75 группа 2 вариант / Тепломассообмен / Цветков задачник по тепломасообмену

Г л а в а п е р в а я . СТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Решение. Теплоотдачей от внутренней поверхности трубки к содержащемуся в ней воздуху пренебрегаем. Поэтому u = π d, f = πdδ, a

m =	απd	=	α	=		50		= 16 м	–1	.
	λπ-------------dδ		λδ------		æ	0,5	æ – 3
				390			10

Тогда ch (ml) = ch (16æ0,07) = 1,7. Используя формулу (1.13), составляем уравнение

300 – tж =	200 – tж
	------------------- .
	1,7

Отсюда получаем tж = 315 °С и δ t = 315 – 300 = 15 °С.

Ответ. Погрешность равна 15 °С.

1.39.Одно основание стержня квадратного сечения 20×20 мм поддерживается при температуре 200 °С. Температура другого основания 65,1 °С. Температура окружающей среды равна –5 °С. Длина стержня и коэффициент теплопроводности соответственно равны 200 мм и 50 Вт/(мæК). Чему равен коэффициент теплоотдачи?

1.40.При каком значении α коэффициент эффективности плоского прямого ребра будет равен 0,34, если для ребра λ = 15 Вт/(м æК);

δ= 3,6 мм; l = 48 мм?

1.41.Отрезок трубки из нержавеющей стали длиной l = 160 мм зажат между двумя массивными плитами, температура которых одинакова и равна t0 = 5 °С. Наружный диаметр трубки d2 = 10 мм, толщина стенки

δ= 1 мм, а коэффициент теплопроводности λ = 18 Вт/(мæК). Темпера-

тура воздуха, окружающего трубку, tж = 50 °С; α = 15 Вт/(м2æК). найти максимальную температуру трубки.

1.42. Для плоского прямого ребра известно: t0 = 100 °С; tж = 20 °С; t ребра = 77,6 °С. Найти Q′/Q, где Q — тепловой поток для всего ребра; Q′ — для его половины (отсчет от основания ребра).

1.43.Дано плоское прямое ребро: δ = 4 мм; λ = 20 Вт/(мæК); α =

=12 Вт/(м2æК). На свободном конце ребра tx = l = 52,4 °С, а при x = l / 2 tx = l / 2 = 63,0. Ребро омывается жидкостью с tж = 10 °С. Найти длину ребра.

1.44.Падение напряжения на нихромовом стержне d = 5 мм и l =

=400 мм составляет U = 10 В. Стержень находится в кипящей воде

21

Ч а с т ь п е р в а я . ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

(р = 6,18æ105 Па), а коэффициент теплоотдачи с его поверхности α = = 38 000 Вт/(м2æК).

Вычислить мощность внутренних источников тепла, плотность теплового потока и линейную плотность теплового потока на поверхности стержня, температуры на его оси и поверхности. Принять для нихрома λ = 15 Вт/(мæК), ρэл = 1,2 æ10–6 Омæм.

1.45. Вычислить допустимую силу тока и температуру на поверхности стальной электрической шины прямоугольного сечения 100×4 мм, установленной на ребро, если при температуре окружающего воздуха tж = 30 °С максимальная температура не должна превы-

шать 70 °С. Коэффициент теплопроводности стали λ = 40 Вт/(мæК), а удельное электрическое сопротивление ρэл = 0,176 Омæмм2/м. Теплоотдачу с боковых поверхностей шины принять α = 7 Вт/(м2æК).

Как изменится допустимый ток для шины, если при неизменной площади поперечного сечения ей придать форму круглого стержня? Изменится ли температура поверхности такой шины? (Другие условия неизменны.)

1.46. Температура на поверхности охлаждаемого цилиндрического уранового стержня [λ= 30 Вт/(мæК)] не должна превышать 650 °С. Определить допустимый диаметр и перепад температур в стержне

при мощности внутренних источников qv = 8æ107 Вт/м3, если температура охлаждающего теплоносителя tж = 370 °С, а коэффициент

теплоотдачи α = 6500 Вт/(м2 æК).

