4. Динамика вращательного движения

Момент инерции материальной точки

,

где m- масса точки,r- расстояние от оси вращения.

Момент инерции твердого тела

где - расстояние элемента массыот оси вращения.

При непрерывном распределении массы

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен

,

где - момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр тяжести параллельно заданной оси,a- кратчайшее расстояние между осями,m- масса тела.

, гдеl- длина стержня, ось перпендикулярна стержню.

, гдеR- радиус диска, ось перпендикулярна плоскости основания.

, гдеR- радиус шара.

, гдеR- радиус кольца, ось перпендикулярна плоскости кольца.

Момент импульса вращающегося тела

где - угловая скорость.

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

где M- момент результирующей силы, действующей на тело.

где F- сила,h- плечо силы - кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы.

При J=const

где - угловое ускорение.

Закон сохранения момента импульса:

,

где- момент импульсаi-го тела, входящего в состав замкнутой системы.

примеры решения задач

Задача 1. По наклонной плоскости, образующей угол с горизонтом, скатывается без скольжения 1) сплошной однородный диск, 2) шар. Определить линейное ускорение их центров. Предварительно вывести общую формулу.

Тело участвует в сложном движении:

1) поступательно движется вниз по наклонной плоскости; 2) вращается вокруг оси, проходящей через центр тяжести.

На рисунке покажем силы, действующие на тело.

Для поступательного движения запишемIIзакон Ньютона в проекциях на осьOX.

. (1)

Для вращательного движения используем закон

, (2)

где - момент инерции,- угловое ускорение.

Момент силысоздает сила трения, плечо которой равноR, две другие силы не создают вращающего момента.

.

Перепишем (2):

.

Выразим силу трения из (3) и подставим в (1):

Отсюда

. (4)

Зная моменты инерции диска и шара

,

найдем ускорения диска и шара

,

Ответ: ,

Задача 2. Вертикальный столб высотой подпиливается у основания и падает на землю, поворачиваясь вокруг основания. Определить линейную скорость его верхнего конца в момент удара о землю. Трением пренебречь.

На рисункеC- центр тяжести столба. Применим закон сохранения механической энергии. Масса распределена равномерно, поэтому в выражении для потенциальной энергии при вертикальном положении столба возьмем высоту его центра тяжестиотносительно нулевого уровня отсчета:.

В горизонтальном положении столб приобретает кинетическую энергию

где J- момент инерции относительно оси, проходящей через неподвижный конец,- угловая скорость.

. (1)

По теореме Штейнера

.

Угловую скорость выразим через линейную скорость упавшего конца:

.

Подставив ив (1), найдем

.

Ответ: .

Задача 3. Стержень массой и длинойможет свободно вращаться вокруг неподвижной оси, проходящей через его верхний конец. Стержень отклоняют в горизонтальное положение и отпускают. Проходя через вертикальное положение, нижний конец стержня упруго ударяет о малую шайбу массой. Определить скорость шайбы после удара.

O

Нулевой уровень отсчета потенциальной энергии проведем через центр тяжести стержня С при вертикальном положении стержня. Запишем закон сохранения механической энергии для стержня до удара.

(1)

где ,- угловая скорость стержня.

Для описания упругого соударения стержня с шайбой используем закон сохранения момента импульса

(2)

и закон сохранения механической энергии

. (3)

В уравнении (2) mVl- момент импульса шайбы. Напомним, что для материальной точкиУ шайбыr = l,

Перепишем (2) и (3):

; (4)

. (5)

Разделив (5) на (4), найдем связь между и:

. (6)

Подставив (6) и в (4), получим

. (7)

Используем (2), тогда (7) примет вид

Ответ:

задачи для самостоятельного решения

4.1. Через блок в виде однородного сплошного диска, имеющего массу m = 500 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 100 г и m₂ = 120 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением на оси блока пренебречь.

4.2. Вал массой m = 100 кг и радиусом R = 5 см вращается с частотой ν = 8 с^-1. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 40 Н, под действием которой вал остановился через время τ = 10 с. Определить момент и коэффициент силы трения.

4.3. За какое время t скатится без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной l = 2 м и высотой h = 10 см?

