19.Вычисление поверхностного интеграла 2-го рода.

Вычисление поверхностных интегралов 2-го рода сводится к вычислению двойных интегралов. Пусть ( S) – двусторонняя поверхность, заданная уравнением z = f(x,y) ,

( σxy) – проекция ( S) на плоскость xOy, квадрируемая область

f(x,y) – непрерывна в области ( σxy) ,

R (x,y,z) – непрерывна на ( S) .

Выберем верхнюю сторону поверхности ( т.е. угол между нормалью к поверхности и осью Oz острый) . Тогда:

Выберем нижнюю сторону поверхности ( т.е. угол между нормалью к поверхности и осью Oz тупой) . тогда

20. Векторная функция скалярного аргумента (основные понятия).

Определение: Векторной функцией действительного аргумента (вектор - функцией скалярного аргумента) называется отображение, которое каждому действительному числу t ∈T ставит в соответствие один и только один вектор r

Вектор-функцию обозначают

Определение 2 Линия L , описываемая в пространстве концом вектора при непрерывном изменении аргумента t∈T ⊂ R называется годографом вектор функции скалярного аргумента t

20. Производная векторной функции. Ее геометрический и механический смысл.

Определение : Если существует предел отношения приращения функции в точке к приращению скалярного аргумента при Δt → 0 , то этот предел называется производной вектор функции в точкеи обозначается

Таким образом

Вычисление производной от вектор - функции сводится к вычислению производных ее координат.

Механический смысл производной от вектор - функции состоит в том, что есть вектор мгновенной скорости перемещения материальной точки по траектории, являющейся годографом функции.

С геометрической точки зрения производная вектор-функции в точке t₀ есть вектор направленный по касательной к годографу этой функции в сторону возрастания параметраt.

21.Скалярные и векторные поля (основные понятия)

Определение: Если в каждой точке Ω величина принимает числовые значения, то поле называется скалярным, если же в каждой точке Ω задан вектор, то поле называется векторным.

Определение. Геометрическое место точек M, в которых поле U(M) имеет заданное значение C, называется поверхностью уровня скалярного поля U(M) = U(x; y; z). Уравнение имеет вид U(x; y; z) = C.

Определение. Скалярное или векторное поле называется стационарным, если величина, характеризующая поле, зависит только от положения точки в пространстве, но не зависит от времени.

22.Производная по направлению.

Пусть в пространстве задано поле U(x,y,z)=С

Z

Y

X

M

M₁

M(x,y,z)- произвольная точка

- произвольное направление выхода из точки

Переместим т.М в направлении

На величину получим точку М₁

M₁(

При этом функция поля получит приращения

Определение. Производной скалярного поля U(M) в точке M по направлению λ

23. Градиент и его свойства

В декартовой системе координат градиент скалярного поля определяется по формуле

Свойства.

1. Производная по направлению принимает свое наибольшее значение в направлении градиента

2. Вектор-градиент направлен по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции .

3. Если в области Ω grad U = 0, то U = C, т. е. скалярное поле U постоянно в Ω.

24.Поток вектора его физический смысл, различные формы записи потока.

Потоком векторного поля ā(M) через поверхность (S) называется величина K, равная

Различные формы записи потока вектора

По определению

Так как

То

25.Дивергенция и ее основные свойства.

Дивергенцией векторного поля А(М) в точке М называется предел отношения потока вектора через поверхность окружающую точку М объему ограниченному этой поверхностью при условии, что вся поверхность стягивается в точку М

Дивергенцией векторного поля в точке называется скаляр видаи обозначается символически

Основные свойства:

1.Дивергенция алгебраической суммы двух векторных функций равна сумме дивергенции слагаемого

2. Постоянный множитель можно вынести за знак дивергенции

26.Циркуляция вектора. Понятие потенциального поля

Определение. Если подынтегральное выражение является полным диф. Некоторой функции U(x,y,z) то циркуляция в этом случаи равна нулю по любому контуру и такое поле называют потенциальным

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Циркуляцией векторного поля ā(M) (вектора ā(M) ) по замкнутому контуру (ℓ) называется величина C, равная

ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА Если ā(M) = P(x;y;z)i+ Q(x;y;z)j+ R(x;y;z)k – сила, под действием которой точка перемещается по контуру (ℓ), то циркуляция вектора ā(M) – работа силы. Наибольшего значения циркуляция будет достигать если ( ℓ) – векторная линия.