sè l−îng xuÊt hiÖn c¸c sai sè ngÉu nhiªn cã trÞ gi¸ n»m trong kho¶ng kh¾c ®é t−¬ng øng trªn trôc hoµnh theo mét tû lÖ nµo ®ã.

Gi¶n ®å nµy cho ta h×nh ¶nh ®¬n gi¶n vÒ sù ph©n bè sai sè, nghÜa lµ quan hÖ gi÷a sè l−îng xuÊt hiÖn c¸c sai sè theo gi¸ trÞ ®é lín cña sai sè.

NÕu tiÕn hµnh ®o nhiÒu lÇn, rÊt nhiÒu lÇn, tøc sè lÇn ®o lµ n→∞, th× theo quy luËt ph©n bè tiªu chuÈn cña lý thuyÕt x¸c suÊt, gi¶n ®å cña ν theo x sÏ tiÕn ®Õn mét ®−êng cong trung b×nh p(x) nh− h×nh vÏ 2-3:

H×nh 2-4

luËt nµy.

limn→∞ν(x)=p(x)

Hµm sè p(x) lµ hµm sè ph©n bè tiªu chuÈn c¸c sai sè, (cßn gäi lµ hµm sè chÝnh t¾c). Gäi lµ hµm sè ph©n bè tiªu chuÈn v× nã biÓu thÞ theo quy luËt ph©n bè tiªu chuÈn. Trong phÇn lín c¸c tr−êng hîp sai sè trong ®o l−êng ®iÖn tö th× thùc tÕ lµ ®Òu thÝch hîp víi quy luËt nµy. RÊt Ýt khi cã tr−êng hîp sö dông quy luËt ph©n bè ®ång ®Òu, quy luËt ph©n bè cung sin hay quy luËt ph©n bè tam gi¸c,..., nªn ta kh«ng ®Ò cËp ®Õn c¸c quy

Hµm sè p(x) cßn gäi lµ hµm sè “Gèt” (Gauss). Nã cã biÓu thøc sau:

p(x) =	h	e	−h2x2
	π		(5)

ë ®©y chØ cã mét th«ng sè h, øng víi c¸c trÞ sè h kh¸c nhau th× ®−êng cong cã d¹ng kh¸c nhau. H×nh 2-4 biÓu thÞ vµi ®−êng cong ph©n bè sai sè øng víi th«ng sè h kh¸c nhau. øng víi ®−êng cã h lín th× ®−êng ®−êng cong hÑp vµ nhän, cã nghÜa lµ

x¸c suÊt c¸c sai sè cã trÞ sè bÐ th× lín h¬n. ThiÕt bÞ ®o l−êng nµo øng víi ®−êng cong cã h lín th× cã ®é chÝnh x¸c cao; khi dïng thiÕt bÞ nµy ®Ó ®o, th× sai sè hay gÆp ph¶i lµ sai sè cã trÞ sè bÐ. Víi ý nghÜa nh− vËy ng−êi ta gäi h lµ th«ng sè ®o chÝnh x¸c.

2.2.2 HÖ qu¶ cña sù nghiªn cøu hµm mËt ®é ph©n bè sai sè

Tõ hµm ph©n bè cña sai sè, ta rót ra hai nhËn xÐt vÒ quy t¾c ph©n bè:

a. X¸c suÊt xuÊt hiÖn cña c¸c sai sè cã trÞ sè bÐ th× nhiÒu h¬n x¸c suÊt xuÊt hiÖn c¸c sai sè cã trÞ sè lín. §−êng biÓu diÔn trong tr−êng hîp nµy cã d¹ng h×nh chu«ng.

33

b. X¸c suÊt xuÊt hiÖn sai sè th× kh«ng phô thuéc vµo dÊu, nghÜa lµ c¸c sai sè cã trÞ sè b»ng nhau vÒ trÞ sè tuyÖt ®èi nh−ng kh¸c dÊu nhau, th× cã x¸c suÊt xuÊt hiÖn nh− nhau. §−êng biÓu diÔn trong tr−êng hîp nµy ®èi xøng qua trôc tung.

