Лаб_практикум_Вычисл_матем_Кузина-Кошев

Рис. 3. Иллюстрация метода хорд

Если про вторую производную функции f (x) ничего не известно, то

метод хорд позволяет построить аналогичную итерационную схему, но после определения точки с интервал, на котором происходит дальнейшее определение корня, выбирается из условия противоположности знаков функции f (x) на его концах.

Метод Ньютона (метод касательных)

Метод Ньютона (метод касательных) аналогичен методу хорд, но в качестве прямой берется касательная к кривой в точке начального приближения (рис. 4).

Метод касательных применим только в случае, если функция f (x) не

имеет на интервале [a, b]

точек перегиба,

то есть

f (x) сохраняет знак.

Точку

(a

или b),

из которой

начинается

схема

метода касательных,

выбираем из условия

0 .

f ( ) f ( )

Запишем

уравнение

касательной, выходящей

из точки (b,

f(b)):

y f (b)

k f (b) ,

где k – тангенс угла наклона касательной к оси Ox.

x b

Пусть (0, d) – точка пересечения касательной и оси Ox, тогда d b

f (b)

и итерационная схема метода касательных записывается в виде:

f (b)

b b,

b

f (bn 1 )

,

b

b

b .

(3.3)

0

n

f (bn 1 )

n

n 1

n

31

Рис. 4. Иллюстрация метода касательных

Комбинированный метод хорд и касательных

Комбинированный метод хорд и касательных (рис. 5) является одним из наиболее используемых методов поиска корней алгебраических уравнений. Идея метода состоит в одновременном применении метода хорд и метода касательных, которые дают приближение положительного корня с разных сторон. Комбинированный метод удобно использовать, если на отрезке [a, b], содержащем только один корень, вторая производная f x

сохраняет знак. Постоянство знака f x означает, что кривая либо выпуклая ( f x 0), либо вогнутая ( f x 0 ).

Рассмотрим 4 различных случая поведения функции на отрезке [a, b], в

зависимости от знака производных.
В 1-м	случае (рис.	5, а),	когда на отрезке [a, b] функция f (x)
монотонно	возрастает, f		0 , а кривая y f (x) вогнута,		,
		x		f x 0

имеем: касательная пересекает ось Ox со стороны выпуклости (справа), а хорда – со стороны вогнутости графика функции y f (x) , слева.

Абсциссы точек пересечения вычисляются по формулам:

ak 1 ak ak ;

bk 1 bk bk

k 0,1, 2, ,

(3.4)

где a

bk ak f ak

,

b

f bk

.

k

f bk f ak

k

f bk

32

Рис. 5. Иллюстрация комбинированного метода хорд и касательных

Процесс вычисления заканчивается на m-м приближении, когда вы-

полняется неравенство		am bm		,	где – точность вычислений, в
качестве корня определяется величина					x* am bm .
					2

Аналогично использование формул для случая 4 (рис. 5, г), когда
функция f (x) монотонно убывает: f	x 0 , а кривая	y f (x) вогнута:

f x 0 .

Во 2-м случае (рис. 5, б), когда на отрезке [a, b] функция f (x)

монотонно возрастает:		, а кривая	y f (x) выпукла:	f		,
	f x 0				x 0

касательная пересекает ось Ox слева, а хорда – справа. 33

Абсциссы точек пересечения вычисляются по формулам:

ak 1

ak ak ;

bk 1 bk bk

k 0,1, 2, ,

(3.5)

где a

f ak

,

b

bk

ak f bk

.

f bk f ak

k

f ak

k

Аналогично использование формул для случая 3 (рис. 5, в), когда

функция f (x) монотонно убывает: f x 0 ,

а кривая y f (x)

вогнута:

f x 0 .

Пример 5 .

1.Выделить отрезок, в котором лежит корень уравнения lg x x2 0 .

2.Определить корень на выделенном отрезке методами простой итерации, половинного деления, комбинированным методом хорд и касательных.

Решение.

Построив график функции f (x) lg x x2 (рис. 6), определим интервал, в котором находится корень заданного уравнения: 0,5; 0,55 .

	Рис. 6. Отделение корня уравнения
Для решения	методом		простой итерации		уравнение lg x x2	0
приведем к виду	x	lg x ,	т.е. (x)	lg x .	Заметим, что в правой

части формулы x 1, следовательно, lg x 0.

