complan_problems
.pdf
3.6. Перетворення Лапласа. Операцiйне числення |
51 |
806. Показати, що функцiя
w = f(z) = |
Z |
(1 ¡ z5)4=5 dz |
|
z |
(1 + z5)2=5 |
|
1 |
|
вiдобража¹ конформно круг jzj < 1 в зiрку з вершинами
Ak = Ae{2¼k=5; Bk = Be{¼(2k+1)=5; k = 1; 2; : : : ; 5;
äå
1 |
(1 + t5)4=5 |
|
Z0 |
1 |
(1 ¡ z5)2=5 |
|
|
A = |
dt B = |
|
dt: |
||||
|
|
||||||
Z0 |
(1 ¡ t5)2=5 |
|
(1 + z5)4=5 |
||||
807. Показати, що функцiя Шварца-Христоффеля ¹ розв'язком лiнiйного диференцiального рiвняння з рацiональними коефiцi¹нтами
w00 = ÃXn ®k ¡ 1!w:
k=1 z ¡ ak
Ÿ3.6. Перетворення Лапласа. Операцiйне числення
Перетворенням Лапласа функцi¨ дiйсно¨ змiнно¨ f(t) (функцi¨ оригi-
нал) називають функцiю F (p) комплексно¨ змiнно¨ p = s + i¾ (функцiю зображення)
F (p) = |
Z |
f(t)e¡ptdt; |
f(t) = |
Z |
F (p)eptdp: |
|
1 |
|
|
a+i1 |
|
|
0 |
|
|
a¡i1 |
|
Зв'язок мiж зображенням i оригiналом позначатимемо:
f(t) : F (p) àáî F (p) : f(t):
Основнi властивостi перетворення Лапласа:
1±
2±
3±
Ëiíiéíiñòü: ®f(t) + ¯g(t) : ®F (p) + ¯G(p).
Ïîäiáíiñòü: f(®t) : F (p=®)
® .
Запiзнення: f(t ¡ ¿) : e¡p¿ F (p).
52
4±
5±
Глава 3. Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй
Çñóâ: ep0tf(t) : F (p ¡ p0).
Згортка: F (p)G(p) : Rt f(¿)g(t ¡ ¿)d¿.
0
6±
7±
8±
9±
Диференцiювання оригiнала: f0(t) : pF (p) ¡ f(0). Диференцiювання зображення: F (n)(p) : (¡1)ntnf(t).
Iнтегрування оригiнала: Rt f(t)dt : F (p)
0
p .
Iнтегрування зображення: f(t) : R1F (p)dp.
t p
Âприкладах 808 821 довести певнi спiввiдношення мiж оригiналом i зображенням функцi¨.
808. xa : |
¡(a + 1) |
a > ¡1. |
pa+1 , äå |
809. e¡¸x : p +1 ¸.
810. xae¡¸x : ¡(a + 1)
(p + ¸)(a+1)
!
811. sin !x : p2 + !2 .
p
812. cos !x : p2 + !2 .
813. e¡¸x sin(!x + ®) : ! cos ® + (p + ¸) sin ®:
814. e¡¸x cos(!x + ®) :
(p + ¸) cos ® ¡ ! sin ®: (p + ¸)2 + !2
815. |
|
e¡®x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
p |
|
|
: p |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
¼x |
p + ® |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
exp(¡®4x2 ) |
|
|
|
|
exp(¡®p |
|
) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
816. |
|
|
: |
p |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
¼x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
¡ |
|
|
: |
|
|
|
2 |
|
p |
¡ |
|||||||||||||||||||||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
4®2 2 |
|
h |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
¼ |
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|||||
817. e ® |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
exp( |
|
|
|
|
) 1 |
|
|||||||||||||
¡ |
|
¢ |
i, äå © (z) = p2¼ |
R |
|
e¡t dt. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
© |
2® |
|
|
0 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
818. |
|
1 |
(ebt |
¡ |
eat) |
: |
ln |
p ¡ a |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
¡ |
b . |
|
|
|
|||||||||||||||
819. |
sh !x : |
|
|
|
|
|
! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
p |
2 |
¡ ! |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
820. ch !x : |
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
p |
2 |
¡ ! |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
821. |
f(0)g(x) + Rx f0(y)g(x ¡y)dy : |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0
pF (p)G(p).
