Лаб_практикум_Вычисл_матем_Кузина-Кошев

Решение.										x1 0,5x22
																	0,1;
										10x2		x			2		0,1
											1
x [0,01;						0,2];
на интервале	1					0,1].
x2 [ 0,1;
Начальные значения:			x		(0) 0,2						и x(0)		0,1.
				1							2
По итерационной схеме (4.1) метода Ньютона получим:
		X					X				F		X						F X
				1					0							0		1				0
		0,2						1			0,1 1			0,105							0,111
																									;
		0,1						4									0,2					0,057
											1
		X						X			F		X						F X
				2						1						1		1				1
	0,111							1			0,057							1		0,013					0,101
																										.
	0,057						2,22						1							0,08				0,0015

При решении системы с точностью																0,001									ответ						x1 0,1			и x2 0
получен на 4-й итерации.
В итерационной схеме (4.2) метода Ньютона – Рафсона параметр
выберем произвольно:						0 1. Пусть const 0,7.
Тогда:				X			X		F X										F X
					1			0						0			1							0
				0,2					1	0,1 1					0,105										0,138						;
						0,7
				0,1					4							0,2
							X				1												0,01
				X					F X										F X
						2		1							1		1							1
	0,138							1		0,01 1								0,013												0,111
						0,7																										.
								2,76			1									0,08									0,014
	0,01
Решение с точностью 0,001 получено на 6-й итерации.
По итерационной схеме (4.3) метода Левенберга – Марквардта при
const 0,1 получим:							X			F X					k E							F X
				X
					1			0					0							1								0
		0,2				1	0,1			0,1		1			0	1					0,105										0,118			;
		0,1				4						0			1							0,2
							1																							0,044

51

					X		X		F X			k E					F X
						2		1			1					1				1
	0,118				1		0,044			0,1			1	0	1				0,019						0,103
	0,044				2,36			1					0	1					0,083						0,08428	.
Решение с точностью 0,001 получено на 3-й итерации.

Решимсистемуградиентнымметодом. Дляэтогоприведемееквиду(4.4):
							S X x												0,5x							2	2		10x2								x						2	2
																	1									2								1
100x4			20x2 x				2		x2						x x					2 0,2x									0,25x4 0,9x2																	0,2x			2	0,02.
		1				1						1						1		2							1										2								2
По итерационной схеме (4.5) определяем:
												X				1	X						0	0						S X 0
																																										.
																														S X 0
Найдем градиент в произвольной точке:
								S
																			400x13							2x1					x22						40x1 x2									0,2
		S X								x
												1												2						3
										S																																						.
																			20x1							x2					2x1 x2 1,8x2															0,2
										x2
Вычислим S X 0 S(0,2;																							0,1)								1,81
																																					.
Выполним первую итерацию:																														0,379
																																													1,81
												S X						0
	1			0																					0,2
X		X																																										0,379
												S X 0													0,1
								0																								0												2						2
																																					1,81									( 0,379)
																	0,2													0,979
																										0											.
																	0,1
																											0,205
Получим			выражения													x		(1)		0,2 0,979														0		;							x(1)		0,1 0,205								0	. Под-
																	1																											2

ставим их в S(X ) :

( 0 ) 100 0,2 0,979 0 4 20 0,2 0,979 0 2 0,1 0,205 0

0,2 0,979 0 2 0,2 0,979 0 0,1 0,205 0 2 0,2 0,2 0,979 0

0,25 0,1 0,205 0 4 0,9 0,1 0,205 0 2 0,2 0,1 0,205 0 0,02

91,861 40 79,035 30 21,739 20 1,8 0 0,051.

Определим параметр 0. Значение 0 выберем из условия минимума

функции ( 0 ) по переменной 0 . Для этого найдем d ( 0 ) 0 , откуда d 0

52

	0,061. Так как		d 2 (			)	18,654 0,					найденное
0					0
					2
			d 0
обеспечивает минимум функции ( 0 )									по переменной 0 .
	Найдем первое приближение:
			0,2					0,979					0,14
	X (1)				0,061									.
			0,1					0,205
													0,113
	Аналогично вычислим второе приближение:
		0,14						0,055						0,143
	X (2)				0,061
									1					0,052
		0,113

и т.д. Как видим, наблюдается сходимость к решению. Заметим, что для лучшей сходимости метода значение

пересчитывать на каждой итерации.

значение 0

0 необходимо

Пример 1 0 .

Исследовать на сходимость СНУ и решить с использованием системы MathCAD методами простой итерации и Ньютона. Исследовать сходимость методов.

	2	2		x1 0;
	0,5x1	x2
x12 0,5x22 x2 0.
Решение.
Решим СНУ в системе MathCAD.
x1 0.1			x2 0.1
Given
	0.5 x12 x22 x1					0
	x12		0.5 x22 x2			0

0

Find(x1 x2)

0

Для решения методом простой итерации СНУ приводится к виду

x1 0,5x12 x22 ;x2 x12 0,5x22 .