Проверим сходимость итерационного процесса, для чего определим

max

.

(x)

x 0.5, 0.55

Из формулы

1

1

1

(x)

x

2

ln10

lg x

видно,

что

возрастает на

интервале

0,5; 0,55 , т.к. функции

1

и

(x)

x

1убывают с возрастанием x.

lg x

34

А поскольку

убывает

на

этом

интервале и,

(x) 0 , то

(x)

соответственно,

max

0,7916

1,

что

обеспечивает

(x)

(0,5)

x 0.5, 0.55

сходимость метода, причем немонотонную.

0,5 0,55 0,525 ,

В качестве начального приближения выберем

x(0)

2

зададим точность решения =0,001. Тогда

x x

(1)

(2)

log(x(0) ) log(0,525) 0,529;

log(x(1) ) log(0,529) 0,5259;

x(3)	log(x(2) )			log(0,5259) 0,526				и т.д.
Все вычисления сведены в табл. 2.										Таблица 2
i		0		1	2	3	4	5	6		7	8
x(i)		0,525	0,529		0,5259	0,526	0,5282	0,5265	0,5278		0,5268	0,5276
(x(i) )		0,529	0,5259		0,526	0,5282	0,5265	0,5278	0,5268		0,5276	0,527
x(i 1)

Решение x 0,527 получаем на 8-й итерации.

Методом половинного деления найдем корень на выделенном отрезке,

для чего вычислим zk ak 1 bk 1 .

2

P

f (ak 1 ) f (zk ) :

Рассматриваем

произведение

если

P 0 , то

принимаем ak zk , bk bk 1 , иначе ak ak 1

и bk zk .

Процесс заканчивается при таком m , когда

am bm

2 .

Все вычисления сведены в табл. 3.

Таблица 3

a, b

x

f(x)

zk

f(zk)

P

am bm

a

0,5

–0,05103

0,525

–0,004216

+

0,05

b

0,55

a1

0,525

–0,004216

0,5375

0,019284

–

0,025

b1

0,55

a2

0,525

–0,004216

0,5313

0,007525

–

0,00625

b2

0,5375

a3

0,525

–0,004216

0,5281

0,001627

–

0,003125

b3

0,5313

a4

0,525

–0,004216

0,5265

–0,00128

+

0,00156

b4

0,5281

a5

0,5266

0,00078

b5

0,52812

35

Корень заданного уравнения x 0,527.

Решим задачу комбинированным методом хорд и касательных. Абсциссы точек пересечения вычислим по формулам (29). Процесс вычисления заканчивается на m -м приближении, когда выполняется соотно-

шение			am bm		.
Все вычисления сведены в табл. 4.											Таблица 4
a, b			x			lg x	x2		lg x x2	Поправки		am bm
a		0,50				–0,3010	0,25		–0,05103	–0,02717		0,05
b		0,55				–0,2596	0,3025		0,04286	0,022682
a1		0,52717				–0,2780	0,2779		–0,00014	–0,0000723		0,00014
b1		0,52731				–0,2779	0,2781		0,000122	0,00004815
a2		0,52724										0,000019
b2		0,52726

Корень заданного уравнения x 0,527.

Пример 6 .

1. Графическим способом определить отрезок [a, b], в котором нахо-

дится действительный корень уравнения ex x 2 0 и приближенное значение корня.

2.Вычислить корень уравнения с точностью 1 10 4 методом половинного деления, комбинированным методом и с использованием системы

MathCAD.

3.Оценить скорость сходимости метода Ньютона.

Решение.

1) Построив график функции f x ex x 2 в системе MathCAD (рис. 6),

определим интервал, в котором находится корень заданного уравнения.

f(x) ex x 2

0.4

0.2

f(x) 0

0.2

0.4

0.42

0.43

0.44

0.45

0.46

Рис. 6. Графический способxопределения интервала нахождения корня уравнения

36

[a, b] [0.42; 0.46]. Приближенное значение корня x 0,44.

Графическое решение уравнения: Format Graph Trace (рис. 7). Чтобы найти корень уравнения графически, необходимо включить трассировку в меню «Формат» и установить маркер в точке пересечения графика с осью абсцисс. В окне диалога отобразятся координаты маркера.

