Добавил:

Neron2017 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Черкасский национальный университет им. Б. Хмельницкого

Предмет:

Комплексный анализ

Файл:

complan_problems

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

17.12.2017

Размер:

730.5 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

2.7. Ряд Лорана, особливi точки

2± полюсом, якщо головна частина лоранiвського розкладу в околi цiй точцi мiстить скiнчену кiлькiсть доданкiв; при цьому limz!a f(z) = 1;

3± сутт¹во особливою точкою, якщо головна частина лоранiвського

розкладу в околi цiй точцi мiстить нескiнчену кiлькiсть доданкiв; при цьому limz!a f(z) íå iñíó¹.

В прикладах 476 484 знайти всi iзольованi особливi точки функцi¨ f(z) та з'ясувати ¨х тип.

476.

f(z) =

cos

¼z

z2 ¡ 1

(

) =

¼ z + 1.

477. f

´.

exp

ctg

478.

f(z) =

sh z

479.

f(z) = ctg z ¡

480. f(z) =		ctg ¼z
480. f(z) =		¼z .						¶	¡ 1¶.
		¼z .
481. f(z) = z µexp					µz
						1
	( ) = sin		¡		¢
482.	f(z) = sin		e1=z				.
483.	f z		3z	¡		3 sin z.
				¡
484.	f(z) = z tg2 z.

В прикладах 485 492 знайти множину точок комплексно¨ множини C; де збiга¹ться зазначений ряд Лорана.

485.

+1 2nzn.

489.

+1 2¡n2zn3.

n=¡1

486.

2¡jnjzn:

490.

n=¡1

® > 0:

487.

1 (z ¡ 1)

491.

n=¡1

ch ®n , äå

n=¡1

n2 + 1

488.

(z ¡

492.

1 2¡n2(z + 1)n.

+ 1 .

n=¡1 2¡n

n=¡1

В прикладах 493 509 розкласти функцiю f(z) в ряд Лорана по сте-

пенях (z ¡ a) â êiëüöi V .

493. f(z) =

, êiëüöå

êiëüöå V (0; 1; 2), точка a = 0.

(z + 1)(z ¡ 2)

V (0; 1; 2), точка a = 0.

496. f(z) =

, êiëü-

(z ¡ 1)2(z + 2)

494. f(z)

öå V (0; 1; 2), точка a = 0.

(z2 ¡ 1)2(z2

+ 4),

êiëüöå V (0; 1; 2), точка a = 0.

497. f(z) =

495. f(z)

(z2 + 1)(z + 2)

, êiëüöå

V (0; 1; 2), точка a = 0.

(z2 + 1)2(z2

¡ 4),

498. f(z) =					z4 + 1
498. f(z) =		(z ¡ 1)(z + 2), êiëüöå
V (0; 1; 2), точка a = 0.
499. f(z) =					z2 + 1
499. f(z) =	(z + 1)2(z2 + 4)							, êiëü-
öå V (0; 1; 2), точка a = 0.
500. f(z) =						1
								, êiëü-
		(z2 + 1)(z + 2)2						, êiëü-
öå V (0; 1; 2), точка a = 0.
501. f(z) =						1

					z(z ¡ 3)2 , êiëüöå
					z(z ¡ 3)2 , êiëüöå
V (1; 1; 2), точка a = 1.
502. f(z) =						1

				z (z ¡3		1) (z ¡ 2), òî-
÷êà a = 0, ÿêùî ¡2						2 V .
503. f(z) =			z2 ¡ 1				a = 1,
503. f(z) =			z2 + 1, точка				a = 1,
ÿêùî 2i 2 V .			z2 + 1, точка
ÿêùî 2i 2 V .

Глава 2. Аналiтичнi функцi¨

504.

f(z) =

z2(z2 ¡ 9)

êiëüöå

V (1; 1; 2), точка a = 1.

505.

f(z) =

(z + 1) (z ¡ 2), êiëüöå

V (¡1; 0; 3), точка a = ¡1.

506.

f(z) =

(z2 ¡ 1) (z2 + 4)

, êiëü-

öå V

= (0; 2; 1), точка a = 0.

507. f(z) =

z + i

a = i,

, точка

ÿêùî ¡i 2 V .