4.4. Шар массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг оси, проходящей через его центр. Зависимость угла поворота от времени имеет вид φ = А + Bt² + Сt³ , где В = 4 рад/с², С = - 1 рад/с³. Найти закон изменения момента сил, действующего на шар. Определить момент сил спустя время τ = 2 с после начала движения шара.

4.5. Тонкий однородный стержень длиной l = 50 см и массой m = 40 г вращается с угловым ускорением ε = 3 рад/с² вокруг горизонтальной оси, проходящей перпендикулярно стержню: 1) через его середину, 2) через один из его концов. Определить вращающий момент для этих случаев.

4.6. Два тела массами m₁ = 0,25 кг и m₂ = 0,15 кг связаны тонкой нитью, перекинутой через блок. Блок укреплен на краю горизонтального стола, по поверхности которого скользит тело массой m₁. С каким ускорением движутся тела? Коэффициент трения тела массой m₁ о поверхность стола μ = 0,3. Масса блока m₀ = 0,1 кг, и ее можно считать равномерно распределенной по объему блока. Массой нити и трением в подшипниках оси блока пренебречь.

4.7. Через неподвижный блок массой m = 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,5 кг. Определить силы натяжения шнура Т₁ и Т₂ по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

4.8. Маховик в виде однородного диска массой m = 100 кг и радиусом R = 40 см вращался с частотой n = 480 об/мин. Определить момент тормозящей силы, если после начала действия этой силы маховик остановился через время τ = 80 с.

4.9. На шкив радиусом R = 10 см намотана нить, к концу которой привязан груз массой m = 2 кг. Груз опускается со скоростью, меняющейся по закону V = 2 – 8 t (м/с). Найти момент инерции шкива относительно оси вращения. Трением пренебречь.

4.10. Однородный сплошной цилиндр массой m₀ = 5 кг и радиусом R = 20 см может без трения вращаться вокруг неподвижной горизонтальной оси. На цилиндр намотан тонкий нерастяжимый шнур, к которому прикреплён груз массой m₁ = 3 кг. Найти угловое ускорение цилиндра и расстояние, пройденное грузом массой m₁ за первые две секунды движения.

4.11. Через блок в виде однородного сплошного диска массой m₀ = 3 кг, радиусом R = 10 см перекинута невесомая нить, к концам которой привязаны грузы массами m₁ = 2 кг и m₂ = 1 кг. Определить угловое ускорение блока. Трением на оси блока и проскальзыванием нити по блоку пренебречь.

4.12. Маховик, момент инерции которого J = 69,6 кгм², вращается с угловой скоростью ω = 31,4 рад/с. Найти тормозящий момент М, под действием которого маховик останавливается через время τ = 20 с.

4.13. Через блок перекинута невесомая нить, к концам которой привязаны два груза. Груз массой m₂ = 5 кг поднимается со скоростью, меняющейся по закону V = 5 + 0,8 t (м/с), груз массой m₁ опускается. Момент инерции блока J = 510^-2 кгм², его радиус R = 0,2 м. Найти массу опускающегося груза m₁. Трением пренебречь.

4.14. На цилиндр радиусом R = 40 см намотана нить, к концу которой подвешен груз массой m. Груз начал опускаться и за t = 4 с прошел путь h = 2 м. Какова масса груза? Момент инерции цилиндра J_ц = 1,53 кгм².

4.15. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением а = 2,04 м/с².

4.16. Вал массой m = 150 кг и радиусом R = 6 см вращался, делая 9 оборотов в секунду. К цилиндрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой F = 50 Н, и через t = 10 с вал остановился. Определить коэффициент трения .

4.17. Колесо (обруч и 2 стержня) пустили со скоростью V₀ = 2 м/с. За какое время колесо остановится под действием тормозящей силы F = 5 Н? Масса обруча m₁ = 3 кг, масса одного стержня m₂ = 3 кг.

4.18. На барабан радиусом R = 20 см с моментом инерции J = 0,1 кгм² намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,5 кг. До начала вращения барабана груз находился на высоте h = 1 м над полом. За какое время t груз опустится до пола?