1.47. Найти распределение температуры в цилиндрическом тепловыделяющем элементе реактора, состоящем из топливного сердечника диоксида урана UO2 диаметром d1 = 11 мм с мощностью внутренних

источников qv = 3,3æ108 Вт/м3 и оболочки из циркония d3×δ =

=13,8 × 1,0 мм. Зазор между сердечником и оболочкой заполнен гелием, а наружная поверхность оболочки омывается водой при tж =

=290 °C. Коэффициент теплоотдачи к воде α = 40 000 Вт/(м2 æК), a коэффициенты теплопроводности диоксида урана, гелия и циркония 3; 0,3 и 20 Вт/(м æК) соответственно. По результатам расчета построить график.

22

Г л а в а в т о р а я

НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

А. Безграничная пластина

1. Безразмерная температура в безграничной пластине толщиной 2δ0:

n → ×

2 sin μ

–μ2 Fo

n → ×

Θ =

∑

n

cos (μn X) e

n

= ∑ Θn , (2.1)

---------------------------------------------

μ

+ sinμ

cos μ

n = 1

n

n

n

n = 1

где Θn

tx, τ – tж

; μn

= f (Bi); Bi =

αδ0

aτ

= --------

---

-----

----

---------

— число Био; Fo = -----

— число

t0

– t

ж

λ

2

δ0

Фурье; X =

x

= 0…1.

δ

-----

0

2. Безразмерная температура на упорядоченной стадии (Fo ≥ 0,3):

Θ

= Θ

2 sin μ1

–μ12 Fo

,

(2.2)

1

= -------------------------------------------- cos (μ

1

X) e

μ1 + sinμ1 cos μ1

где μ1

2 sin μ1

= f (Bi) и

-------------------------------------------- = D1

= f (Bi) выбирают из табл. П.15.

μ1 + sinμ1 cos μ1

3.

Предельные случаи на упорядоченной стадии (Fo ≥ 0,3):

l ) Bi < 0,1: Θ = exp (–BiæFo) ≠ f (X),

(2.3)

где Bi ≈ μ2

;

1

2) Bi > 100: Θ(X = 1) = 0, т.е. tτ, x = δ

= tж;

0

4

π

2

---

---

Fo

.

(2.4)

Θ(X = 0) = π exp

– 2

23

Ча с т ь п е р в а я . ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

4.Количество теплоты, отведенное (подведенное) от пластины за

Δτ = τ1 – τ0

Fo1

aτ1

≥ 0,3

при

= --------

:

δ2

0

Q τ

= Qτ

– Qτ

= Qτ

2 sin2μ1

–μ12 Fo

1 –

---------------------------------------------------

e

, (2.5)

0

1

0

μ2

+ μ

1

sinμ

1

cos μ

1

1

где Qτ0 = 2δ0Fρcp(t0 – tж), F — площадь боковой поверхности.

Б. Цилиндр бесконечной длины

5. Безразмерная температура в цилиндрическом стержне (вале) радиусом r0 безграничной длины:

n →×

Θ = ∑

n = 1

2J1(μn )

------------------------------------------------------

μ	[J	2	(μ ) + J	2	(μ )]
n		0	n	1	n

–μ2 Fo	n →×
J0(μn R)e n	= ∑	Θn , (2.6)

n = 1

где

tr, τ – tж		; μn	αr	0	;	aτ	;	r	= 0…1;
Θ = ---------	-----------		= f (Bi); Bi = --------			Fo = -----		R = ----
t0	– tж		λ			r2		r0
						0

J0(μn) и J1(μn) — функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка.

6. Безразмерная температура на упорядоченной стадии (Fo ≥ 0,3):

Θ = Θ						2J1(μ1 )							J		(μ			R) exp (–μ	2	Fo) ,	(2.7)
	1	= ------------------------------------------------------												0			1		1
		μ		[J	2	(μ		) + J		2(μ		)]
			1				1				1
					0				1
где μ1 = f(Bi)						2J1(μ1 )										D1 = f (Bi)
		и ------------------------------------------------------												=					выбирают из
		μ	1	[J	2(μ		1	) + J		2(μ	1	)]
					0					1

табл. П.16, J0(μ1R) приводится в табл. П.13 как J0(x), где х = μ1R.

7. Предельные случаи при (Fo ≥ 0,3):

1) Bi < 0,1 Θ = exp (–2BiæFo) ≠ f (R), (2.8)

где μ = 2Bi ;

24

Г л а в а в т о р а я . НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

2) Bi > 100

Θ(R = 1) = 0, т.e. tτ, r = r

= tж;

0

Θ(R = 0) =

2

exp (–μ

2

Fo) .

