточникэлектро-

нов с энергией Ei. Считая, что с единицы площади источника эмитируется 1 электрон в единицу времени, мы запишем создаваемое этим источником одномерное дозное распределение (Х− глубина под поверхностью) в виде:

æ (x, Ei)=		tg
Что с учётом (4) и (5) перепишется	как:
æ (x, Ei)≈ Ι (Ei)Ι[1+Δ(Ei)]		(7)

Ввиду слабой зависимости множителя /I+Δ(Ei, θ)/ от угла падения θ для легкоатомных материалов, соответствующее среднее значение вынесено в (7) из под интеграла. Для определения њ (Х, Е) необходимо в соответствии с (7), рассчитать интеграл:

275

Ψ(r) =

ƒ θ)tg θdθ = F(z)

Вычисление функции F(z) было проведено путём численного интегрирования, причём в качестве f (z, θ) был взят набор глубинных доз распределений, полученныйнаосновеизмеренийсмононаправленнымиэлектроннымипучками, аналогичных измерениям описанным в /15/. Интеграл (8) при всех z>0 получается конечным из−за быстрого убывания функции f (z, θ) при θ→π/2 и при z>0. Как видно из (8), функция F (z) универсальна по крайней мере не в меньшей степени, чем подинтегральная функция f. График функции F (z) приведён в / / (рис. ) и / / (рис. ). В диапазоне z от 0,1 до 0,4 F (z) удовлетворительно аппроксимируетсяпрямой2,06−3,08z,апри0,7≤z≤0,95−экспонентой405е-11z.

Расчёт функции точечного источника бета−излучения.

Расчёт по методу “единых дозовых функций”.

Как уже отмечалось выше значения функций Ψ(r) для бета−спектров любой формы и для любых расстояний r от источника можно рассчитать суммируя (интегрируя) по спектру дозные распределения для отдельных моноэнергетических линий:

Здесь αi−доля данной монолиинии в спектре и

Ψ i−распределение поглощённой энергии для изотропного источника моноэнергетических электронов с энергией Ei.

ОсновойдлятакогорасчётаявляютсяфункцииΨi.Вышебылопоказано,что в подобных расчётах предпочтительнее использовать так называемый метод единых дозовых функций /ЕДФ/.

В работах / / было найдено дозное поле от тонкого плоского изотропно источника, лежащего на границе полубесконечной среды. Представим себе теперь, что плоский бесконечно тонкий и широкий изотропный источник электронов с энергией Ei находится внутри безграничного тканеэквивалентного материала. Обозначим создаваемое этим источником одномерное дозное распределение как Љ∞(xi,E i). Функция Љ∞ отличается от Љ (xi,E i) тем, что последнее соответствует пустому верхнему полупространству, в то время как распределение Љ∞ соответствует случаю, когда над источником находится слой материала, рассеивающего излучение.

Электроны, испытавшие обратное рассеяние от лекгоатомного материала, лежащего над источником, обладают сравнительно низкой энергией ( в среднем около 0,3 Еi ), поэтому функции Љ∞ и Љ могут различаться между собой лишь при малых расстояниях Х от источника, а при больших Х должны практически совпадать.

Функция Љ∞ и интересующая нас функция Ψ(r, Еi) связаны соотношением:

276

4 r2Ψ(r,Ei)=W(r,Ei)≈Ι (Ei)Ι

Сигнальный экземпляр

Ψ(r, Ei)=− ·		(9)
(вывод ф-лы см. на стр. 23)

В области больших r æ∞(x, Еi), поэтому здесь, учитывая (7)−(9), можно на-
писать	4		r2Ψ(r,Ei)=W(r,Ei)≈−Ι (Ei)Ι[1+Δ(Ei)]z		(10)

Вблизи точечного источника многоэнергетических электронов с энергией Еi, находящегося в однородной легкоатомной среде, в соответствии с доводами, изложенными несколько ниже, должно выполняться условие, аналогичное

(3):

(11)

Построим приближенную составную функцию точечного источника моноэнергетических электронов, определяемую в области малых r соотношением (II), а в области r−соотношением (I0). При этом для простоты предположим, что промежуточная область, в которой не выполняется ни (10), ни (II), вообще отсутствует. Допустимость этого предположения будет обоснована ниже. Перепишем сформулированные условия, приняв для приближенной функции старое обозначение W(r, Ei):

W(r, Ei):
W(r,Ei)=Ι (Ei)Ι при r ≥ r0
W(r,Ei)=−Ι (Ei)Ι[1+Δ(Ei)]z при r≥ r0	(12)

Где r0− точка “сшивки” двух функциональных зависимостей.

Поскольку функция F(z) известна, для определения W( r, Ei) достаточно оценитьΔ(Ei) и r0 (Ei) ( или−вместо r0(Ei)− функцию z0(Ei)=r0/R (Ei)).