4.19. Угол поворота стержня вокруг оси, проходящей через его центр, задан уравнением φ = At + Bt³, где B = 0,2 рад/с³, А = 2 рад/с. Определить вращающий момент М, действующий на стержень спустя время τ = 2 с после начала движения. Момент инерции стержня J = 0,048 кгм².

4.20. Блок, имеющий форму диска массой m = 0,4 кг, вращается под действием сил натяжения нити, к концам которой подвешены грузы массами m₁ = 0,3 кг и m₂ = 0,7 кг. Определить силы натяжения нити Т₁ и Т₂ по обе стороны блока.

4.21. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М = 2 Нм. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно ε = 12 рад/с².

4.22. При торможении частота вращающегося колеса уменьшилась от n₁ = 300 об/мин до n₂ = 180 об/мин за время t = 1 мин. Определить момент силы торможения. Момент инерции колеса J = 2 кгм².

4.23. В медном диске радиусом R = 5 см и толщиной h = 1 мм сделаны симметрично относительно его центра два круглых выреза радиусом г = 2 см каждый, причем их центры удалены от центра диска на расстояние а = 2,5 см. Определить момент инерции диска с вырезами относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр. Плотность меди ρ = 8,9 г/см³.

4.24. Определить момент инерции цилиндрической муфты относительно оси, совпадающей с ее осью симметрии, масса муфты m = 2 кг, внутренний радиус г = 3 см, внешний  R = 5 см.

4.25. Определить момент инерции полого шара массой m = 0,5 кг относительно оси, проходящей через центр. Внешний радиус шара R = 0,02 м, внутренний - г = 0,01 м.

4.26. Платформа, имеющая форму диска, может вращаться около вертикальной оси. На краю платформы стоит человек массой m₁ = 60 кг. На какой угол повернется платформа, если человек пойдет вдоль её края и, обойдя его, вернется в исходную точку? Масса платформы m₂ = 240 кг. Момент инерции человека рассчитывать так же, как для материальной точки.

4.27. На горизонтальной скамье Жуковского (однородный диск, который может вращаться с малым трением относительно вертикальной оси, проходящей через его центр) стоит человек и держит в руках стержень длиной l = 2,4 м и массой m = 8 кг, расположенный вертикально по оси вращения скамьи. Скамья с человеком вращается с частотой ν = 1 с^-1. С какой частотой будет вращаться скамья с человеком, если он повернет стержень в горизонтальное положение? Суммарный момент инерции человека и скамьи J = 6 кгм².

4.28. На краю горизонтальной платформы, имеющей форму диска радиусом R = 2 м, стоит человек массой m₁ = 80 кг. Масса платформы m₂ = 240 кг. Платформа может вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Пренебрегая трением, найти, с какой угловой скоростью ω будет вращаться платформа, если человек будет идти вдоль ее края со скоростью V = 2 м/с относительно платформы.

4.29. Диск массой m₁ = 10 кг с лежащим на его краю шариком массой m₂ = 1 кг вращается с частотой n₁ = 10 об/мин относительно оси, проходящей через его центр. Шарик перекатывается в центр диска. Найти частоту n₂.

4.30. Однородный стержень длиной l = 2 м и массой m = 8 кг подвешен за один конец и может вращаться без трения вокруг горизонтальной оси. В середину стержня ударилась и застряла в нем пуля массой m₁ = 10 г, летевшая со скоростью V = 800 м/с. На какой угол отклонился стержень?

4.31. Горизонтальная платформа массой m = 80 кг и радиусом R = 1 м вращается с частотой n = 20 об/мин. В центре платформы стоит человек и держит в вытянутых руках гири. Какой станет частота вращения платформы, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от J₁ = 2,94 кгм² до J₂ = 0,98 кгм²? Считать платформу круглым однородном диском.

4.32. Кинетическая энергия вращающегося маховика равна E = 1000 Дж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав N = 80 оборотов, остановился. Определить момент силы торможения M.

4.33. Маховик, момент инерции которого равен J = 4,0 кгм², начал вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием момента силы М = 20 Нм. Вращение продолжалось в течение времени t = 10 с. Определить кинетическую энергию, приобретенную маховиком.

4.34. Тонкий прямой стержень длиной l = 1 м прикреплен к горизонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол  = 60⁰ от вертикали и отпустили. Определить линейную скорость V нижнего конца стержня в момент прохождения через положение равновесия.