Víi hµm sè ph©n bè p(x), ta cã thÓ tÝnh ®−îc sè l−îng sai sè n»m trong mét kho¶ng dx gi÷a hai trÞ sè x vµ x+dx nµo ®ã. Ta biÕt r»ng l−îng nµy ph¶i tû lÖ víi p(x), v× p(x) lµ mËt ®é ph©n bè sai sè; ph¶i tû lÖ víi n lµ tæng sè c¸c sai sè (hay cña c¸c lÇn ®o); vµ ph¶i tû lÖ víi dx lµ kho¶ng trÞ sè ®é lín sai sè cÇn tÝnh:

dn =p(x).n.dx

(6)

Chia hai vÕ cña (6) cho n, th× ta cã biÓu thøc vi ph©n x¸c suÊt ph©n bè sai sè:

	dp =	dn	= p(x).dx	(7)
		n

Thay p(x) lµ biÓu thøc (5), ta cã:

dp =	h	e−h2x2 dx	(8)
	π

Cã biÓu thøc vi ph©n nµy, ta cã thÓ t×m ®−îc x¸c suÊt cña c¸c sai sè n»m trong kho¶ng cã trÞ sè nµo ®ã ®· cho tr−íc. VÝ dô, x¸c suÊt xuÊt hiÖn c¸c sai sè trong kho¶ng x1÷x2 th× b»ng:

P(x1	< x < x2 ) =	h	x2	e	−h2x2	dx	(9)
		π	∫x1

TrÞ sè nµy chÝnh lµ diÖn tÝch giíi h¹n bëi ®−êng cong vµ trôc hoµnh víi hai ®−êng cã hoµnh ®é lµ x1 vµ x2 (nh− ®· g¹ch chÐo trong h×nh 2-5).

X¸c suÊt cña c¸c sai sè cã trÞ sè kh«ng v−ît qu¸ mét trÞ sè xi nµo dã cho tr−íc, ®−îc biÓu thÞ b»ng diÖn tÝch g¹ch chÐo trong h×nh 2-6:

P( x

< xi ) =

h

xi

e

−h

2x2

dx =

2h

xi

e

−h

2x2

dx

(10)

π

π ∫0

∫−xi

Cßn x¸c suÊt cña c¸c sai sè cã trÞ sè v−ît qu¸ trÞ sè xi cho tr−íc, chÝnh lµ phÇn diÖn tÝch kh«ng ®−îc g¹ch chÐo cña h×nh 2-6.

P( x > xi ) =			h	∞	e	−h	2x2		dx
			π	∫xi
=	2h	∫0∞ e−h2x2 dx −			2h			∫0xi		e−h2x2 dx	(11)
	π					π

34

Ph©n tÝch phÇn ®Çu cña vÕ ph¶i (11) chÝnh lµ trÞ sè x¸c suÊt sai sè trong kho¶ng tõ -∞ ®Õn +∞. Nã chÝnh lµ sù kiÖn tÊt yÕu, vµ cã trÞ sè b»ng 1. PhÇn tÝch ph©n thø hai chÝnh lµ biÓu thøc (10). Do vËy cã thÓ viÕt:

P( x > xi ) =1−P( x < xi )

BiÓu thøc (10) cßn hay ®−îc biÓu diÔn d−íi d¹ng kh¸c, b»ng c¸ch thay biÕn sè tÝch

ph©n x =	t	:
h		2
			2	ti		−	t2
		Φ(ti ) =			e		2 dt		(12)
			2π	∫0

Khi x=xi th× ti = xih 2 .

BiÓu thøc (12) chÝnh lµ biÓu thøc tÝch ph©n cña x¸c suÊt. B¶ng trÞ sè hµm sè nµy th−êng ®−îc cho s½n trong sæ tay tra cøu to¸n häc. Nã lµ hµm Laplace.

H×nh 2-5		H×nh 2-6

Nh− vËy, biÕt ®−îc sù ph©n bè sai sè, ta cã thÓ tÝnh ®−îc x¸c suÊt xuÊt hiÖn nh÷ng lÇn ®o cã sai sè mµ trÞ sè cña nã lín h¬n hay bÐ h¬n mét gi¸ trÞ sai sè nµo ®o cho tr−íc. §iÒu nµy ®−a tíi mét ý nghÜa thùc tÕ, ë kÕt qu¶ ®o ta cÇn lÊy giíi h¹n cña trÞ sè sai sè ph¶i b»ng bao nhiªu th× ®¶m b¶o chÝnh x¸c víi mét ®é tin cËy nµo ®ã.

