Лаб_практикум_Вычисл_матем_Кузина-Кошев

Продолжение прил. 1 Метода Гаусса или метод последовательного исключения неизвестных относится к прямым методам решения СЛАУ и основан на приведении матрицы коэффициентов A(i,j) к треугольному виду – прямой ход;

обратный ход – последовательное нахождение неизвестных (рис. 1-П). Входные данные: N – число уравнений; A(i,j) – массив коэффициентов

системы; B(i) – массив свободных членов.

Выходные данные: X(i) – массив неизвестных – решения СЛАУ.

Блок-схема алгоритма метода Зейделя

Рис. 2-П. Блок-схема алгоритма метода Зейделя

111

Продолжение прил. 1 Метод Зейделя относится к итерационным методам решения СЛАУ

(рис. 2-П).

Входные данные:

n – число уравнений, число неизвестных;

aij – матрица коэффициентов системы; bi – столбец свободных членов; e – погрешность.

Выходные данные:

xi –решение; k – число итераций.

Блок-схемы алгоритмов итерационных методов решения нелинейных уравнений

Блок схема алгоритма метода отделения корня

Входные данные (рис. 3-П): XN – начальное значение координаты, от которого производится поиск; DX – шаг изменения.

Выходные данные: LG и PG – левая и правая границы интервала.

			Начало
			XN, DX
		Y1=f (XN)
		Y2=f (XN+DX)
Нет		Y1*Y2<0		Да
						LG=XN
Y1=Y2
						PG=XN+DX

XN=XN+DX Конец

Рис. 3-П. Блок-схема алгоритма метода отделения корня

112

Продолжение прил. 1

Блок схема алгоритма метода простых итераций

Входные данные (рис. 4-П): a и b левый и правый концы интервала; e – погрешность.

Выходные данные: x – решение.

Начало
Ввод x, e
y = F(x)
tmpX = x
x = y
|x-tmpX| ≤ e	Нет
Да
Корень x ± e
Конец

Рис. 4-П. Блок-схема алгоритма метода простых итераций

113

Продолжение прил. 1

Блок схема метода половинного деления

Входные данные (рис. 5-П): a и b левый и правый концы интервала; e – погрешность.

Выходные данные: x – решение.

Начало

a, b, e

Нет

f (a)·f(b) < 0

Да

x = (a + b) / 2

			Да
x – точное
решение				f (x) = 0
					Нет
			Да
				b - a ≤ e
					Нет		Да
Корень x ± e				f (a)·f(x) < 0
					Нет
Конец
				a = x				b = x

Рис. 5-П. Блок-схема алгоритма метода половинного деления

114

	Продолжение прил.	1
Блок схема алгоритма метода хорд
Входные данные (рис. 6-П): xa и xb – левый и правый концы интервала;
e – погрешность.
Выходные данные: xn – решение.
	Начало
	xa, xb, e
Нет	Да
	f (b)·f "(b) > 0
V = xa, x=xb,	V = xb, x=xa,
FV=f(xa)	FV=f(xb)
Нет	Да
	V = xb
xn = a +	xn = x -
+ (FV(x-xa))/(FV-f(x))	- (f(x)(xb-x))/(FV-f(x))
Нет	|xn - x| ≤ e
	Да
x = xn	Корень xn
	Конец
Рис. 6-П. Блок-схема алгоритма метода хорд

115

Продолжение прил. 1

Блок схема метода Ньютона (касательных)

Входные данные (рис. 7-П): x0 – точка начального приближения; e – погрешность.

Выходные данные: x – решение.

Рис. 7-П. Блок-схема алгоритма метода Ньютона (касательных)

Блок-схемы алгоритма метода Ньютона для решения СНУ

На рис. 7-П, иллюстрирующем алгоритм итерационного метода Ньютона для решения СНУ, используются следующие обозначения:

fi – заданные функции fi x1, x1, , xn ;

fij – частные производные fi x1, x1, , xn x j ;

x – поправка для приближения корня, вычисляется из матричного уравнения f (k 1) x(k) f (k 1) .

Входные данные: n – число уравнений; M – число итераций; xi – вектор начальных приближений; e – погрешность.

Выходные параметры: xi – вектор решений, k – число итераций.

П р и м е ч а н и е .

Метод Ньютона эффективен только при достаточной близости начального приближения к решению системы. Практически метод Ньютона применяется для уточнения решения полученного каким-либо другим методом.

116

Продолжение прил. 1

Рис. 7-П. Блок-схема алгоритма метода Ньютона

117

Продолжение прил. 1

Блок-схема алгоритма интерполирования функций методом Лагранжа

На рис. 8-П приведен алгоритм интерполирования функции методом Лагранжа.

Входные данные: массивы X и Y, общее число пар n.

Выходные данные: L(X) – массив значений полинома Лагранжа в узлах интерполирования.

Начало		X
n		L = 0
I=0, N
		I = 0,N
X(I),Y(I)		L1= C(I)
I=0, N
		J= 0, N
S(I)=1	да	нет
		I=J

L1 = L*(X-X(J))

J=0, N

L=L+L1

да нет

I=J

L(X) = L1

S(I) = S(I) (X(I)-X(J))

			Конец
	C(I) = Y(I) / S(I)

Рис. 8-П. Блок-схема алгоритма метода Лагранжа

118

Продолжение прил. 1

Блок-схемы алгоритмов численного интегрирования Блок схема алгоритма метода прямоугольников

b

На рис. 9-П приведен алгоритм расчета интеграла S f (x)dx

a

методом прямоугольников.

Входные данные: a и b минимальное и максимальное значения интервала интегрирования, n – количество разбиений.

Выходные данные: S – решение.

Начало

a, b, n

h = (b - a) / n

S = S+f (a + (i-1)h)h i = 1, n

S

Конец

Рис. 9-П. Блок-схема алгоритма метода прямоугольников

Блок схема алгоритма метода трапеций

На рис. 10-П приведен алгоритм расчета определенного интеграла методом трапеций.

Входные данные: a и b минимальное и максимальное значения интервала интегрирования, n – количество разбиений.

Выходные данные: I – решение.

119

Продолжение прил. 1

Начало

a, b, n

h = (b - a) / n

S = S+f (a+(i-1)·h)+ + f (a+ i·h); i = 1, n

I = S ·h / 2

I

Конец

Рис. 10-П. Блок-схема алгоритма метода трапеций

Блок схема алгоритма метода Симпсона

На рис. 11-П приведен алгоритм расчета определенного интеграла

b

S f (x)dx методом Симпсона.

a

Входные данные: a и b минимальное и максимальное значения интервала интегрирования, n – количество разбиений.

Выходные данные: I – решение.

120