20. Числа, фигуры, множества как примеры математических моделей. Компьютерное моделирование.

Построение математических моделей явлений основано на отвлечении от всех свойств предметов, кроме их количественных отношений и пространственных форм. Однако это не всегда было возможно для человеческого разума, ибо требует высокую степень умения абстрагироваться от второстепенного, умения выделять главное.

Процесс создания понятия числа можно разделить на несколько этапов:

1. Устанавливалась равночисленность различных множеств, а общее свойство равночисленных множеств еще не отделялось от конкретной природы сравниваемых множеств (например, знали, что два рыболова поймали поровну рыб, но не выражали этого каким-либо числом).

2. Численность одних множеств выражается через численности других множеств, е. общее свойство равночисленности начинает осознаваться как нечто отличное от конкретной природы самого множества. Однако в качестве эталонов выступают еще различные множества, состоящие из камешков, раковин, пальцев.

3. Определенное множество (например, множество пальцев на руках и на ногах) начинает выступать в качестве своеобразного единственного эталона количества, что позволяет выделить общее свойство численности, отличное от всех особенных свойств множеств.

4. Общее свойство всех эквивалентных множеств абстрагируется от самих множеств и выступает в «чистом виде», т. е. как абстрактное понятие натурального числа.

5. Происходит отвлечение от реально существующих ограничений счета и возникает понятие о сколь угодно больших числах, о развертывающемся в бесконечность натурального рядя чисел. Наконец, возникает абстракция бесконечного множества натуральных чисел. Возникает система чисел с ее свойствами и закономерностями.

Понятие числа, возникшее как математическая модель операции пересчета предметов, само становится основой для построения новых математических моделей.

Похожий путь прошли в своем развитии и такие геометрические понятия, как «прямая линия», «плоскость», «шар», «цилиндр», «пирамида» и т: д. Сначала люди сталкивались с различными телами, имевшими форму, похожую на те или иные фигуры, и стали классифицировать тела по их форме. Говорили — имеет такую же форму, как натянутая нить или как еловая шишка («конос»), или как столик для еды («трапецион») и т. д. В дальнейшем при изготовлении предметов им старались придать ту или иную форму. Таким образом, сначала придавали форму тем или иным предметам, а лишь потом стали осознавать форму как то, что может быть рассмотрено в отвлечении от материала, из которого изготовлен предмет. Далее, возникли понятия геометрических фигур (конуса, пирамиды и т. д.), отвлеченные от реальных прообразов этих фигур. Они являлись математическими моделями, к изучению которых приводилось изучение реальных тел, мало отличающихся от этих фигур.

Дальнейшее развитие привело к расширению класса тел, используемых для построения таких моделей, а после создания аналитической геометрии математики получили возможность строить бесконечное множество самых разнообразных моделей тел, используя задание геометрических фигур уравнениями и неравенствами. В свою очередь, геометрические фигуры стали моделями уравнений и неравенств.

Одной из наиболее абстрактных моделей действительного мира, в которой отвлекаются от всех свойств предметов, кроме принадлежности их одному и тому же классу, является понятие множества.У такого, казалось бы, наглядного понятия, как «множество», существуют различные математические модели. Это особенно важно потому, что теория множеств дает универсальную систему понятий, охватывающую все математические теории и широко используемую для построения математических моделей.

Компьютерное модели́рование — исследование объектов познания на их моделях, реализуемое с помощью компьютерной техники; построение и изучение моделей реально существующих объектов, процессов или явлений с целью получения объяснений этих явлений, а также для предсказания явлений, интересующих исследователя.

Для компьютерного моделирования важно наличие определенного программного обеспечения.

При этом программное обеспечение, средствами которого может осуществляться компьютерное моделирование, может быть, как достаточно универсальным (например, обычные текстовые и графические процессоры), так и весьма специализированными, предназначенными лишь для определенного вида моделирования.

Очень часто компьютеры используются для математического моделирования. Здесь их роль неоценима в выполнении численных операций, в то время как анализ задачи обычно ложится на плечи человека.

Обычно в компьютерном моделировании различные виды моделирования дополняют друг друга. Так, если математическая формула очень сложна, что не дает явного представления об описываемых ею процессах, то на помощь приходят графические и имитационные модели. Компьютерная визуализация может быть намного дешевле реального создания натуральных моделей.

С появлением мощных компьютеров распространилось графическое моделирование на основе инженерных систем для создания чертежей, схем, графиков.

Если система сложна, а требуется проследить за каждым ее элементом, то на помощь могут прийти компьютерные имитационные модели. На компьютере можно воспроизвести последовательность временных событий, а потом обработать большой объем информации.

Однако следует четко понимать, что компьютер является хорошим инструментом для создания и исследования моделей, но он их не придумывает. Абстрактный анализ окружающего мира с целью воссоздания его в модели выполняет человек.

Различают аналитическое и имитационное моделирование.

При аналитическом моделировании изучаются математические (абстрактные) модели реального объекта в виде алгебраических, дифференциальных и других уравнений, а также предусматривающих осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению.

При имитационном моделировании исследуются математические модели в виде алгоритма(ов), воспроизводящего функционирование исследуемой системы путём последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

Компьютерное моделирование дает возможность:

• расширить круг исследовательских объектов - становится возможным изучать не повторяющиеся явления, явления прошлого и будущего, объекты, которые не воспроизводятся в реальных условиях;

• визуализировать объекты любой природы, в том числе и абстрактные;

• исследовать явления и процессы в динамике их развертывания;

• управлять временем (ускорять, замедлять и т.д);

• совершать многоразовые испытания модели, каждый раз возвращая её в первичное состояние;

• получать разные характеристики объекта в числовом или графическом виде;

• находить оптимальную конструкцию объекта, не изготовляя его пробных экземпляров;

• проводить эксперименты без риска негативных последствий для здоровья человека или окружающей среды.

Моделирование проходит три этапа:

1. Создание модели.

2. Изучение модели.

3. Применение результатов исследования на практике и/или формулирование теоретических выводов.