Bé vi xö lý tiÕn hµnh hiÖu chuÈn tù ®éng sau mét kho¶ng thêi gian ®Þnh kú. Nã sÏ ®o c¸c gi¸ trÞ hÖ sè truyÒn ®¹t cña kªnh tÝn hiÖu vµ thùc hiÖn c¸c ®iÒu chØnh cÇn thiÕt; cho c¸c hÖ sè chØnh vµo khi bÞ yÕu do bé suy gi¶m kh¸c so víi b×nh th−êng; chØnh l¹i c¸c tÇn sè cña bé t¹o ngo¹i sai khi cã sù sai lÖch cña c¸c gi¸ trÞ thùc tÕ cña tÇn sè so víi yªu cÇu ...v.v.

7.3.3 M¸y ph©n tÝch phæ dïng bé vi xö lý víi thuËt to¸n biÕn ®æi nhanh Fourrier

1. Kh¸i qu¸t vÒ biÕn ®æi nhanh Fourrier

BiÕn ®æi nhanh Fourrier lµ mét thuËt to¸n ®Ó tÝnh nhanh hµm biÕn ®æi Fourrier:

			+∞
		S(ω) = ∫x(t )e−jωt .dt			(21)
			−∞
			1	+∞
	vµ	x (t) =		−∫∞S(ω) e jωt .dω	(22)
			2π

víi ω = 2πf lµ tÇn sè gãc

C«ng thøc (21) vµ (22) gäi lµ cÆp biÕn ®æi Fourrier, trong ®ã hµm S(ω) chøa c¶ th«ng tin vÒ phæ cña biªn ®é vµ phæ cña cña pha. Ph©n tÝch phæ b»ng sè dùa trªn viÖc tÝnh to¸n biÕn ®æi rêi r¹c Fourrier.

NÕu ph©n ®iÓm thêi gian th× tÝn hiÖu x(ω) sÏ biÕn thµnh mét tËp hîp c¸c ®iÓm chän rêi r¹c. NÕu nh− viÖc chän ®−îc thùc hiÖn sau mét kho¶ng thêi gian T0 th× ta sÏ cã d·y xt(iT0), ë ®©y i = 0, 1, 2, ..., N-1, ®é dµi lµ: T = NT0.

Ta sÏ cho r»ng hµm xt(iT0) lµ tuÇn hoµn vµ chu kú cña nã lµ T = NT0. Hµm t−¬ng øng víi nã trong vïng tÇn sè lµ S(ω)(k∆f) lµ hµm cña c¸c gi¸ trÞ rêi r¹c tÇn sè k = 0, 1, 2,

	..., N-1, víi ∆f =	1	lµ kho¶ng c¸ch gi÷a c¸c tÇn sè.
		N.T
		0

Hai hµm xt(iT0) vµ S(ω)(k∆f) liªn hÖ víi nhau qua cÆp biÕn ®æi rêi r¹c Fourrier

		N−1				−		j2πik
S(ω) (k∆f ) = T0 ∑ x				(t) (iT0 ).e				N
		i=0
		(iT ) = ∆f N∑−1S					j2πik
x	(t)		(ω)		(k∆f ).e N
		0
		k=0

(23)

(24)

Trong ®ã: T0∆f = 1/N

309

Bëi hµm xt(iT0) ®−îc xem xÐt lµ tuÇn hoµn víi chu kú NT0 th× khi hµm S(ω)(k∆f) biÕn ®æi thµnh hµm xt(iT0) ta cã mét chu kú tÝn hiÖu xt(iT0).

Tõ cÆp biÕn ®æi fourrier (21) vµ (22) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng:

x	(1)	(iT ) = ∆f			+∞∑x[(i +lN)T ]
			0		l=−∞	0
vµ	S		(ω)	(k∆f ) = T		+∞∑S[(k + pN)∆f ]
					0	p=−∞

Tõ (25) vµ (26) th× (23) vµ (24) cã thÓ viÕt d−íi d¹ng:

	1	N−1	−	j2πik
				N
Sk =		∑ x	(i) .e
	N i=0

N−1 j2πik

x(i) = ∆f ∑ Sk .e N

k=0

(25)

(26)

(27)

(28)

trong ®ã: Sk = S(ω)(k∆f). ∆f vµ x(i) = xt(iT0) víi i lµ ®iÓm chän cña d·y (25) mµ mçi chu kú chøa N ®iÓm.

