- •Общие методические указания по выполнению расчетно-графического задания (контрольных работ)
- •Программа по общему курсу физики раздел «Механика». Кинематика
- •1. Кинематика
- •1.14. Камень брошен вертикально вверх с начальной скоростью
- •2. Основное уравнение динамики
- •3. Законы сохранения импульса и энергии
- •4. Динамика вращательного движения
- •5. Механические колебания
1. Кинематика
Положение материальной точки в пространстве задается радиус-
вектором:
,
где - единичные векторы,x,y,z- декартовы координаты точки.
Быстроту изменения положения точки в пространстве с течением времени характеризует скорость.
Средняя скорость
,
где - перемещение точки за времяt.
Мгновенная скорость
,
где .
Модуль скорости
Быстроту изменения вектора скорости с течением времени характеризует ускорение.
Среднее ускорение
.
Мгновенное ускорение
где .
При движении точки вдоль оси OX
;
где V0Xих0- скорость и координата в момент времениt=0.
При равнопеременном движении(aX=const) вдоль осиОХ
В случае криволинейного движения
,
где - нормальное ускорение, характеризует изменение скорости по направлению и направлено к центру кривизны в данной точке траектории;- тангенциальное ускорение, характеризует изменение скорости по величине и направлено вдоль касательной в данной точке траектории.
Модуль полного ускорения
,
где - радиус кривизны траектории.
Положение твердого тела при вращении вокруг оси определяется углом поворота .
Средняя угловая скорость
где - изменение угла поворота за интервал времениt.
Мгновенная угловая скорость
Угловое ускорение
Кинематические уравнения при вращении твердого тела:
где 0и0- начальные угловая скорость и угол поворота.
При равнопеременном вращении
.
Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими движение точки:
;.
примеры решения задач
Задача 1. Движение материальной точки задано уравнением (м).Определить скорость точки в моменты времениt1=2сиt2=4с,а также среднюю скорость в интервале времени отt1до t2.
Точка прямолинейно движется вдоль оси OX. Модуль мгновенной скорости в этом случае
(м/с).
Найдем V1иV2:
,м/с;
,м/с.
Средняя скорость
где
м/с.
Ответ: V1=7 м/с,V2=11,4 м/с,м/с.
Задача 2. С башни высотой Н =25 мбросили камень со скоростьюV0 = 15м/спод углом = 300к горизонту. Через какое времяtпи на каком расстоянииSот основания башни камень упадет на землю?
Начало отсчета возьмем у основания башни.
Ось OYнаправим вертикально вверх, осьOX– горизонтально. Движение камня вдоль осиOXравномерное, вдоль осиOY– равнопеременное:
где ,y0=H,,
Общие уравнения движения камня в выбранной системе отсчета примут вид
В момент падения камня t=tn, x=S, y=0.
(1)
(2) |
Решая квадратное уравнение (2), найдем tn=3,1c.
Подставим tnв (1), получимS=41м.
Ответ: tn=3,1с, S=41м.
Задача 3. Небольшое тело движется по окружности радиусом Rсо скоростьюV=ktгдеk=const.Найти зависимость полного ускорения от времени.
На рисунке покажем полное ускорение тела и его составляющие.
,;
.
Модуль тангенциального ускорения
.
Модуль нормального ускорения
.
Модуль полного ускорения
Ответ:
Задача 4. Найти величину углового ускорения лопатки турбины, расположенной на расстоянии Rот оси вращения, через времяt1после пуска турбины. Зависимость линейной скорости лопатки от времени выражена уравнениемгдеaиb -постоянные коэффициенты. Найти число оборотовN2через времяt2после пуска турбины. Принять 0=0.
Угловое ускорение
Используем связь угловой скорости с линейной:
.
Найдем зависимость углового ускорения от времени:
В момент времени
.
Угловая скорость
Выразив угол через число оборотов (=2N2) и знаякак функцию времени, получим
Число оборотов лопатки
Ответ: ;.
задачи для самостоятельного решения
1.1. Свободно падающее тело последние 196 м пути прошло за 4 с. Найти время падения.
1.2. Во сколько раз отличается время движения катера туда и обратно по реке и по озеру? Скорость течения реки 3 км/ч, скорость катера относительно воды в обоих случаях 9 км/ч. Расстояние считать одинаковым.
1.3. С какой высоты упало тело, если последний метр своего пути оно прошло за время t = 0,1 с?
1.4. Два тела свободно падают с разных высот и достигают земли одновременно. Первое тело падало в течение 2 с, второе - 1 с. На какой высоте было первое тело, когда второе начало падать?
1.5. С балкона бросили мяч вертикально вверх с начальной скоростью V0 = 5 м/с. Через время τ = 2 c мяч упал на землю. Определить высоту балкона и модуль скорости мяча в момент удара о землю.
1.6. Два тела брошены вертикально вверх из одной точки, одно за другим, через время τ = 2 с с начальной скоростью V01 = V02 = 29,4 м/с. Через какое время после бросания первого тела они встретятся?
1.7. Свободно падающее тело в последнюю секунду проходит половину всего пути. Определить высоту, с которой падает тело, и продолжительность его падения.
1.8. Тело, брошенное вертикально вверх, находилось на одной и той же высоте h = 8,75 м два раза с интервалом ∆t = 3 с. Пренебрегая сопротивлением воздуха, вычислить начальную скорость тела.
1.9. Тело брошено вертикально вверх с начальной скоростью V0 = 4 м/с. Когда оно достигло верхней точки полета, из того же начального пункта с той же начальной скоростью V0 вертикально вверх брошено второе тело. На каком расстоянии h от начального пункта встретятся тела? Сопротивление воздуха не учитывать.
1.10. Материальная точка движется прямолинейно с ускорением а=5 м/с2. Определить, на сколько путь, пройденный вn-ю секунду, будет больше пути, пройденного в предыдущую секунду. ПринятьV0 = 0.
1.11. Поезд метро проходит перегон 2 км за 2 мин 20 с. Максимальная скорость поезда 60 км/ч. В начале и конце перегона поезд движется с постоянными ускорениями, равными по абсолютной величине. Определить эти ускорения.
1.12. Два тела свободно падают одно за другим с одной и той же высоты с интервалом времени τ. Через какое время от начала падения первого тела расстояние между ними будет равно r?
1.13. Наблюдатель стоит в начале электропоезда. Первый вагон прошел мимо него за время τ =1 с. Какое время будет двигаться мимо него седьмой вагон? Движение поезда равноускоренное, его начальная скорость V0= 0.