508.

f(z) =

a = 1,

ÿêùî ¡1 2 V .z2 ¡ 2i, точка

509.

f(z) =

(z2 ¡ 1)(z2 + 4)

, òî-

÷êà a = 1, ÿêùî ¡1 2 V .

В прикладах 510 519 знайти ряд Лорана для функцi¨ f(z) â êiëüöi

V (a; r; R) представивши цю функцiю у виглядi f(z) = f1(z)f2(z), де функцiя f1(z) аналiтична в областi jz ¡ aj < R, а функцiя f2(z) аналiтична в областi jz ¡ aj > r.

510. f(z) = z3e1=z, де точка a = 0,

0 < jzj < 1.			µ¼			z			¶, äå òî-
511.	f(z) = z2 sin		µ¼			z			¶, äå òî-
					z + 1
÷êà a = 0, 0		< jzj < 1.
512.	f(z) = z3 cos µ			1				¶, äå òî-
512.	f(z) = z3 cos µ			z			2	¶, äå òî-
						¡
÷êà a = 2, 0		< jz ¡ 2j < 1.
513.	f(z) = z2 sin		µ¼			z				¶, äå òî-
						z + 1

÷êà a = 0, 0 < jzj < 1.

514. f(z) = z(1 ¡ z), де точка a =

0, 0 < jzj < 1.

515.	f(z) = z(z		¡+¡1)¢, де точка
		exp	1
		exp			z 1
a = 1, 1 < jz ¡ 1j < 2.
516.	f(z) = exp ·2 µz ¡ z ¶¸, äå
				t		1
точка a = 0, 0 < jzj < 1.
517.	f(z) = ez ln				z ¡ ®
517.	f(z) = ez ln				z ¡ ¯ ,де точка
					z ¡ ¯ ,де точка
a = 0, max(j®j; j¯j) < jzj < 1.
518.	f(z) = z exp		µz ¡ 1			¶, äå òî-
	1		1
÷êà a = 1, 0 < jz ¡ 1j < 1.
519.	f(z) = z ¡ i exp µz					¶, äå òî-
	1		3

÷êà a = 0, 0 < jzj < 1.

2.8. Обчислення лишкiв

В прикладах 520 528 для функцi¨ f(z) знайти головну частину ряду Лорана в околi точки z0 та з'ясувати тип цi¹¨ точки.

520. f(z) = ctg ¼z, де точка z0 =

0; §1; §2; : : :.

521. f(z) = sin ¼z , де точка z0 =

0; §1; §2; : : :.

522. f(z) = (z2 + b2)2 , де точка

z0 = ib.

523.	f(z)	=		zeiz
			(z2 + b2)2			,	äå	точка
z0 = ib, b > 0.				(z2	+ 1)2
524.	f(z)	=
				z2	+ b2 ,		äå	точка

z0 = 1.

eiz

525. f(z) = z2 + b2 , де точка z0 =

ib, b > 0.

z ¡ 1

526. f(z) = sin2 z, де точка z0 = 0.

ez + 1

527. f(z) = ez ¡ 1, де точка z0 =

0; §2¼i; §4¼i; : : :.

528. f(z) = (z + 2)2 , де точка

z0 = ¡2.

Ÿ2.8. Обчислення лишкiв

Лишком функцi¨ f(z) в iзольованiй особливiй точцi a назива¹ться

число	1
res f(z) =	1	f(z)dz;
res f(z) =	2¼i	f(z)dz;
z=a	2¼i	Z
		C

äå C довiльна кусково-гладка жорданова крива, що знаходиться в областi аналiтичностi f(z) i охоплю¹ a, причому контур C разом iз областю,

яку вiн охоплю¹, не мiстить iнших особливих точок, крiм a. Значення

лишка може бути легко пiдраховано, якщо розкласти функцiю в ряд Лорана: лишок функцi¨ f(z) â ñêií÷åíié òî÷öi a äîðiâíþ¹ êîåôiöi¹íòó ïðè

1=(z ¡ a) в лоранiвському розкладi f(z) â îêîëi a:

res f(z) = c¡1:

z=a

Основнi формули обчислення лишкiв в iзольованих особливих точках: 1± усувнiй особливий точкi, або точцi аналiтичностi, лишок дорiвню¹

нулевi.