4.35. Однородный стержень длиной l = 85 см подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. Какую наименьшую скорость V надо сообщить нижнему концу стержня, чтобы он сделал полный оборот вокруг оси?

4.36. Горизонтально летевшая пуля попала вертикальный однородный стержнь массой m = 210 кг и длиной l = 1 м и застряла в нем. Стержень может свободно вращаться вокруг точки закрепления верхнего конца в шарнире. Пуля имела импульс Р = 3 кгм/с и попала в стержень на расстоянии l = 20 см от точки закрепления стержня. Найти угловую скорость , которую приобретет стержень с пулей.

4.37. На какой угол  надо отклонить однородный стержень, подвешенный на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня, чтобы нижний конец стержня при прохождении им положения равновесия имел скорость V = 5 м/с? Длина стержня l = 1 м.

4.38. Платформа в виде диска вращается по инерции около вертикальной оси с частотой n₁ = 14 об/мин. На краю платформы стоит человек. Когда человек перешел в центр платформы, частота вращения возросла до n₁ = 25 об/мин. Масса человека m = 70 кг. Определить массу платформы M. Момент инерции человека рассчитывать так же, как и для материальной точки.

4.39. Маховик в виде сплошного однородного диска массой m = 80 кг и радиусом R = 30 см находится в состоянии покоя. Какую работу требуется совершить, чтобы привести диск во вращение с частотой n = 10 об/с? Какую работу пришлось бы совершить при этом, если бы диск при той же массе имел вдвое больший радиус?

4.40. Карандаш длиной l = 15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какие угловую  и линейную V скорости будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша; 2) верхний его конец? Нижний конец карандаша не проскальзывает.

4.41. Определить линейную скорость V центра шара, скатившегося без скольжения с наклонной плоскости высотой h = 1 м.

4.42. Однородный диск вкатывается в горку с начальной скоростью V₀ = 12 км/ч. Определить угол наклона горки α, если до полной остановки диск пройдет по горке расстояние l = 2 м.

4.43. Вентилятор вращается с частотой n = 900 об/мин. После выключения он сделал до остановки N = 75 оборотов. Работа сил торможения равна A = 44,4 Дж. Найти: 1) момент инерции вентилятора J; 2) момент силы торможения M.

4.44. Какой путь пройдет катящийся без скольжения диск, поднимаясь вверх по наклонной плоскости с углом наклона  = 30⁰, если ему сообщена начальная скорость V = 7 м/с, направленная вдоль наклонной плоскости?

4.45. Диск массой m₁ = 5 кг и радиусом R = 5 cм, вращающийся с частотой n = 10 об/мин, приводится в сцепление с неподвижным диском массой m₂ = 10 кг такого же радиуса. Определить энергию, которая пойдет на нагревание дисков, если при их сцеплении скольжение отсутствует. Диски имели общую ось вращения после сцепления.

4.46. Диск радиусом R = 10 см и массой m = 2 кг вращается с частотой ν = 2 об/с вокруг оси, проходящей через его центр. Какую работу надо совершить, чтобы увеличить частоту вращения диска вдвое?

4.47. Шарик массой m = 60 кг, привязанный к концу нити длиной l₁ = 1,2 м, вращается в горизонтальной плоскости с частотой n₁ = 2 об/с. Нить укорачивается, приближая шарик к оси вращения до расстояния l₂ = 0,6 м. С какой частотой n₂ будет при этом вращаться шарик? Какую работу совершает внешняя сила, укорачивая нить?

4.48. Шар и диск, двигаясь с одинаковой скоростью, вкатываются вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимается выше? Найти отношение высот подъема.

4.49. Маховик вращается с частотой n = 10 об/с, его кинетическая энергия равна Т = 7,85 кДж. За какое время t вращающий момент М = 50 Нм, приложенный к этому маховику, увеличит угловую скорость маховика в два раза?

4.50. Колесо начинает вращаться с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад/с и через время t₁ = 15 с после начала движения приобретает момент импульса L = 73,5 кгм²/с. Найти кинетическую энергию колеса через t₂ = 20 с после начала вращения.