5. Механические колебания

Уравнения гармонических колебаний:

x=Acos(t+₀),x=Asin(t+₀),или их линейная комбинация,

где x - смещение точки от положения равновесия,A- амплитуда,t+₀ - фаза колебаний в момент времениt,- циклическая частота,₀- начальная фаза.

где иT- частота и период.

Дифференциальное уравнение свободных колебаний материальной точки:

или

где ,m- масса точки,k- коэффициент квазиупругой силы.

Полная энергия точки, совершающей гармонические колебания,

Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный маятник),

где m- масса тела,k- жесткость пружины.

Период колебаний математического маятника

где l- длина нити,g- ускорение свободного падения.

Период колебаний физического маятника

где J- момент инерции тела относительно оси колебаний,a- расстояние центра масс маятника от оси колебаний.

Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

или,

где c- коэффициент сопротивления, - коэффициент затухания,- собственная циклическая частота колебаний.

Уравнение затухающих колебаний (частное решение дифференциального уравнения):

где A₀- амплитуда колебаний в момент времениt=0,

A(t)- амплитуда затухающих колебаний в момент времениt.

Декремент затухающих колебаний

Логарифмический декремент колебаний

где T- период.

примеры решения задач

Задача 1. Математический маятник длиной l₁=40 сми физический маятник в виде тонкого прямого стержня длинойl₂=60 смсинхронно колеблются около одной и той же горизонтальной оси. Определить расстояниеaцентра масс стержня от оси колебаний.

При синхронном колебательном движении маятников их периоды равны ,

где .

Отсюда

(1)

Момент инерции физического маятника определяется по теореме Штейнера:

(2)

Подставив (2) в (1), получим квадратное уравнение

(3)

Из (3) найдем два корня: a₁=10 см,a₂=30 см.

Таким образом, при одном и том же периоде колебаний физического маятника возможны два варианта расположения оси.

Величину (1) называют приведенной длиной физического маятника.

Ответ: a₁=10 см, a₂=30 см.

Задача 2. Найти уравнение, связывающее модуль импульса P_xи координатуxодномерного гармонического осциллятора. Масса осциллятораm₁, циклическая частота₀, амплитуда колебанийA.

Запишем уравнение гармонических колебаний

(1)

Тогда

(2)

Выразим из (1) а из (2),

(3)

(4)

Возведем (3) и (4) в квадрат и сложим. Учитывая, что

получим

- уравнение эллипса.

Ответ: .

Задача 3. Математический маятник совершает малые колебания в среде, в которой коэффициент затухания . Определить времяпо истечении которого амплитуда маятника уменьшится в пять раз.

Вследствие трения колебания маятника будут затухающими:

где - угол отклонения нити маятника от вертикали в момент времениt, приt=0,=0.

Амплитуда затухающих колебаний изменяется со временем по экспоненциальному закону

. (1)

Запишем (1) для моментов времени tиt+:

, .

Отношение амплитуд

. (2)

Логарифмируя (2), найдем

.

Ответ: =1,79 с.

задачи для самостоятельного решения

5.1. Под действием грузика пружина растянулась на x = 9 см. Определить период собственных колебаний T этой системы.

5.2. Найти отношение длин двух математических маятников, если отношение их периодов Т₁/ Т₂ = 1 ,5.

5.3.Математический маятник установлен в лифте, который подни­мается с ускорением a = 2,5 м/с². Определить период T собственных колеба­ний маятника. Его длина равна 1 м.

5.4. Лифт, в котором колеблется математический маятник, опускается с ускорением a = 3 м/с². Определить период колебаний T маятника. Его длина равна 1 м.

5.5. Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединённым "последовательно". Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты жесткости пружин равны k₁ и k₂.

5.6. Грузик массой m подвешен к двум пружинам, соединенным "параллельно". Определить частоту колебаний груза. Коэффициенты жесткости пружин равны k₁ и k₂.