				Рис. 7. Графический способ определения корня уравнения
	2) Решим уравнение методом половинного деления.
	Найденный				отрезок делим		пополам	точкой	zk ak 1 bk 1	ak 1	и
вычисляем f zk . Если						P f ak 1 f zk 0 , то принимаем				2
										ak zk ,
bk bk 1,				иначе	ak ak 1	и	bk zk .	Процесс	заканчивается, когда
	am bm			.

Фрагмент вычислений в среде MathCAD:

f (x) ex x 2
a 0.42	b 0.46
f (a) 0.058038				f (b) 0.044074
		b a			z 0.44	3
z a			2			f (z) 7.292781 10

a z

37

		z a		b a					z 0.45	f (z) 0.018312
	b z			2
				b a
												3
		z a		2					z 0.445	f (z) 5.490196 10
	b z и т.д.							0.0001 0.4428 – корень уравнения.
	На 9-й итерации					a b
	Все вычисления сводим в табл. 5.											Таблица 5
a,b		x				f x			zk	f zk	P	am bm
a		0,42		–0,058					0,44	–0,0072	+	0,04
b		0,46
a1		0,44		–0,0072					0,45	0,018	–	0,02
b1		0,46
a2		0,44		–0,0072					0,445	0,054	–	0,01
b2		0,45
a3		0,44		–0,0072					0,4425	–0,0009	+	0,005
b3		0,445
a4		0,4425		–0,0009					0,44375	0,0022	–	0,025
b4		0,4425
a5		0,4425		–0,0009					0,443125	0,000692	–	0,00125
b5		0,44375
a6		0,4425		–0,0009					0,4428125	–0,000107	+	0,00625
b6		0,443125
a7		0,4428125	–0,000107						0,44296875	0,000292	–	0,0003125
b7		0,443125
a8		0,4428125	–0,000107						0,442890625	–0,000093	-	0,00015625
b8		0,44296875
a9		0,4428125										0,000078125
b9		0,442890625

3) Решим уравнение ex x 2 0 комбинированным методом хорд и

касательных в среде MathCAD. f (x) ex x 2

a 0.42 b 0.46

38

f (a) 0.058038

f (b) 0.044074

Определим аналитически первую производную функции и найдем ее

значения на концах интервала.

d

x

x

d

d

dx

e

x 2

e

1

f (a)

2.521962

f (b )

2.584074

da

db

b

0

метод

слева –

метод

f b f

справа применяем

касательных,

хорд:

(b a)f (a)

a1 a

f (b) f (a)

a1 0.442735

b1 b

f (b)

d

f (b)

b1 0.442944

db

a a1

b b1

a2 a

(b a)f (a)

a2 0.442854

f (b) f (a)

b2 b

f (b)

b2 0.442854

d

f (b)

db

b2 a2

0.442854

0.442854

0 1 10 4

0.442854 –

корень

урав-

нения.

4) Оценим скорость сходимости метода Ньютона.

Известно,

что

итерационный процесс

x(n)

x(n 1)

сходится

при

n , если max

1.

(x)

x a,b

f (x)

Итерационная

схема

метода

Ньютона

(x) x

,

т.е.

f

f (x)

f

(x)

(x)

(x)

. После подстановки в последнюю формулу функции

2

f x ex

f (x)

x 2 , а также ее первой и второй производных, получим:

(ex x 2) ex

(x)

.

ex 1 2

(0,46) 0,027

На

концах

интервала (0,42) 0,035 ,

max

1, что говорит о хорошей сходимости метода Ньютона.

x

x 0,42, 0,46

39

Пример 7 .	56 x графическим способом определить
1. Для функции f (x) (28 x)3

отрезок [a, b], в котором находится действительный корень уравнения

f(x) 0 и приближенное значение корня.

2.Вычислить корень уравнения с точностью 1 10 3 с использованием системы MathCAD методами простой итерации, половинного деления и комбинированным.

3.Оценить скорость сходимости метода Ньютона.

Решение.
1)	Графический метод отделения корней (рис. 8).
				2
	0.06	0.04	0.02	0	0.02	0.04	0.06
				2
	Рис. 8. Графический способ отделения корней уравнения

Как видно из графика, уравнение имеет 3 корня: 1-й корень в интер-

вале [– 0,06; – 0,04], 2-й – в [– 0,01; 0,01], 3-й – в [0,04; 0,06]. Уточним ко-

рень, находящийся внутри 3-го интервала различными методами. На рис. 9 представлено графическое решение уравнения: Format Graph Trace.

Рис. 9. Графический способ определения корня уравнения

40