НайтиΔ(Ei) и z0(Ei) можно из двух уравнений:

ǡ )dr=Ei			(условие нормировки) (13 а)
−[1+Δ(Ei)]z0		=1	( условие сшивки при z=z0) (13б)
Уравнение (13а) после интегрирования с учётом (12) перейдёт b:
	−[1+Δ(Ei)][F(z0) z0 +			=	( )	(14)

Что, принимая во внимание (13б), можно записать в виде:

277

Z0−	( ) ( ) =				(15)
		(	)
				│ ( ) │ ( )

Cоотношение (15) позволяет найти функцию z0(Ei) и далее, с помощью (13б)−функциюΔ(Ei) .

Вычисление функции Δ(Ei) и z0(Ei) представлены на рис. № 2. Начальные участки кривых ( область энергий ниже 15 кэв) изображены отдельно. Значения ионизационных потерь (Ei) (Ei) (для воды) получены из…..

Нарис№1а,б,вштрих−пунктиромизображеныграфикиполученнойфункцииW(r, Ei) для воды и трёх значений энергии электронов Ei−0,025; 1 и 2 Мэв.

Поосямабсциссотложенорасстояниеотисточникавдоляхпробега,т.е.r/R, по оси ординат−отношение W(r, Ei)/ l (Ei)l.

Штриховые кривые на рис. № 1 а,б,в вычислены в работе /11/для полистирола с использованием приближения непрерывного замедления. Гистограмма (для Ei= I Мэв) построенапо данным работы /13/ ( расчёт методом Монте−Карло для воды, приближение непрерывного замедления). Как видно, полученная намидляслучаягеометрииб)функцияW(r,Ei)отличаетсяотсоответствующих расчетных результатов даже в несколько большей степени, чем различаются межу собой экспериментальные и теоретические дозные кривые, относящиеся к геометрическим условиям а)(рис.№1б). При этом характер различия штрих-пунктирных и штриховых линий на рис.№1а такой же, как у соответствующих кривых рис №1б.

При построении составной функции (12) существенным было выполнение«граничногоусловия»(11).Использованиеэтогоусловия,атакжеаналогичного соотношения (3) (выше), нуждается в обосновании. Обоснование использования «граничного условия» (11) было проведено в работе Радзиевского Г.Б. /10/.

Можно показать, что распределение доз от плоского изотропного источника, находящегося в однородной безграничной среде можно представить в виде:

	(r,Ei)=			(Ei)[1+∆(Ei)] )
				2	)				(16)
	(r,Ei)= (Ei)[1+∆(Ei)]

(φi)= Мэв см /частица ·r – либо энерговыделение в данной точке (Мэв/r) за счетплотностиэмиссии1част./см2,либо,энерговыделениевбесконечномслое толщиной1г/см2 засчетполнойэмиссииоднойчастицы/теоремаобратимости размеров/ : Мэв·1/r·см-2·частица.

Покажем, каким образом, можно по дозному распределению от широкого плоского бесконечно тонкого изотропного источника электронов определить ФТИ – . Мощность дозы в точке А, находящейся на расстоянии Х от плоского источника (см.рис.№3), равна:

278

			( )				( )					Сигнальный экземпляр
Положимудельную												(17)
		поверхностнуюактивность равнойединице,например,
1мкюри.см-2. Так как r2=x2+				и rdr=d, то выражение (15) можно переписать
				( )				( )				(18)
Продифференцируем выражение (18) по Х:
Так как rdr=xdx, то				=			;	(19)
-1	и умножим				левую и правую части равенства на 42 получим
Положим z=rR
				4	2			-2r		=-2z		(20)

Обозначим 4πr 2 ψ(i) - энерговыделение в сферических слоях радиусом r и толщиной равной единице (1г·см-2)- через W(r).

Продифференцировав выражение (15) по z и подставив производную в (20) получим:

W(r, E) = 4	2	; z≤z0; r≤r0=z0R(E)
W(r,E)= 4 2 ) = (1+∆)(−z ); z≥z0; r≥r0			(21)

Для того, чтобы рассчитать ФТИ бета−излучения, Ψ спектр эмиссии данного радиоизотопа разбивали на 20-30 энергетических интервалов. Каждому энергетическому интервалу приписывалось такое значение энергии Ei (энергия монолинии), что вклад в дозу от электронов данного интервала с энергией меньше Ei равнялся вкладу в дозу электронов данного интервала с энергией большей Ei. Для электронов с энергией Ei выражения (21) можно представить в виде:

W(r, Ei)= 4 2 i(r, Ei)= i (Ei) [ 1+∆(Ei)]z z≥z0;
	2
W(r, Ei)= 4 i(r, Ei)= i (Ei) z≥z0;
Ψ(r) =∑	i(r, Ei)

Здесь: αi−весовая доля каждой монолинии в спектре; Ei− энергия монолинии.

Граничные условия для функции Ψ(r) следующие:

1/ Ψ(r)→0 при r→R макс 2/ Ψ(r) 4 2→( ) при r→0

279