TÝnh to¸n (27) vµ (28) ®ßi hái sè l−îng c¸c phÐp tÝnh rÊt lín. Nã ®ßi hái kho¶ng N2 c¸c phÐp sè häc. (VÝ dô N =1000 th× cÇn 1.000.000 phÐp tÝnh). §Ó rót gän khèi l−îng vµ thêi gian tÝnh ng−êi ta dïng c¸c thuËt to¸n biÕn ®æi nhanh Fourrier (BNF).

D¹ng thuËt to¸n BNF phô thuéc vµo chän sè N. ThuËt to¸n ®¬n gi¶n nhÊt lµ khi N = 2n (n lµ sè nguyªn). Th«ng th−êng theo ®Þnh lý Ka-chen-nhi-cèp th× N cã gi¸ trÞ lín h¬n 2 BL trong ®ã B lµ ®é réng cña phæ tÝn hiÖu x(ω) ®o b»ng Hz, cßn L lµ ®é dµi cña tÝn hiÖu ®o b»ng gi©y (s).

Ta sÏ xem xÐt b¶n chÊt BNF .

BiÓu thøc (27) viÕt d−íi d¹ng:

			1			N−1
Sk	=					∑ x(i) .Wik	(29)
				N i=0
	−	j2π
Trong ®ã W = e			N			vµ j = −1

V× N cã gi¸ trÞ ch½n nªn khi hµm rêi r¹c ho¸ tÝn hiÖu x(ω) th× cã thÓ chia lµm hai d·y ch½n vµ lÎ: x(2i) vµ x(2i+1), trong ®ã i = 0, 1, 2, ..., (N/2 - 1)

Mçi d·y cã N/2 thµnh phÇn.

310

VÝ dô:

Khi N = 23 = 8 ta cã d·y:

x(2i)

→ x(0)

x(2)

x(4)

x(6)

(I)

x(2i+1)

→ x(1)

x(3) x(5)

x(7)

(II)

¸p dông hµm biÕn ®æi rêi r¹c Fourrier víi hai d·y víi N/2 thµnh phÇn.

Theo (29) th×:

N

1

−1

2

SI (k) =

∑ x(2i) .W2ik

(30)

N i=0

N

1

−1

2

SII (k) =

∑ x(2i+1) .W2ik

(31)

N i=0

Trong ®ã: k = 0, 1, 2, ..., (N/2-1)

CÇn ph¶i t×m c¸c gi¸ trÞ cña S(k) víi d·y x(i) cho tr−íc. Bëi v× S(k) bao gåm hai d·y

x(2i) vµ x(2i+1) nªn:

1

N

−1

N

−1

2

2ik

2

2(i+1)k

Sk

=

∑ x(2i) .W

+ ∑ x(2i+1) .W

N

i=0

i=0

1

N

−1

N

−1

2

2ik

k

2

2ik

hay

Sk =

∑ x(2i) .W

+ W

∑ x

(2i+1) .W

N

i=0

i=0

víi 0≤ k ≤ N/2

S

k

= S (k) + WkS (k)

(32)

I

II

Víi nh÷ng gi¸ trÞ N/2≤ k ≤ N th× SI(k) vµ SII(k) sÏ nhËn l¹i nh÷ng gi¸ trÞ sau chu kú

N/2 b»ng nh÷ng gi¸ trÞ víi k<N/2.

Ta cã

Wk+N/2 = Wk.e-jπ = -Wk

nªn

S

k

= S (k) + WkS (k)

(33)

I

II

KÕt hîp (32) vµ (33):

S

(k)

= S (k) + WkS (k)

I

II

311

S(k+N/2) = SI(k) - WkSII(k)

víi 0≤ k ≤ N/2.

VÝ dô: víi N = 8 vµ k =2 th×:

S(2) = SI(2) + W2SII(2)

S(6) = SI(2) - W2SII(2)

Nh− vËy lµ cã thÓ x¸c ®Þnh ®−îc gi¸ trÞ cña hµm S(k) cña d·y x(i) tõ N ®iÓm chän b»ng c¸c hÖ sè cña biÕn ®æi vi ph©n Fourrier d·y x(2i) vµ x(2i+1) víi mçi d·y cã N/2 ®iÓm chän. §Ó tÝnh Sk vµ Sk+N/2 ta chØ cÇn tÝnh SI(k); SII(k); Wk SII(k), tøc lµ N phÐp tÝnh céng vµ N/2 phÐp nh©n víi Wk.