2± в простому полюсi

res f(z) = lim(z ¡ a)f(z);

z=a z!a

Зокрема, нехай f(z) = Á(z)=Ã(z), äå Á; Ã 2 A(U(a; ")), причому Á(a) 6= 0, Ã(a) = 0 òà Ã0(a) =6 0, тобто функцiя f(z) ìà¹ â a простий полюс,

òîäi

Глава 2. Аналiтичнi функцi¨

res	Á(z)	=		Á(a)	:
			Ã0(a)
z=a Ã(z)

3± в полюсi n го порядку

res f(z) =	1	lim	dn¡1	³	(z	¡	a)nf(z) ;

z=a	(n ¡ 1)! z!a dzn¡1						´

Зокрема, нехай f(z) = Á(z)=(z¡a)n, äå Á 2 A(U(a; ")), причому Á(a) =6 0, òîäi

res	Á(z)	=	Á(n¡1)(a)		;
				(n ¡ 1)!
z=a (z ¡ a)n

4± в сутт¹во особливiй точцi використову¹ться тiлькi така формула

res f(z) = c¡1:

z=a

Лишком функцi¨ f(z) в нескiнченно вiддаленiй точцi z = 1 ¹ число

res f(z) =	1	f(z)dz;
res f(z) =	2¼i	f(z)dz;
z=1	2¼i	Z
		°¡

äå °¡ êîëî jzj =

никовою стрiлкою З цього означення

R досить великого радiуса, що обходиться за годин-

(òàê ùî îêië 1 обходиться в додатньому напрямку). випливатиме, що

res f(z) = ¡c¡1:

z=1

В прикладах 529 551 обчислити лишок функцi¨ в зазначенiй точцi.

529.	res	exp(z2)
529.	res		z2n+1 .
	z=0		z2n+1 .
530. res z			1

			exp µz ¡ 1
	z=1		exp µz ¡ 1
531.	res z2 sin(¼=z).
	z=1
532.	res zn exp(a=z).
533.	z=1			cos z
	res			cos z


	z=¼=4 z ¡ (¼=4).

534. res

z=1 (z ¡ 1)2 .

535.	res e1=z.
	z=1	sin z
536.	res	sin z

			z2 .
	z=1		z2 .
537.	res	z4 + 1
537.	res
	z=1 z6 ¡ 1.				2z	¶.
	z=1	µ			2z	¶.
538.	res cos ¼			z + 2
538.	res cos ¼
539.	res z cos2(¼=z).
	z=1		sin(1=z)
540.	res		sin(1=z)

			z ¡ 1 .
	z=1		z ¡ 1 .

541.

542.

543.

544.

res

z=1

res

z=0

res

z=0

res

z=0

cos2(¼=z)

z + 1 .

zn¡1

sinn z , äå n 2

sin 3z ¡ 3 sin z sin z(sin z ¡ z).

tg z ¡ z

(1 ¡ cos z)2 .

2.8. Обчислення лишкiв

zn¡2

545. res shn z , äå n =

z=0

2; 3; : : :.

546. res zn¡3 ctgn z,

z=0

							35
äå n = 2; 3; : : :.				res(z+1)3 exp			1	.
äå n = 2; 3; : : :.			549.				1
547. res	1	2 .	549.			z ¡ 1
	z			z=1
z=0 ch z ¡ 1 ¡ 2z			550.	res ez ln	z ¡ ®
z=0 ch z ¡ 1 ¡ 2z			550.	res ez ln	z ¡ ¯ .
548. res ln	z ¡ 1			z=1
548. res ln	z + 1.			z=1
z=1
z=1

551. res

(z10 + 1) cos(1=z)

(z5 + 2)(z6 ¡ 1) .

z=1

В прикладах 552 573 обчислити лишкi функцi¨ f(z) в усiх особливих

точках z 2

552. f(z) =

2 N

568. f(z

)

sin z2

1 + z

560. f(z) = cth2(¼z):

553. f(z) =

sin ¼z

561. f(z) =

z6(z2 + 4)

(z ¡ 1)3

z + z3

569. f(z)

554.

