35.Законочередующееся ряды, Признак Лейбница. Абсолютная и условная сходимость ряда.

Ряд называется знакочередующимся, если любые два соседних его члена имеют разные знаки, т.е. ряды вида u₁– u₂ + u₃ – u₄ +… + u_n + …, где u₁, u₂, …, u_n, … положительны.

Теорема Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда, взятые по абсолютной величине, монотонно убывают и модуль общего члена ряда стремится к нулю при , т.е., то ряд сходится.

Теорема. Дан знакопеременный ряд u₁+u₂+…+u_n+…(1). Составим ряд |u₁|+|u₂|+…+|u_n|+… (2). Если ряд (2), составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) сходится.

Определение. Знакопеременный ряд u₁+u₂+…+u_n+… называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов |u₁|+|u₂|+…+|u_n|+… .

Если же знакопеременный ряд (1) сходится, а ряд (2), составленный из абсолютных величин его членов, расходится, то данный знакопеременный ряд (1) называется условно или неабсолютно сходящимся рядом.

36.Функциональный ряд. Область сходимости.

Ряд называется функциональным, если его членами являются функции от некоторого аргумента x:

. (3)

При конкретных значениях x, подставляемых в ряд (3), получаются различные числовые ряды, которые могут сходиться или расходиться. Совокупность всех значений x, при которых функциональный ряд (3) сходится, называется областью сходимости функционального ряда. Для некоторых x ряд может сходиться абсолютно, для некоторых условно. Поэтому различают также области абсолютной и условной сходимости функционального ряда.

При нахождении областей сходимости можно использовать все известные признаки сходимости.

37.Степенной ряд. Теорема Абеля.

(1)

(теорема Абеля). Если степенной ряд (1) сходится при некотором , где-число, не равное нулю, то он сходится абсолютно при всех значенияхx таких, чтоНаоборот, если ряд (12) расходится при, то он расходится при всех значенияхx таких, что 

38.Интервал и радиус сходимости степенного ряда.

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значенийx, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости.  Если интервал сходимости представляется в виде , гдеR > 0, то величина R называетсярадиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.  Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

39.Свойства степенных рядов

1) Во всех точках, лежащих внутри интервала сходимости, сумма степенного ряда является непрерывной функцией переменной x:

2) Степенной ряд можно почленно интегрировать внутри интервала сходимости:

3) Внутри интервала сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать:

При почленном интегрировании и дифференцировании степенных рядов их интервалы сходимости не меняются.

40.Ряды Тейлора

Ряд Тейлора – Если функция f(x) имеет производные любых порядков в окрестности точки , то можно записать разложений функцийf(x) по степеням (): (1)

(1) – называется рядом Тейлора.

25