T−¬ng tù nh− thÕ viÖc tÝnh c¸c gi¸ trÞ cña biÕn ®æi vi ph©n Fourrier cña hai d·y x(2i) vµ x(2i+1) sÏ biÕn thµnh viÖc tÝnh c¸c gi¸ trÞ hÖ sè cña biÕn ®æi vi ph©n Fourrier cña bèn d·y víi N/4 ®iÓm chän cho mçi d·y. LÊy vÝ dô trªn (N=8) th× tõ d·y x(2i) ta t¹o hai d·y:

x(0) x(4) (III)

x(2) x(6) (IV)

tõ d·y x(2i+1) ta t¹o:

x(1)

x(5)

(V)

x(3) x(7) (VI)

Trong tr−êng hîp chung N= 2n th× cã n b−íc lµm n = log2N, nh− vËy ®Ó gi¶m bËc tÝnh cña biÕn ®æi vi ph©n Fourrier. Trªn mçi b−íc cÇn N phÐp céng vµ N/2 phÐp nh©n, nªn ®Ó thùc hiÖn xong BNF cÇn n x N phÐp céng vµ (N/2) x n phÐp nh©n. Sè l−îng phÐp tÝnh cÇn lµm lµ: 3/2Nn = 3/2Nvlog2N. B×nh th−êng sè l−îng phÐp tÝnh lµ 2N2, nh− vËy khi dïng BNF cho phÐp ta gi¶m ®−îc:4/3Nlog2N lÇn. VÝ dô: N = 210 = 1024 th× dïng BNF sè l−îng phÐp tÝnh gi¶m h¬n 100 lÇn.

2. S¬ ®å khèi cña m¸y ph©n tÝch

Th«ng th−êng trong c¸c m¸y ph©n tÝch dïng thuËt to¸n BNF th× sè ®iÓm chän th−êng lÊy lµ N = 2n (n lµ sè nguyªn). NÕu n = 10 th× N = 1024, th× BNF lµ biÕn ®æi trong kho¶ng tÇn sè 1024 gi¸ trÞ cña ®iÓm chän rêi r¹c ho¸ theo thêi gian. Ta sÏ nhËn ®−îc trong vïng biÕn ®æi tÇn sè N gi¸ trÞ tæng hîp mµ ph©n bè trªn trôc tÇn sè sau mét qu·ng 1/NT0 (T0 lµ qu·ng c¸ch ®iÓm chän rêi r¹c ho¸ theo thêi gian). §Ó cho dÔ ta xem xÐt nh÷ng phæ n»m trong c¸c phÇn cã gi¸ trÞ d−¬ng cña tÇn sè.

312

Sè l−îng p lµ c¸c bé läc t−¬ng ®−¬ng ®−îc t¹o ra do BNF lµ t−¬ng ®èi lín, vÝ dô nÕu N = 1024 th× p = 400. Bé läc sÏ cã kho¶ng c¸ch d¶i tÇn β = Fpb .

D¶i cho phÐp (gi¸ trÞ cña c¸c tÇn sè biªn thÊp h¬n gi¸ trÞ trung b×nh cña d¶i lµ 3 dB) sÏ lµ; 0,88β trong tr−êng hîp dÞch chØnh tuyÕn tÝnh vµ 1,44 trong tr−êng hîp dÞch chØnh ë “cöa sæ”.

Trªn h×nh 7-36 lµ s¬ ®å khèi cña ph©n tÝch phæ dïng bé vi xö lý ®Ó tÝnh to¸n theo thuËt to¸n BNF, lµm ®−îc c¸c chøc n¨ng ®iÒu khiÓn ®−a th«ng tin vµo bëi bµn phÝm, thÓ hiÖn kÕt qu¶ ph©n tÝch lªn mµn h×nh, .v.v.

Bé vi xö lý (microprocessor) tÝnh to¸n theo ch−¬ng tr×nh l−u trong bé nhí. Trong ®ã bé gi¶i m· cña phÐp tÝnh gi¶i m· kh«ng chØ c¸c lÖnh trong ch−¬ng tr×nh mµ cßn th«ng tin vÒ t×nh tr¹ng c¸c c¬ quan ®iÒu khiÓn bµn phÝm b»ng c¸c ch−¬ng tr×nh kh¸c. §Ó t¨ng nhanh qu¸ tr×nh xö lý trong bé vi xö lý cã c¶ bé nhí cã chøa b¶ng tÝnh l−îng gi¸c. Nã còng ®−îc dïng khi tiÕn hµnh dÞch chØnh ë “cöa sæ”. ViÖc ®ã ®−îc tiÕn hµnh víi nhãm c¸c gi¸ trÞ chän lùa trong vïng thêi gian, cã nghÜa lµ tr−íc khi biÕn ®æi trong vïng

H×nh 7-36

313