Решение будем искать на интервале [0; 0,3]. Выясним сходимость итерационного метода:

		x , x	2		0,5x2		x2	;	1						x		,				1						2x				2				;
1		1				1	2		x1				1									x2
		x , x			x2	0,5x2;			2						2x				,			2							x	2			.
	2	1		2	1		2		x						1							x	2
									1

53

Очевидно, что

max

x1

2x2

,

x2

2x1

1,

0 x1 0,3;

0 x2 0,3.

Откуда следует сходимость метода простой итерации.

Действительно, пусть x0 x

0

0,1, тогда

0,5 0,1 2 0,1 2

1

2

0,5 0,015 2 0,015 2

x1

0,015,

x2

0,00034

1

0,1 2 0,5 0,1 2

1

0,015 2 0,5 0,015 2

x12

0,015,

x22

0,00034

Нетрудно видеть, что процесс решения сходится к точному решению

x1 0,

x2 0.

Приведём пример программы, реализующей алгоритм метода простой

итерации в MathCAD.

N e 0.001

x01 0.1

x02 0.1

for i 1 500

x1 0.5 x012 x022

x2 x012 0.5 x022

break if ( x1 x01 e) ( x2 x02 e)

						otherwise
							x01 x1
							x02 x2
			c0 x1
			c1 x2
			c2 i
			c						1.709		7
											10		корни уравнения
								N	1.709		7
											10
													количество итераций
										3
Решим СНУ методом Ньютона.
Выберем начальное приближение x (0) 0,1;														x (0)	0,1.
		x , x				0,5x2							1	2
f	1			2				x2	x ;
		1				1		2	1
f	2	x , x			2	x2 0,5x2			x	.
		1				1		2	2

Итерационная схема метода Ньютона

X (k 1) X (k) W 1 X (k ) F X (k ) ,

где W – матрица Якоби,

W (x , x		1		x	2x				,		0,9	0,2		,
		)		1	1	x	2			W (0,1; 0,1)	0,2	0,9
1	2		2x				2
				1

54

	W		W 1	1		0,9	0,2
		0,77,						.
			0,77			0,2	0,9

Вычислим значения исходных функций в точке начального прибли-

жения F 0,1; 0,1 0,085 .0,085

Подставив полученные значения в итерационную схему, получим:

x11			0,1		1		0,9	0,2			0,085			0,1		0,12				0,26
																					.
1					0,77		0,2	0,9			0,085					0,12				0,26
x2			0,1											0,1

Видим, что даже за одну итерацию достигнуто существенное приближение к точному решению: x1 0, x2 0.

Приведём пример программы, реализующей алгоритм метода Ньютона в MathCAD.

M

e 0.001

0.1

x

0.1

for i 1 500

0.5 x0

2

x1

2

x0

F

x 2

0.5 x

2 x

0

1

1

x1 1

x1

2

3 x1 x0 x0 x1 1

3 x1 x0 x0 x1

1

W1

x0

x0 1

2

3 x x x x 1

3 x

x x x 1

1

0

0

1

1

0

0

1

X1 x W1 F

break

if

x0 X10

e

x1 X11

e

x X1

c0 X10

c1 X11

c2 i

6.27

7

10

корни системы уравнений

c

M

6.27

7

10

количество итераций

3

Получим символьное выражение матрицы, обратной матрице Якоби,

(x2 1)

2

x2

x1 1

2 x2 1

(3 x2 x1

x1 x2 1)

(3 x2 x1 x1 x2 1)

x1

(x1 1)

2 x1

2

(3 x2 x1

x1

x2 1)

(3 x2 x1 x1 x2 1)

x2 1

и используем ее в программе.

55

Как видно из полученного в системе MathCAD решения, требуемая точность достигнута на 3-й итерации как в методе простой итерации, так и в методе Ньютона.

Если начальное приближение выбрать	x (0)	0,01;	x (0)	0,01, реше-
	1		2

ние будет получено на 2-й итерации.

Пример 1 1 .

Решить СНУ методом Ньютона, методом Ньютона – Рафсона и методом Левенберга – Марквардта в системе MathCAD. Сравнить сходимость методов.

x2 x 0;

1 2

sin x1 x2 0.

Решение.

		x1 1							x2 1
Given
x12 x2			0							Find(x1 x2)						0.877
sin(x1) x2							0									0.769
Итерационная схема метода Ньютона
X (k 1) X (k) W 1 X (k ) F X (k ) .
Выберем начальное приближение									x		(0)	1;		x (0)		1.
	x , x							x2		1				2
f							2			x		2	;
1			1						1
f2	x1 , x2							sin x1				x2 .
Найдем матрицу Якоби								2x			1
W (x			, x
							)		1					.
	1				2			cos x					1
											1

Определим аналитически матрицу, обратную матрице Якоби,

	1			1
	(2 x1 cos (x1))		(2 x1 cos (x1))
W1	cos (x1)			x1
		2
	(2 x1 cos (x1))			(2 x1 cos (x1))

и получим решение с точностью 0,001.