562. f(z) = th z:

1 + z2n

f(z) =

ez + 1

, äå a 6= 0,

zn(z

cos z

563. f(z) =

555. f(z) =

1 + z4

n = 1; 2; : : :.

(z ¡ 1)2 .

556. f(z)

564. f(z) =

570. f(z)

(sin z)(sin(1=z)).

(1 + z)3

565. f(z) = ctg ¼z.

cos z

571. f(z) =

+ 1)(z ¡ 1)

566.

f(z)

(z2 + 1)2

557. f(z) =

572. f(z)

(z2 + 1)3

558. f(z) =

z6(z ¡ 2).

1 + z8

cos z ch z.

567. f(z)

z4(z4 + 1)

sin ¼z .

1 + z8

559. f(z) =

z2n

573. f(z) =

sin z

(z + 2)

(z2 + 1)2 .

(z ¡ 1)

n ,

Глава 3

Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй

Ÿ3.1. Обчислення iнтегралiв по замкнених контурах за допомогою лишкiв

Застосування лишкiвS базу¹ться на теоремi про лишки: нехай функцiя f(z) 2 A (D n k zk), äå k = 1; n < 1. Òîäi

Z	n
	X
f(z)dz = 2¼i	res f(z):
@D	k=1 z=zk2D
@D

Якщо функцiя f(z) аналiтична на розширенiй комплекснiй площинi всю-			¢,
äå k = 1; n < 1, тодi повна сума лишкiв рiвна нулевi:		f(z) 2 A ¡C n Sk zk	¢,
ду, крiм скiнчено¨ кiлькостi iзольованих особливих точок,
n
X res f(z) + res f(z) = 0:
k=1 z=zk	z=1

В прикладах 574 615 обчислити iнтеграл I вздовж межi областi D.

Rdz

574.I = @D 1 + z4 , область D =

fz : jz ¡ 1j < 1g.

D = z : ReRz > 0; z¡< 2 .

575. I

z2dz

область

@D sin ¼z

576. I

D =

R : z

i < 2

(z ¡ 1)2(z2 + 1)

dz,

область

j ¡

¡ j

D = z : Re zR> 0; z < 5=2 .

577. I

zdz

@D cos ¼z + 1,

область

j j

578. I

sin z

dz,

область

(z + 1)3

= ©

ª.

x; y

R2=3

+ y

2=3

< 2

z : z < 2;RIm z > 0 .

579. I

область D =

+ i,

j j

область D =

Rz : z > 4 .

580. I

exp µ

¶dz,

z + 3

j j

D = z : z R> 1=8; z < 8 .

581. I

zdz

z4 + 5z2 + 4,

область

3.1. Обчислення iнтегралiв по замкнених контурах за допомогою лишкiв

exp µ

¶dz

582. I

@D (z2 ¡ 1)2(z ¡ 3)2 ,

область D =

z R: 2 <

< 4

583. I

tg zdz,

область

D =

z :

Re z

Im z

< 1;

¼;

584. I

exp

dz,

@D z + 1

область D =

z :Rz

< 2

585. I

(z + 1)2dz

(sin ¼z)3 ,

область

D =

z :

z +R1

< 1=2 .

586. I

@D z3(z10 ¡ 2),

область

= f

: j

j R

587. I

z sin2(1=z)dz, область

D = fz : jzj < 1=3g.

Rz3dz

588.I = @D z4 ¡ 1, область D =

fz : jzj < 2g.

z : z > 7R.

sin2 z

dz, область D =

589. I =

f j

z R: z < 3 .

область D =

590. I

z2 sin2(1=z)

dz,

@D (z ¡ 1)(z ¡ 2)

D = z : R

j j

z > 0; Im z > 0; z < 2

591. I

@D z3(2z5 ¡ 64i), область

j j g

592. I

sin

dz,

область

z + 1

D =

z :

D =

z : z

3 2

593. I

(z2 + 1)dz

(z + i)2 ,

область

R	¡
594. I =	z sin	z + 1	dz, область
@D	z 1

D = fz : jzj < 2g.

область D =

z :

R z > 0;

z > 0; z <

595. I

@D (z2 ¡ 4z + 5)2 ,

j j

D = z : z

R1 > 1¡.

596. I

sin

dz,

область

a >

Rобласть

597. I

dz,

äå

+ a )

fz : Im z < 0; jzj < 3ag.