35

2.2.3 Sö dông c¸c ®Æc sè ph©n bè ®Ó ®Þnh gi¸ kÕt qu¶ ®o vµ sai sè ®o

1. Sai sè trung b×nh b×nh ph−¬ng

Gi¶ sö khi ®o nhiÒu lÇn mét ®¹i l−îng X, c¸c kÕt qu¶ nhËn ®−îc lµ n trÞ sè sai sè, cã trÞ sè n»m trong kho¶ng giíi h¹n tõ x1÷x2.

Tuú theo trÞ gi¸ cña h, mµ x¸c suÊt cña chóng kh¸c nhau. Trªn h×nh 2-7 ta cã x¸c suÊt cùc ®¹i øng víi h2, h2 ®−îc gäi lµ trÞ gi¸ cùc ®¹i cña h.

Víi mét lo¹i trÞ sè ®o th× coi h lµ kh«ng ®æi. Khi ®ã x¸c suÊt sai sè xuÊt hiÖn t¹i trÞ gi¸ x1 vµ l©n cËn cña x1 lµ:

H×nh 2-7	dp1 =	h	e−h2x12 dx1
		π

Còng thÕ, t¹i c¸c trÞ sè kh¸c nhau cña x lµ x2, x3,..xn:

dp2	=	h e−h2x22 dx 2
		π
. . . . . . . . .
dpn	=	h	e−h2xn2 dxn
		π

X¸c suÊt cña c¶ n lÇn ®o cã thÓ coi nh− x¸c suÊt cña mét sù kiÖn phøc hîp. Theo lý thuyÕt x¸c suÊt, th× x¸c suÊt cña mét sù kiÖn phøc hîp b»ng tÝch sè cña x¸c suÊt cña c¸c sù kiÖn ®éc lËp riªng rÏ:

Pph

= dp1.dp2 ...dpn

h

n

e

−h2 (x2

+x2

+...+x2 )

dx

dx

...dx

(13)

=

1

2

n

2

n

1

π

§Ó t×m trÞ sè cùc trÞ cña h, trong biÓu thøc (13), coi h lµ th«ng sè biÕn ®æi. Ta ®¹o hµm (13) theo h råi cho b»ng kh«ng:

36

dPph	= n	h n−1	e−h2 ∑xi2 +	h n	[−2h∑xi2 ]e−h2 ∑xi2 = 0
dh	(	π)n	(	π)n

Sau khi ®Æt thõa sè chung, ta cã:

n − 2h 2 ∑xi2 = 0

do ®ã:

1 =	∑xi2	(14)
2h	n

§¹i l−îng vÕ bªn ph¶i cña (14) lµ trÞ sè trung b×nh b×nh ph−¬ng cña c¸c lÇn ®o riªng biÖt. Nã ®−îc gäi lµ sai sè trung b×nh b×nh ph−¬ng σ:

n

∑xi2

σ =	i=1	(15)
	n

NÕu biÓu thÞ hµm sè ph©n bè tiªu chuÈn c¸c sai sè d−íi d¹ng σ th× cã biÓu thøc:

p(x) = 1 e 2πσ

	−	x2
		2σ2	(16)

Dïng c«ng thøc (12), cã thÓ tÝnh ®−îc x¸c suÊt xuÊt hiÖn c¸c sai sè cã trÞ sè nhá h¬n σ:

P( x < σ) = 2	∫0hσ	2 e−	t2
			2	dt
2π

V× hσ 2 = σσ 22 =1, nªn ta cã :

	P( x < σ) = 2	∫01 e−	t2		2
			2	dt = 0,683 ≈
					3
	2π

Trong kü thuËt ®o l−êng ®iÖn tö, nÕu lÊy σ ®Ó ®Þnh gi¸ sai sè cña kÕt qu¶ ®o, th× ®é tin cËy ch−a ®¶m b¶o. Do vËy, ng−êi ta th−êng lÊy gi¸ trÞ sai sè b»ng 3σ vµ gäi nã lµ sai sè cùc ®¹i:

M=3σ

X¸c suÊt c¸c sai sè cã trÞ sè nhá h¬n M lµ:

37