В прикладах 822 828 методом перетворення Лапласа розв'язати задачi Кошi для звичайних диференцiальних рiвнянь.
y(IV ) + 2y(II) + y = sin x, äå y(0) = y(I)(0) = y(II)(0) = y(III)(0) = 0. y(III) + y = 1, äå y(0) = y(I)(0) = y(II)(0) = 0.
y(III) + 3y(II) + 3y(I) + y = 1, äå y(0) = y(I)(0) = y(II)(0) = 0.
3.6. Перетворення Лапласа. Операцiйне числення |
53 |
825. y(II) + a2y = b cos ax, äå y(0) = y0, y(I)(0) = y1.
826. y(II) + 10y(I) + 74y = 28 sin 4t; äå y(0) = 0, y(I)(0) = 2.
827. |
(2x(II) ¡ x(I) + 9x) ¡ (y(II) + y(I) + 3y) = 0; |
äå |
x(0) |
= x(I)(0) = 1, |
|
½(2x(II) + x(I) + 7x) ¡ (y(II) ¡ y(I) + 5y) = 0; |
|
|
|||
y(0) = y(I)(0) = 0. |
|
|
|
||
|
x(II) |
x y + z = 0; |
|
|
|
828. |
8x + y¡(II) + y + z = 0; äå x(0) = 1, x(I)(0) = 0, y(0) |
= 0, y(I)(0) = |
|||
|
<x + y + z¡(II) ¡ z = 0; |
|
|
|
|
0, z(0):= 0, z(I)(0) = 0. |
|
|
|
||
В прикладах 829 833 методом перетворення Лапласа розв'язати задачi Кошi для рiзницевих рiвнянь рiвнянь.
829. y(t + 2) = y(t + 1) + y(t), äå y(0) = 0, y(1) = 1. r
830. f(t + 4) + 2f(t + 3) + 3f(t + 2) + 2f(t + 1) + f(t) = 0, äå f(0) = 0, f(1) = 0, f(2) = 1, f(3) = 0
831. f(t + 3) ¡ 3f(t + 2) |
+ 3f(t + 1) ¡ f(t) = 0, äå |
f(0) = 0, f(1) = 0, |
||
f(2) |
= 1 |
|
|
|
832. |
f(t + 4) ¡ |
25f(t + 3) |
+ 25f(t + 1) ¡ f(t) = 1, äå |
f(0) = 0, f(1) = 11, |
f(2) |
= ¡8, f(3) = 6. |
|
|
|
833. |
f(t + 2) + f(t + 1) + f(t) = 0, äå f(0) = 1, f(1) = ¡1 |
|||
В прикладах 834 836 методом перетворення Лапласа розв'язати iн- |
||||
тегральне рiвняння. |
|
|
||
834. f(t) + ¸ R0 |
f(s)e®(t¡s)ds = g(t). |
|
||
|
t |
|
|
|
835. f(t) + ¸ Rt f(s)
0
sin !(t ¡ s)ds = g(t).
836. f(t) + ¸ Rt f(s)
0
cos !(t ¡ s)ds = g(t).
В прикладах 837 837 методом перетворення Лапласа розв'язати iнтегро диференцiальнi рiвняння.
837. 2y(I)(t) + 3y(t) + ¸ Rt y(s)e®(t¡s)ds = a + bt.