598. I

@D exp µ

область D =

z :Rz

2 + z + 2 < 6 .

j g

R2z ¡ 3

599.I = @D (z2 + ¯2)2 dz, область

D = fz : ¡1 < Re z < 2; 0 <

Im z < 2¯g.

600. I =

z cos

dz, область

z + 1

D = fz : jzj > 2g.

601. I

(z2 + 2z + 10)2 ,

область D =

z : Rz

> 4 .

602. I

sin z

dz,

(z3 ¡ z)(z ¡ i)

область D =

zR:

< 1 .

603. I

2z2 + 4z ¡ 1

dz,

z3(z2 + i)2

область D =

Re Rz >

1=2; Im z >

¡1; jzj < 5g.

ctg z

604. I =

dz, область D =

z : z

> 1 R.

cos4 '

38	Глава 3. Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй

область D =

z : zR < 3

¡.

605. I

cos2 z

z(1

z + z2)2 ,

606. I

e¼z

dz,

область

2z2 ¡ i

D =

z : z

<R1; Re z > 0; Im z > 0 .

z : Rz < 5 .

область D =

607. I

dz,

z2 ¡ 2iz ¡ 2

D =

z : z >R4 .

608. I

dz,

область

ez2

D =

z : z <R4 .

z sin z

609. I

z2 + i9

dz,

область

610. I

dz,

область

ez2

D = fz : jzj < 4g.

Re2z

611.I = @D i ¡ 8z3 dz, область D =

fz : jzj < 1g.

Rdz

612.I = @D 125i + z3 , область D =

fz : Re z > 0; Im z > 0; 4 < jzj < 7g.

613.I = R z2dz D =2

@D ei2¼z

¡ 1, область

z : jzj < [n + (1=2)]1=2

äå n =

0; 1; 2; : : :.

614. I

z + 1

dz,

область

z ¡ 1

D =

z : z

j j

D = z : z +R1 < 1=2 .

615. I

cos z

dz,

область

ln z + i¼

Ÿ3.2. Обчислення простiших визначених iнтегралiв за допомогою теорi¨ лишкiв

Ÿ3.2.1. Iнтеграли вигляду I = R02¼ R(cos '; sin ')d'

Нехай R(x; y) рацiональна функцiя. Тодi

2¼

z=zk

+ z

¡ z

R(cos '; sin ')d' = 2¼

res

;

k=1 z U(0;1)

В прикладах 616 647 обчислити iнтеграл I.

616.

617.

618.

I = R¼

¡¼

I = R¼

¡¼

I = R¼

5 + 3 cos '. d'

13 + 12 sin '.

1 + sin2 'd'.

2¼	cos2 '
619. I = R0		d'.
	13 + 12 cos '

620. I = R¼ ctg(' ¡ia)d', äå a > 0.

621. I = R¼ e2i' ctg(' ¡ ia)d', äå

3.2. Обчислення простiших визначених iнтегралiв. . .

622. I =

sin2 '

2 d', äå

a > 1I. =

1 ¡ 2a cos ' + a2 d' äå

a > 0.

634.

2¼

cos2

¡R¼

j j

a > 1.

1 ¡ 2a cos ' + a

2¼

cos2 3'

623. I =

2a cos ' + a2 d', äå

a = 1.

1 ¡ 2a cos ' + a

2 d' äå

sin2

635. I =

1 < a < ¡1R.

j j

2¼

2a cos ' + a2 d', äå

j j

624. I =

636. I =

R02¼1 + a cos ', äå

< 1.

a = 1.

¡R

sin

637.

b < a.I = R0

, äå

0 <

625. I =

2¼

a > 1.

(a + b cos ')2

R2¼

2 , äå 0 <

638. I =

2¼

a + sin ', äå

626. I =

, äå ¡1 < a <

b < a.

(a + b cos ')

a + sin '

2¼

cos2 2'

639. I =

d',

äå jpj < 1.

1 ¡ 2p cos 2' + p

627. I =

¡¼ 1 ¡ 2a cos ' + a2 d', äå

< a < 1

2¼

cos

640.

