12.Применение криволинейного интеграла 1-го рода.

1. Площадь цилиндрической поверхности, определенной функцией , определяют по формуле. 2. Длину кривой AB определяют по формуле .

Применение в механике

Пусть дана материальная кривая L, плотность на которой меняется по формуле . 1. Масса кривой: . 2. Статические моменты кривой относительно осей Ox и Oy:

13.Криволинейный интеграл 2-го рода (по координатам) как придел интегральной суммы

z

y

x

Ci=1

Di

Ci

ri

ri-1

Составим интегральную сумму

1.Разобьем дугу АВ в направлении Ак точки В

2.Обозначим вектор Ci-1Ciчерезi

3.Выберем на каждой дуге некоторую точку Di(xi,yi,zi)

4.Вычислим скалярное произведение F(xi,yi,zi)

Составим интегральную сумму для функции

F(x,y,z) по криво АВ

Криволинейный интеграл по координатам функции нескольких

Переменных F=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)kпо кривой АВ

Свойства:

1. Криволинейный интеграл при изменении направления кривой меняет знак.

2. 

3. 

4. 

14. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода.

1.Кривая задана параметрически x=x(t) y=y(t)
Плоская кривая задана параметрически
Плоская кривая задана явным образом

15. Применение криволинейного интеграла 2-го рода

1. Вычисление длины кривой L по формуле |L|=

2. Вычисление площади G плоской фигуры с помощью криволи- нейного интеграла 2-го рода по формулам:

3. Вычисление массы кривой и центра масс.

16. Поверхностный интеграл 1-го рода (по площади поверности)

Определение: Конечный предел интегральной суммы функции F(x,y,z) на поверхности σ если максимальный диаметр частичной поверхности частично не уменьшается число разбиений увеличивается, то такой предел называется повторный интеграл 1-го рода функции по поверхности

Обозначается:

Теорема о существовании: Если f(x,y,z) направленна в каждой точке гладкой поверхности σ, то предел её интегральной суммы на этой поверхности maxdi->0 n-> существует конечный интегю. И не зависит не от способа разбиения поверхности не от выбора точек на каждой части поверхности.

17.Вычисление и применение поверхностного интеграла 1-го рода

Поверхностный интеграл 1-го рода сводится к вычислению двойных интегралов.

Положим поверхность σ любая прямая параллельна оси OZ пересекает поверхность не более чем в одной точке, тогда уравнение поверхности однозначно представляться в виде z=z(x,y). Тогда формула перехода от поверхностного интеграла 1-го рода к двойному:

Применение

1. Площадь поверхности. Если гладкая поверхность S задана явным уравнением z  z(x, y) , то ее площадь S вычисляется по формуле

2. Масса m материальной поверхности S равна

3. Статические моменты материальной поверхности S относительно координатных плоскостей Oxy, Oxz, Oyz находятся соответственно по формулам:

18. Поверхностный интеграл 2-го рода (по координатам) как предел интегральной суммы, его свойства.

Пусть S- двухсторонняя поверхность с выбранным направлением нормали

1. Разобьем область S произвольным образом (S1) (

2. В каждой области (выберем произвол.

3. Обозначим через площадь проекциина плоскостьXOY

4. Вычислим произведение R(M₁)*сумма вида

I_n( - называется интегральной суммой для функции R(x,y,z) по поверхности (s) по переменным x y

Определение: Конечный предел интегральной суммы I_n() при называется поверхностный интеграл по координатам (x,y) от функции R(x,y,z) по поверхности (S)

Обозначают:

Аналогично определяются интегралы

Сумму

записывают в виде

и называют поверхностным интегралом II рода (по координатам).

Свойства:

1. Поверхностный интеграл II рода зависит от стороны поверхности ( т.е. от выбора нормали). При перемене стороны поверхности ( S) поверхностный интеграл II рода меняет знак.

2. Постоянный множитель можно выносить за знак поверхност - ного интеграла II рода, т.е.

3. Поверхностный интеграл II рода от алгебраической суммы двух (конечного числа) функций равен алгебраической сумме поверхностных II рода от этих функций, т. е.

4. Если поверхность ( S) разбита на две части ( S1) и ( S2), не имеющих общих внутренних точек, то