5.2. Первая позиционная задача. Построение точек пересечения прямой и поверхности

Задача. Построить точку К пересечения прямой линии общего положения l с плоскостью общего положения Г (рис. 5).

Общая схема решения:

1) заключаем данную линию l во вспомогательную плоскость , обычно проецирующую;

2) определяем линию n пересечения вспомогательной и заданнойГ(АВС) плоскостей;

3) отмечаем точку K пересечения линий l и n, которая является искомой.

В символической записи схема имеет вид: 1) l ∑; 2) =n; 3) l n = К

На основании общей схемы составляем алгоритм решения. Схема преобразуется в алгоритм, если точно указать положение вспомогательной плоскости.

Рис. 5

Алгоритм решения задачи: 1) l ∑ П1 – через прямую l проводим горизонтально проецирующую плоскость ∑; 2) Г ∑ = n (1, 2) – определяем прямую n (1, 2) пересечения плоскостей Г и ∑; 3) n (1, 2) l = К – отмечаем точку К пересечения прямых n (1, 2) и l, которая является искомой. Считая, что заданная плоскость Г(АВС) непрозрачна, определим видимость прямой относительно плоскости проекции П1 по горизонтально конкурирующим точкам 1 и 3. Из расположения фронтальных проекций (12 и 32) точек 1 и 3 очевидно, что прямая слева от точки К находится под плоскостью Г(АВС) и, следовательно, невидима относительно П1. Видимость прямой l относительно плоскости проекций П2 определена по горизонтальным проекциям (41 и 51) фронтально конкурирующих точек 4 и 5. Прямая l справа от точки К на П2 видима. В точке К видимость меняется на обратную.

20. Построить точку К пересечения прямой l плоскостью Г(АВС). Определить видимость проекций прямой. Записать алгоритм.	21. Построить точку К пересечения прямой а с плоскостью ∑ (m||n). Определить видимость проекций прямой. Записать алгоритм.
1.________________________ 2.________________________ 3.________________________	1.________________________ 2.________________________ 3.________________________

5.3. Вторая позиционная задача. Построение линии пересечения двух поверхностей

Для построения линии пересечения двух поверхностей (в частности, поверхности с плоскостью), находят отдельные точки, общие для данных поверхностей, и соединяют их в определенном порядке (рис. 6, 7).

Любую точку искомой линии l (MN) пересечения поверхностей Г и Δ определяют по следующей схеме:

1) ∑ Г, ∑ Δ – вводим вспомогательную плоскость ∑(проецирующую или уровня), пересекающие обе заданные.

2) m = ∑ Г, n = ∑ Δ – линии m и n пересечения вспомогательной плоскости ∑ с каждой из заданных поверхностей.

3) М = m n – определяем точку М пересечения линий m и n, которая является искомой.

Точка N определяется по этой же схеме.

При решении конкретной задачи необходимо на основе схемы составить алгоритмы для нахождения опорных и промежуточных точек линии пересечения.

Вспомогательные плоскости (посредники) следует выбирать так, чтобы проекции линии их пересечения с заданной поверхностью были отрезками прямых или окружностями.

Рис. 6 Рис. 7

22. Построить линию k (DE) пересечения двух плоскостей общего положения: а) Г(а, А) и Δ(b, B); б) Г(АВС) и Δ(KLMN).

Записать алгоритм определения точек D и Е.

а)		б)
Определение точки D: 1.__________________ 2.__________________ 3.__________________	Определение точки Е: 1.__________________ 2.__________________ 3.__________________		Определение точки D: 1.__________________ 2.__________________ 3.__________________	Определение точки Е: 1.__________________ 2.__________________ 3.__________________