5.7. Медный шарик, подвешенный к пружине, свободно колеблется. Как изменится период колебаний этой системы, если вместо медного подвесить алюминиевый шарик таких же размеров?

5.8. На стержне длиной l = 30 см закреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Эта система может свободно вращаться около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определять период собственных колебаний T этого физического маятника. Массой стержня пренебречь.

5.9. На стержне длиной l = 30 см и массой m = 1 кг, закреплены два одинаковых грузика: один - в середине стержня, другой - на одном из его концов. Эта система может свободно вращаться около горизонтальной оси, проходящей через свободный конец стержня. Определять период собственных колебаний T этого физического маятника.

5.10. Диск радиусом R = 20 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через середину радиуса перпендикулярно его плоскости. Определить частоту  собственных колебаний этого физического маятника.

5.11. Однородный стержень массой m и длиной l может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через его конец. Определить частоту собственных колебаний стержня.

5.12. Однородный стержень массой m, длиной l может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l/4 от одного из его концов. Определить период колебаний этого физического маятника.

5.13. На горизонтальном столе лежит шар массой 200 г, прикрепленный к горизонтально расположенной пружине жесткостью 500 Н/м. В шар попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний шара. Перемещением шара во время удара, сопротивлением воздуха и тре­нием между поверхностью шара и стола пренебречь.

5.14. Однородный стержень массой 0,5 кг и длиной l м может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. В противоположный конец стержня попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 300 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний стержня.

5.15. Однородный стержень может вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей на расстоянии 1/4 от одного из его концов. В противоположный конец попадает пуля массой 10 г, летящая горизонтально со скоростью 200 м/с, и застревает в нем. Определить амплитуду и период колебаний стержня. Масса стержня 0,5 кг, длина 1 м.

5.16. За 5 мин амплитуда математического маятника уменьшилась в 2 раза. За какой промежуток времени его амплитуда уменьшится в 8 раз?

5.17. Математический маятник длиной 1 м колеблется в воздухе. За 10 мин его амплитуда уменьшилась в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания.

5.18. Грузик массой m, подвешенный к пружине жесткостью k, колеблется в среде. Логарифмический декремент затухания равен 9. За какой промежуток времени амплитуда уменьшится в 2 раза? Сколько полных колебаний совершит тело за это время?

5.19. Два последовательных максимальных отклонения математического маятника длиной l от вертикали равны φ₁ и φ₂, φ₂ <φ₁ << 1. Вычислить логарифмический декремент затухания и период колебаний маятника.

5.20. Кусок мяса положили на весы. Три последовательных крайних положения стрелки весов были такие: a₁ = 560 г, a₂ = 440 г, a₃ = 520 г. Какова действительная масса куска мяса? Вычислить лога­рифмический декремент затухания колебаний стрелки весов.

5.21. Под действием вынуждающей силы F_x = F₀cos(ωt) груз массой m, подвешенный на пружине жесткостью k, колеблется. Определить частоту вынуждающей силы, при которой наступит резонанс.

5.22. Чему равна резонансная амплитуда у системы без трения? Имеет ли максимум резонансная кривая при коэффициенте затухания, рав­ном β ≥ ω₀ /?

5.23. Для трех коэффициентов затухания β₁ < β₂ < β₃ нарисовать на одном чертеже качественные резонансные кривые.

5.24. Уравнение движения системы имеет вид . Вычислить период колебаний системы: 1) если нет вынуждающей силы и нет силы трения; 2) если система совершает установившиеся вынужденные колебания.

5.25. В молекуле азота частота колебаний атомов равна 4,4510¹⁴ Гц, масса одного атома 2,3210^-26 кг. Найти коэффициент квазиупругой силы, действующей между атомами.

5.26. Определить период, частоту и начальную фазу свободных колебаний, заданных уравнением х = Asinω(t + τ), где ω = 2,5 π с^-1 , τ = 0,4 с, А - константа.