(2.9)

-----------------------

μ

1J1(μ1 )

1

8.

Количество теплоты, отведенное (подведенное) за Δτ = τ1 – τ0

Fo1

aτ1

≥

при

= --------

0,3 :

δ2

0

Q

= Q

– Q

= Q

4Bi2

exp (–μ

2

Fo) , (2.10)

τ

τ

0

τ

1

τ

0

1 – -----------------------------------

1

μ2

μ2 + Bi2

1

1

где Qτ0 = πr20Lρcp (t0 – tж ) .

В. Температурное поле в телах конечных размеров

1.	Длинный стержень прямоугольного сечения (2δ0x×2δ0y):
			Θ(X, Y, Fo) = Θ(X, Fox)æΘ(Y, Foy),								(2.11)
		aτ	Fo	aτ			) и	Θ(Y, Fo		) вычисляют по фор-
где Fo = ------- ,				= ------- ; Θ(X, Fo		x			y
	x	δ2	y	δ2
		0x		0y
мулам (2.1)—(2.4) с учетом Bi =					αδ0x			и Bi =		αδ0y
					------------					------------ .
				x			λ	y		λ
2.	Параллелепипед (2δ0x×2δ0y×2δ0z):
				Θ(X, Y, Z, Fo) =
		= Θ(X, Bix, Fox)æΘ(Y, Biy , Foy) æΘ(Z, Biz, Foz).									(2.12)
3.	Цилиндр конечной длины r0×2l0:
		Θ(R, Z, Fo) = Θ(R, Bir , For)æΘ(Z, Bil, Fol),									(2.13)
где For =		aτ		aτ
		----- , Fol =		----- ; Θ(R, Bir, For) вычисляют по формулам (2.6)—
		r02		l02
(2.9), Θ(Z, Bil, Fol) — по формулам (2.1)—(2.4); при этом Bir											αr0
											= -------- ,
											λ
a Bil	αl	0
	= -------- .
	λ

25

Ча с т ь п е р в а я . ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Г.Основные соотношения регулярного режима (Fo ≥ 0,3)

1. Зависимость температуры от времени

ln ϑ = ln [ϑ0D1U(x, y, z)] – mτ или ln ϑ = C(x, y, z) – mτ, (2.14)

где ϑ = t – t ; m =	μ12a	1	∂ϑ	— темп охлаждения (нагревания); l
	---------	= – ---	------
ж	2	ϑ	∂τ		0
	l0

—характерный размер (δ0, r0).

2.Способы определения т:

m =

ln ϑτ

1

– ln ϑτ

2

— экспериментальный;

(2.15)

------------------------------------

τ

2 – τ1

F

m

= ψ

α

— по среднему коэффициенту теплоотдачи,

------------

πc V

p

где ψ — коэффициент неравномерности температуры в теле;

m×

=

a

(при Bi > 100),

----

K

где K — коэффициент формы тела;

2δ0

2

— пластина;

K =

--------

π

K =

π

2

π

2

+

π

2

–1

---------

+

---------

----------

— параллелепипед;

2l

0x

2l

0y

2l

0z

K =

2,405

2

π

2

–1

— цилиндр конечных размеров.

------------

+

-------

r

2l

0

0

ЗАДАЧИ

2.1. Определить число Био для безграничной пластины, если известно, что ее внутреннее термическое сопротивление меньше внешнего в 10 раз.

Какой толщины эта пластина, если коэффициент температуропроводности, теплоемкость и плотность материала составляют 7æ10– 6 м2/с; 0,45 кДж/(кг æК) и 7940 кг/м3 соответственно. Коэффициент теплоотдачи α = 50 Вт/(м2æК).

26

Гл а в а в т о р а я . НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

2.2.Пластина толщиной 2δ0 = 20 мм, нагретая до t0 = 150 °С,

помещена в воздушную среду для охлаждения. Tемпература воздуха tж = 20 °С. Коэффициенты теплопроводности и температуропровод-

ности равны соответственно λ = 0,175 Вт/(мæК) и a = 0,833æ10–7 м2/с. Коэффициент теплоотдачи от поверхности пластины к воздуху α =

=70 Вт/(м2æК). Определить температуры в трех точках: x = 0; x =

=0,5δ0; x = δ0 в момент времени τ = 20 мин.