56

M

e 0.01

x		1
		1
for i 1 500
					x0		2
	F								x1
				sin x0						x1
										1								1
						(2 x1 cos (x1))											(2 x1 cos (x1))
	W1									cos (x1)										x1
														2
					(2			x1 cos (x1))										(2 x1 cos (x1))
	X1 x W1 F
		break			if			x0 X10					e				x1 X11			e
	x X1
c0 X10
c1 X11
c2 i															0.877								корнисистемы уравнений
c
													M				0.769
																		3					количество итераций
Результаты расчёта сведены в табл. 8.																								Таблица 8
Номер итерации										0							1					2		3		4
x1 k										1							0,891					0,88		0,877		0,877
x2k										1							0,783					0,772		0,769		0,769

Итерационная схема метода Ньютона – Рафсона отличается лишь параметром k, который может быть или убывающей последовательностью, или k const , или выбирается из условия минимума нормы

функции F X k 1 , k от переменной k . Как правило, k 1.

X (k 1) X (k ) kW 1 X (k ) F X (k ) .

Выберем k const . Найдем решения системы при значениях пара-

метра , равных 0,5; 0,75; 0,9.

Приведём пример программы, реализующей алгоритм метода Ньютона

– Рафсона в MathCAD.

57

M

e 0.001

x			1
			1
0.5
for			i 1 500
					x			2 x
		F			0			1
				sin x0 x1
								1													1
							(2 x1 cos (x1))											(2 x1 cos (x1))
		W1							cos (x1)														x1
																2
					(2				x1 cos (x1))											(2 x1 cos (x1))
		X1 x W1 F
			break		if				x0 X10				e					x1 X11						e
		x X1
c0 X10
c1 X11
c2 i														0.878
c																					корни системы уравнений
											M					0.77
																					количество итераций
																9
Результаты расчёта при значениях параметра , равных 0,5; 0,75; 0,9,
сведены в табл. 9.																														Таблица 9
																					0,5
k			1					2			3										4			5				6	7	8		9
x1 k		0,946				0,917					0,901								0,891					0,886				0,882	0,88	0,879		0,878
x2k		0,891				0,836					0,806								0,79					0,781				0,776	0,773	0,771		0,77
																					0,75
k					1									2								3					4		5		6
x1 k					0,919					0,893											0,884						0,88		0,878		0,877
x2k					0,837					0,792											0,777						0,772		0,77		0,769

		0,9
k	1	2	3	4
x1 k	0,902	0,884	0,879	0,877
x2k	0,805	0,777	0,771	0,769

58

Как видно из табл. 9, для данной СНУ метод Ньютона ( 0) имеет бо́льшую скорость сходимости по сравнению с методом Ньютона – Рафсона. Сходимость метода Ньютона – Рафсона зависит от выбора параметра

Итерационная схема метода Левенберга – Марквардта:

								X (k 1)			X ( k )				[F X ( k ) k E] 1 F X ( k ) .
Найдем решения системы при значениях параметра , равных 0,2.
Выберем начальное приближение																							x (0) 1;								x (0) 1.
																								1						2
													f		x , x			2		x2				x		2	;
													1		1								1
													f2		x1 , x2					sin x1					x2 .
Матрица Якоби
W (x	, x					2x				1
				)				1				.
1			2		cos x						1
										1
					2	1					;	F(1,1)									0
W (1,1)
					0,54																0,159
								1
		1						2		1									1		0		1							0				0,87
X (1)								0,54					0,2						0		1													0,713
		1										1																		0,159
										1,74		1				;																	0,0039
W (0,87, 0,713)																					F(0,87, 0,713)
																																	0,0069
										0,645			1
X (2)				0,87						1,74			1							0,2				1		0				1		0,0039						0,887
				0,713																				0	1							0,0069						0,791
										0,645				1
и т.д.
Результаты расчёта сведены в табл. 10.																																				Таблица 1 0
																					0,2
k					1						2					3								4								5					6			7
x1 k		0,87								0,887					0,874							0,878									0,878					0,876				0,877
x2k		0,713								0,791					0,761							0,772									0,772					0,767				0,769

59

Для определим аналитически в среде MathCAD обратную матрицу

		2x1		1			0.2	1	0	1
		cos (x1)		1				0	1
		20.0								25.0
	40.0 x1 25.0 cos (x1)			4.0			40.0 x1			25.0 cos (x1)		4.0
		25.0 cos (x1)						5.0 (10.0 x1 1.0)
40.0 x1		25.0 cos (x1)		4.0			40.0 x1			25.0 cos (x1)		4.0

и составим алгоритм решения СНУ методом Левенберга – Марквардта.

M e 0.001

x1

1

for i 1 500

F x0 2 x1sin x0 x1

20

25

40 x0

25 cos x0 4

40 x0

25 cos x0 4

W1

25 cos x0

5 10 x0 1

40 x0

25 cos x0 4

40 x0

25 cos x0 4

X1 x W1 F

break if

x0

X10

e

x1

X11

e

x X1

c0

X10

c1

X11

c2

i

c

0.877

M0.769

7

Требуемая точность решения достигнута на 7-м шаге итерационного процесса.

Наилучшую сходимость показал метод Ньютона.

60