5.27. Колебания материальной точки заданы уравнением х = Acos(ωt + φ), где А = 2 см, ω = π с^-1 , φ = π /4 рад. Построить графики зависимости смещения точки от положения равновесия, ее скорос­ти и ускорения.

5.28. Даны амплитуда и период свободных колебаний пружинного маятника: А = 4 см, Т = 2 с. Написать уравнение этих колебаний. В момент возникновения колебаний (0) = 0,(0) < 0.

5.29. Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т = 6 с. Диаметр окружности d = 20 см. Написать уравнение движения проекции точки на ось х. Принять, что в момент времени t = 0 х(0) = 0. Найти смещение, скорость и ускорение проекции точки в момент времени t = 1 с.

5.30. Пружинный маятник совершает гармонические колебания. Какие из приведенных выражений для полной энергии колеблющегося тела верны?

Здесь k - жесткость пружины; A - амплитуда; m - масса тела; ω - циклическая частота; x - смещение тела от положения равновесия; V - скорость; F_max - максимально упругая сила

5.31. Гармонический осциллятор совершает колебания. Какие из перечисленных величин достигают максимального значения в крайнем положении: скорость, ускорение, упругая сила, кинетическая энергия, потенциальная энергия?

5.32. Колебания материальной точки заданы уравнением х = Acos(ωt), где А = 5 см, ω = 2 с^-1. Определить ускорение тела в момент времени, когда скорость его будет равна 8 см/с.

5.33. Колебания математического маятника заданы уравнением φ = φ₀sin(ωt + а). Маятник отклонили на угол φ₁ = 0,1 π, а затем отпус­тили. Определить начальную фазу.

5.34. Колебания материальной точки заданы уравнением х = 7sin0,5πt. За какой промежуток времени она проходит путь от поло­жения равновесия до максимального смещения?

5.35. Записать уравнение гармонических колебаний материальной точки, если период колебаний Т = 2 с, максимальное ускорение а_max = 49,3 см/с², начальное смещение точки от положения равновесия х(0) = 25 мм.

5.36. Для гармонического осциллятора массой m с координатой х = Acos(ωt + π/4) нарисовать графики зависимостей: T(t), u(t), E(u), T(u), T(x) u(x). Т, u, E - кинетическая, потенциальная и полная меха­ническая энергия осциллятора.

5.37. Колебания гармонического осциллятора заданы уравнением х = Asin(ωt + φ₀). Выразить через амплитуду А и начальную фазу φ₀ значения координаты и скорости в момент времени t = 0.

5.38. Изобразить в моменты времени t₀ = 0 и t₁ = π /2ω на векторной диаграмме колебания: а) х = Acos(ωt + π/4), б) х = 2Acos(ωt- -π/6). Константа А > 0.

5.39. Колебания материальной точки заданы уравнением х = Acosωt, где А = 8 см, ω = 2π/3 Гц. В момент времени, когда сила, действующая на тело, в первый раз достигла 5 мН, потенциальная энергия была равна 100 мкДж. Определить этот момент времени и соответствующую ему фазу.

5.40. Частота затухающих колебаний 10³ Гц. Определить частоту собственных колебаний системы, если резонанс наблюдается при частоте 998 Гц.

5.41. Пружинный маятник массой m и с жесткостью k колеблется под действием вынуждающей силы F = F₀sin(ωt). Зависит ли амплитуда колеба­ний и как она зависит от F₀, ω, m и k? Если зависит, то каким образом?

5.42. Колебания материальной точки заданы уравнением x = Asin(ωt). В момент времени, когда смещение тела было x₁ =2,4 см его скорость достигла V₁ = 3 см/с. В момент времени, когда смещение было x₂ = 2,8 см, его скорость стала равной V₂ = 2 см/с. Найти амплитуду и период этих колебаний.

5.43. Смещение шарика массой m = 10 г от положения равновесия описывается уравнением х = Asin(πt/5 + π/4), где А = 5 см. Определить максимальную силу, действующую на тело, и его полную энергию.