Решение. Вычисляем числа Био и Фурье:

70æ0, 01

Bi = ---------------------- = 4,0 ; 0,175

0,833æ10–7æ20æ60

Fo = -------------------------------------------------- = 1,0 . 0,012

В табл. П.15 находим: μ1 = 1,2646; D1 = 1,229. Искомые безразмерные температуры вычисляем по формуле:

2

Θ = 1,229 cos (1,2646 X) e–1,2646 æ1,0 = 0,2483 cos (1,2646 X) ; ΘX = 0 = 0,2483; ΘX = 0,5 = 0,2003; ΘX = 1,0 = 0,0748.

Тогда

tx = 0 = 20 + (150 – 20)æ0,2483 = 52,28 °С; tx=0,5 δ0 = 20 + (150 – 20) æ0,2003 = 46,04 °С; tx=δ0 = 20 + (150 – 20)æ0,0748 = 29,72 °С.

Ответ. tx = 0 = 52,28 °С; tx=0,5 δ0 = 46,04 °C; tx=δ0 = 29,72 °C.

2.3. Бетонная плита с размерами 3×5×0,3 м и начальной температурой 90 °С в вертикальном положении охлаждается на открытом воздухе (tж = –10 °С). Определить температуру в средней плоскости плиты и на ее поверхности через 3,3 ч после начала охлаждения, если значения коэффициентов теплопроводности, теплоемкости и плотность для бетона составляют 1,28 Вт/(м æК), 0,84 кДж/(кг æК) и

2000 кг/м3 соответственно. Коэффициент теплоотдачи с поверхности к воздуху принять равным 15 Вт/(м2æК).

Вычислив температуру еще хотя бы в одной промежуточной точке, построить график распределения температуры по толщине плиты.

27

Ча с т ь п е р в а я . ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

2.4.Древесно-стружечная плита (ДСП) помещена в сушильную камеру с температурой воздуха 120 °С, ее размеры 2×4×0,02 м, расположение в камере вертикальное. При τ = 0 t0 = 20 °С. Физические

свойства ДСП: λ = 0,085 Вт/(мæК); ρ = 800 кг/м3; ср = 2,5 кДж/(кгæК). Коэффициент теплоотдачи к плите в процессе нагревания равен 9 Вт/(м2æК).

Найти время, по истечении которого температура в средней плоскости плиты достигнет 50 °С.

Построить график распределения температуры по толщине плиты в этот момент времени.

Определить также количество теплоты, которое подводится к плите за рассматриваемый промежуток времени.

2.5.Начальная температура листа стали (его толщина 10 мм) t0 =

=100 °С. Физические свойства стали: λ = 45 Вт/(мæК); ρ = 7900 кг/м3; ср = 0,46 кДж/(кгæК). Найдите температуру листа через 1 мин после

начала охлаждения в воздухе и в воде. Для воздуха α = 8 Вт/(м2æК), для воды α = 500 Вт/(м2 æК). И в том, и в другом случае tж = 20 °С.

Решение. Температуропроводность стали

a =	-------------------------45	= 1,24æ10–5 м2/с.
	7900æ460

Определим числа Био при охлаждении в воздухе (Bi1) и в воде (Bi2):

5æ0,005

Bi1 = -------------------- = 0,000555; 45

500æ0,005

Bi = -------------------------- = 0,0555. 2 45

Так как Bi 1 << 1 и Bi 2 << 1, то в двух случаях в любой момент времени температура будет одинакова во всех точках листа. Число Фурье

1,24 æ10–5æ60

Fo = ------------------------------------- = 30. 0,0052

Найдем безразмерные температуры в заданный момент времени при охлаждении в воздухе (Θ1) и воде (Θ2):

Θ1 = ехр (–5,55æ10 – 4

Θ2 = ехр (–5,55æ10 – 2

æ30) = 0,983;

æ30) = 0,189.

28

Г л а в а в т о р а я . НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

Температура листа в первом случае t1 = tж + Θ1(t0 – tж) = 20 + 0,983æ80 = 98,6 °С, во втором t2 = 20 + 0,189æ80 = 35,1 °С.

Ответ. При охлаждении в воздухе температура листа t1 = 98,6 °С, а при охлаждении в воде t2 = 35,1 °С.