0
В прикладах 838 839 методом перетворення Лапласа розв'язати за- |
|||||
дачу для рiвняння з частинними похiдними |
|||||
838. |
|
|
|
utt = a2uxx; 0 < x < l; t > 0; |
|
|
|
||||
|
|
|
u(x; 0) = 0; |
ut(x; 0) = ¡v0; |
|
|
|
|
|
u(0; t) = 0; |
ux(l; t) = 0: |
54 |
|
|
|
Глава 3. Застосування теорi¨ аналiтичних функцiй |
|
839. |
vxx ¡ |
1 |
vt = 0; |
a < x < b; |
t > 0; |
{ |
|||||
|
v(x; 0) = v0(x); v(x; a) = v1(t); v(b; t) = v2(t): |
|
|||
В прикладах 840 842 методом перетворення Лапласа розв'язати наступнi рiвняння.
840. y(I)(t) + 2y(t) + y(t + 1) + 3 Rt y(s)e2(t¡s)ds = 1 + t.
0
841. 2y(I)(t) + y(t + 1) + 3 Rt y(s) sin(t ¡ s)ds = 4t.
0
842. y(t) + 3y(t + 1) + 5 Rt y(s)e(t¡s)ds = 4 + t2.
0
Рекомендована лiтература
[1] Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. Москва: Наука, 1970. 320 с.
[2] Гюнтер Н. М., Кузьмин Р. О. Сборник задач по высшей математике. Т.III. М. Л.: ГИТТЛ, 1951. 268 с.
[3] Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. 5-å изд. Москва: Наука, 1987. 688 с.
[4] Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного переменного. 14-е изд. Москва: Высшая школа, 1999. 432 с.
[5] Сборник задач по теории аналитических функций / М. А. Евграфов, К. А. Бежанов, Ю. В. Сидоров и др. Москва: Наука, 1972. 416 с.
[6] Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. Москва: Наука, 1979. 320 с.
[7] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. 3-е изд. Москва: Наука, 1985. Т. Ч.1. Функции одного переменного. 336 с.
[8] Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. 3-е изд. Москва: Наука, 1985. Т. Ч.2. Функции нескольких переменных. 464 с.
[9] Шабунин М. И., Сидоров Ю. В. Теория функций комплексного переменного. 1-е изд. Москва: Юнимедиастайл, 2002. 248 с.
55
Абетковий покажчик
береги розрiзу, 11 формула
Ãðiíà, 46
Кошi iнтегральна, 26 функцiя
Грiна, 45джерела, 45
гармонiчна, 19 спряжена, 19
комплексно¨ змiнно¨, 10 багатозначна, 11, 12
диференцiйовна, 15нескiнченозначна, 12
однолистна, 11однозначна, 11похiдна Кошi, 15
узагальнена показникова функцiя, 13
узагальнена степенева функцiя, 13вза¹мно однозначна, 11
гомотопiчна еквiвалентнiсть, 11 гомотопi¨, 11
iнтеграл, 22
головне значення, 40 коефiцi¹нт лiнiйного розтягування, 16 комплексна площина, 6 комплексне спряження, 4
комплекснi числа, 4аргумент, 4
геометрична iнтерпретацiя, 6матрична iнтерпретацiя, 7модуль, 4показникова форма, 4
тригонометрiна форма, 4 крива, 11
напрямок, 11проста, 11
точка самоперетину, 11замкнена, 11жорданова, 11
кут повороту криво¨, 16 лишок, 33 множина визначення, 10
множина значень, 10 областi, 11
межа, 11напрямок обходу, 11
замикання, 11замкненi, 11
областьбагатозв'язна, 11
обмежена, 12однозв'язна, 11
особлива точка
iзольована, 30 полюс, 31
сутт¹во особлива, 31усувна, 30
перетворення
Меллiна, 44 рiвняння Лапласа, 19 розрiз, 11
ðÿä Тейлора, 29 умови
Кошi Рiмана, 15 уявна одиниця, i, 4
вiдображення
конформне, 16, 47
56
Навчальне видання
Бiлоколос ™вген Дмитрович Шека Денис Дмитрович
Збiрник задач з комплексного аналiзу
Навчальний посiбник для студентiв природничих факультетiв
Оригiнал-макет виготовлено авторами за допомогою видавничого пакету LATEX2e з використанням шрифтiв PSCyr