5.44. Записать уравнение гармонических колебаний. Известно, что максимальная скорость материальной точки равна V_max = 10 cм/с, а ее максимальное ускорение a_max = 100 см/с². Принять начальную фазу колебаний равной нулю.

5.45. Записать уравнение гармонических колебаний материальной точки. Известно, что ее максимальное смещение x_max = 10 см, а максимальная скорость V_mах = 20 см/c. Принять начальную фазу колебаний равной нулю.

5.46. Колебания гармонического осциллятора описываются уравнением x = Asin(ωt). В некоторый момент времени смещение осциллятора х₁ было равным 5 см. Когда фаза колебаний увеличилась в 2 раза, смещение стало х₂ = 8 см. Определить амплитуду колебаний.

5.47. Колебания гармонического осциллятора описываются уравнением x = Asin(ωt), где А = 10 см, ω = 5 Гц. Вычислить действующую на осциллятор силу: 1) когда ωt = π/3; 2) когда смещение осциллятора максимально.

5.48. Амплитуды вынужденных колебаний при частотах вынуждающей силы ₁ = 200 Гц и ₂ = 300 Гц равны. Определить частоту, соответст­вующую резонансу.

5.49. Три последовательных аиплитудных положения качающейся стрелки гальванометра соответствуют делениям шкалы: n₁ = 20,0; n₂ = 5,6 и n₃ = 12,8. Считая декремент затухания постоянным, определить деление, соответствующее положению равновесия стрелки.

5.50. Каков общий путь, пройденный материальной точкой до полного затухания колебаний? Амплитуда первого колебания равна 1 мм, логарифмический декремент затухания равен 0,002.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №I

Варианты заданий для студентов заочной формы обучения

Вариант Номера задач

0 1.11 1.272.11 2.26 3.11 3.37 4.11 4.36 5.1 5.26

1 1.12 1.28 2.12 2.27 3.12 3.38 4.12 4.37 5.2 5.27

2 1.13 1.29 2.13 2.28 3.13 3.39 4.13 4.38 5.3 5.28

3 1.14 1.30 2.14 2.29 3.14 3.40 4.14 4.39 5.4 5.29

4 1.15 1.322.15 2.30 3.15 3.41 4.15 4.40 5.5 5.30

5 1.16 1.33 2.16 2.31 3.16 3.42 4.16 4.41 5.6 5.31

6 1.17 1.38 2.17 2.32 3.17 3.43 4.17 4.42 5.7 5.32

7 1.18 1.39 2.18 2.33 3.18 3.44 4.18 4.43 5.8 5.33

8 1.19 1.40 2.19 2.34 3.19 3.45 4.19 4.44 5.9 5.34

9 1.20 1.412.20 2.35 3.20 3.46 4.20 4.45 5.10 5.35

Библиографический список

1. Волькенштейн В.С.Сборник задач по общему курсу физики. - М.: Наука, 1979.

2. Детлаф А.А., Яворский Б.М.Курс физики. - М: Высш. шк., 1989.

3. Джанколи Д. Физика. – М.:Мир, 1989.

4. Зисман Г.А., Тодес О.М.Курс общей физики. – Киев: «Днипро», 1994.

5. Иродов И.Е.Задачи по общей физике. - М.: Наука, 1988.

6. Савельев И.В.Курс общей физики. Т.1. Механика. - М.: Наука, 1989.

7. Сивухин Д.В.Общий курс физики. Т.1. Механика. - М.: Наука, 1989.

8. Стрелков С.П.Механика. - М.: Наука, 1975.

9. Трофимова Т.И.Курс физики. Учеб. пособие для вузов. - М.: Высш. шк., 1989.

10. Фиргант Е.Г.Руководство к решению задач по курсу общей физики. - М.: Высш. шк., 1978.

11. Чертов А.Г., Воробьев А.А.Задачник по физике. - М.: Высш. шк. 1981.

12. Яворский Б.М., Детлаф А.А. Справочник по физике. - М.: Наука, 1980.

60