2.6. Лист стали толщиной 20 мм, нагретый до 600 °С, обдувается с обеих сторон воздухом (tж = 20 °С). При этом коэффициент теплоот-

дачи с поверхности листа к воздуху составляет 30 Вт/(м2æК). Определить время от начала охлаждения, необходимое для установления температуры листа, отличающейся не более чем на 5 % от температуры воздуха. Принять для стали коэффициент теплопроводности λ = 42 Вт/(мæК), теплоемкость cp = 0,42 кДж/(кгæК), плотность ρ =

= 7900 кг/м3.

Вычислить количество теплоты, отведенное от 1 м2 к воздуху за рассматриваемый промежуток охлаждения.

2.7. Внутренняя часть ограждения промышленной печи выполнена из огнеупорного материала (шамотного кирпича), а внешняя представляет собой тепловую изоляцию. Толщина огнеупора δ = 250 мм. Его

физические свойства следующие: λ = 1,6 Вт/(мæК); a = 3,5æ10–7 м2/с. Температура огнеупора и температура в печи t0 = 20 °С. Найдите

температуры внутренней и внешней поверхностей огнеупора через 10 ч после того, как температура газов в печи скачком возрастет до 1000 °С.

Коэффициент теплоотдачи от газов к стенке α = 32 Вт/(м2æК). Условно считайте, что через внешнюю поверхность огнеупора тепловой поток отсутствует.

Решение. Число Фурье для заданного момента времени

3,5æ10–7æ3600 æ10

Fo = --------------------------------------------------- = 0,202. 0,252

Число Био

32æ0,25

Bi = -------------------- = 5,0. 1,6

Так как Fo < 0,3, то для расчета температур необходимо взять несколько членов суммы в выражении (2.1). Соответствующие таблицы приводятся в литера-

29

Ч а с т ь п е р в а я . ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ

туре, например в [11]. Находим: μ1 = 1,3138; μ2 = 4,0336; μ3 = 6,9096. Вычисляем коэффициенты:

		D1 =		----------------------------------------------------------------------------2 sin 1,3138	= 1,240;
				1,3138 + sin 1,3138 cos 1,3138
		D2	=	2 sin 4,0336	= –0,3442;
			4,0336 + sin 4,0336 cos 4,0336
		D3	=	2 sin 6,9096	= 0,1587.
				----------------------------------------------------------------------------
				6,9096 + sin 6,9096 cos 6,9096
Найдем безразмерные температуры на внешней (X = 0) и внутренней (X = 1)
поверхностях:
Θ	X = 0	= 1,240e–1,726æ0,202 – 0,3442e–16,3æ0,202			+ 0,1587e–48æ0,202 =
			= 0,8750 – 0,0128 + 0,000009 = 0,8622;
ΘX = 1 = 0,8750 cos 1,3138 – 0,0128 cos 4,0336 = 0,2224 + 0,0080 = 0,2304.
Определяем искомые температуры:
			tx = δ = 1000 – 0,2304æ980 = 772 °C;
			tx = 0 = 1000 – 0,8622æ980 = 155 °С.

Ответ. На внутренней поверхности температура tx = δ = 772 °С, а на внешней tx = 0 = 155 °С.

2.8. Определить минимальную толщину плоской стенки дозвукового сопла, такую, чтобы за 6 с работы двигателя температура ее внутренней поверхности, омываемой газами при Tж = 2250 К [коэф-

фициент теплоотдачи α = 870 Вт/(м2æК)], не превысила допустимого значения Тс max = 1250 К. Теплофизические свойства материала

стенки: λ = 35 Вт/(мæК); а = 1,4æ10–5 м2/с. Начальная температура сопла T0 = 300 К. Отводом тепла с наружной поверхности стенки сопла пренебречь.

2.9. Внутренняя поверхность стальной стенки сопла реактивного двигателя покрыта слоем керамической изоляции [λ = 3 Вт/(мæК),

а = 1,5æ10–6 м2/с] толщиной 3 мм. Наружная поверхность теплоизолирована. Считая стенку плоской, оценить допустимую продолжительность горения топлива, при котором температура пламени составляет 2473 К. Коэффициент теплоотдачи от пламени к поверх-

ности изоляции α = 1600 Вт/(м2æК). Начальная и максимально допустимая температуры стенки соответственно составляют 293 и 1473 К.

30