1¡2a cos '+a2 d', äå ¡1 <

1 ¡ 2p cos 2' + p

2 d'

628. I =

äå

p > 1.

a < 1, n =¡R0;

cos n'

I =

1; 2; : : :.

j j

2¼

cos2 2'

d',

629. I =

d', äå

1 ¡ 2p cos 2' + p2

¼ 1

2a sin ' + a2

äå

= 1.

1 < a < ¡1R, n

¡= 1; 2; : : :.

j j

sin n'

641. I =

630. I =

¼ (15 + 4 cos ' cos n'd',

b < a.I =

(a + b cos ')3 , äå

0 <

+ 2 cos ')n

642.

2¼

äå n = 0; 1¡R; 2; : : :.

2¼

cos 2'd'

631. I =

sin ' ¡ sin a

ein'd'

, a.

0 < b <

a + b cos ', äå

cos2 '

cos2 a

643. I =

2¼

d',

2¼

a cos ' + b, äå 0 < a <

632. I =

cos2 3'

I = R0

äå 0 < a <R¼=2, n = 1; 2; 3 : : :.

644.

sin 2'd'

äå 0 < p < 1.R0

1 ¡ 2p cos 2' + p2

645.

2¼

sin2 'd'

b < a.I =

, äå

0 <

633. I

2¼

cos2 3'

äå

(a + b cos ')2

< 1. = R0

1 ¡ 2a cos ' + a2 d'

646. I =

cos2 'd'

0 < a < 1.

j j

R0 1 ¡ a sin2 ',

40	Глава 3.	Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй
647. I = R0	1 ¡ a sin2 ', 0 < a < 1.
¼	cos2 'd'	R


Нехай функцiя f(z)			f(z)
Ÿ3.2.2.	Iнтеграли вигляду I =		R f(x)dx

мероморфна на верхнiй пiвплощинi,	2

M(C+), мiстить лише скiнчену кiлькiсть полюсiв, не ма¹ особливих точок на дiйснiй вiсi та задовольня¹ оцiнку

	jf(z)j z	·		1	; ± > 0:
	jf(z)j z	·	z	1+±	; ± > 0:
		!1 j		j
Òîäi
	f(x)dx = 2¼i					res f(z)
	Z			zk		C+ z=zk
	R			2
				X

Припустимо, що пiдiнтегральна функцiя ма¹ полюси на дiйснiй вiсi в точках x = xk. Тодi iнтеграл розбiга¹ться. Але в цьому випадку може

збiгатися його головне значення в сенсi Кошi. Нехай функцiя f(z) 2

M(C+), що ма¹ лише скiнчену кiлькiсть полюсiв, задовольня¹ оцiнку jf(z)j · jzj11+± ïðè z ! 1, äå ± > 0. Òîäi

?	X	X
f(x)dx = 2¼i	res f(z) + ¼i	res f(z);
	z=zk	z=xk
R	zk2C+	xk2R

В прикладах 648 696 обчислити iнтеграл I.

2			R .
648. I =		1			dx
648. I =		¡1		(x2	+ px + q)3 , äå
				(x2	+ px + q)3 , äå

¢ = p ¡ 4q < 0
	R		2x + 1
	1		2x + 1
649. I =			x6 + i		dx.
	¡1
	R			dx
	1			dx
650. I =			x4 + 5x2 + 5			dx.
	¡1
	R				dx
	1				dx
651. I =
	¡1	(x2 + a2)2(x2 + b2), äå
a > 0, b > 0.
	R				dx
	1				dx
652. I =
	¡1		(x2 + a2)3(x2 + b2), äå

a > 0, b > 0.

2)dx

653. I =

¡1

x4 + 3x2 + 2.

654. I =

(x ¡ 1)x

dx.

¡1

2x2 + 2

655. I =

äå a > 0,

(x2

+ a2)n

¡1

n = 1; 2; : : :.R

(2x + 1)2

656. I =

dx.

¡1

+ 2x + 10)

äå a > 0.

657. I =

¡1

(x2

2x + 5)(x2 + a2)2 ,

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Комплексный анализ

#
17.12.2017730.5 Кб18complan_problems.pdf
#
17.12.2017736.67 Кб16complan_taskbook_1.pdf
#
17.12.20171.93 Mб62Елементи комплексного аналізу Босовський Демченко.pdf