УП_Вычисл_матем_Кузина-Кошев

7.АППРОКСИМАЦИЯ ФУНКЦИЙ

7.1Метод наименьших квадратов

Вотличие от полиномиальной интерполяции в данном случае решается задача о приближении (аппроксимации) функции f (x) , заданной таблично,

такой функцией (x) , чтобы среднее квадратичное отклонение (x) от f (x) в заданной области было наименьшим. Функция (x) при этом назы-

вается аппроксимирующей функцией, а метод построения такой функции – методом наименьших квадратов. Основной задачей аппроксимации является построение приближенной (аппроксимирующей) непрерывной функции, наиболее близко проходящей около заданных точек.

При среднеквадратичном приближении мерой отклонения (x) от заданной функции f (x) на множестве точек (x j , y j ), j 0, ..., n является

величина S, равная сумме квадратов разностей между аппроксимирующей функцией и функцией, заданной таблично:

			n		2
		S x j y j .
			j 0
Практически важным случаем такой аппроксимации является случай
приближения табличной функции многочленом
x a	0	a x a		2	x2 a	m	xm , m n.	(49)
		1
При этом коэффициенты aj			нужно подобрать так, чтобы достичь наи-

меньшего среднеквадратичного отклонения многочлена от известных значений заданной функции:

		n	2
min		m	y j
	S a0 a1x j am x j			.
ai ,i 0,...,m		j 0

Такойметодаппроксимацииприводитксистемелинейныхалгебраических уравнений, которую всегда нетрудно решить любым известным способом.

Поскольку параметры a0 , a1 , ..., am выступают в роли независимых пере-

менных функции S, то ее минимум находится путем приравнивания нулю частных производных S по этим переменным:

	S		0;	S	0; ;	S		0.
	a	0		a		a	m
				1

Определив частные производные и положив их равными нулю, получим:

101

S

2

n

y

a

a x

a

x2

... a

xm

1 0;

j

0

j

2

m

a0

1

j

j

j 0

S

2

n y

a

a x

a

x2

... a

xm

x

0;

j

0

j

2

m

j

a1

1

j

j

j 0

S

n

2

m

2

2 y j

a0

a1 x j

a2 x j

... am x j

x j

0;

a2

j 0

S

n

y

xm xm 0.

2

a

a x

a

x2

... a

j

0

j

2

m

a

1

j

j

j

m

j 0

Приведя коэффициенты при неизвестных a0 , a1, ..., am в соответст-

вующие суммы и перенеся свободные члены вправо от знака равенства, получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

n

n

n

n

n

1 a

0

a

x

j

a

2

x2

a

m

xm

y

j

;

1

j

j

j 0

j 0

j 0

j 0

n

n

n

n

n

a0

x j

a1 x2j

a2 x3j

am xmj

1

y j x j ;

(50)

j 0

j 0

j 0

j 0

j 0

n

n

n

n

n

a0

xmj

a1 xmj

1 a2 xmj 2 am x2j m

y j xmj .

j 0

j 0

j 0

j 0

j 0

Решив эту систему, найдем коэффициенты a0 , a1 , ..., am многочлена (49),

которые являются искомыми параметрами эмпирической3 функции. Систему (50) можно записать в более компактном виде:

b00 a0 b01a1 b0m am c0 ;b10 a0 b11a1 b1m am c1;

bm0 a0 bm1a1 bmm am cm .

n	n
Здесь bkl xkj	l , ck xkj y j ,	k, l 0, , m.
j 0	j 0

Система линейных уравнений (50) называется нормальной системой. Для её решения удобно применять метод Зейделя, который сходится для любой степени аппроксимирующего полинома.

3 Эмпирическая (выборочная) функция распределения в математической статистике – это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него

(ru.wikipedia.org).

102

При m 0 получим выражение (x) = P0(x)=a0, которое рассчитаем из уравнения

n

n 1 a0 y j

j 0

или

n

y j

a0 j 0

n 1

(среднее значение функции y на отрезке аппроксимации).

При т = 1 полином примет вид: (x) = P1 (x) a0 a1 x . Коэффициенты a0 и a1 находятся из системы уравнений

1 a

n

x a

n

y

;

n

0

j

j 1

j 0

j 0

n

n

n

xi a0 x2j a1 y j x j .

j 0

j 0

j 0

Это линейная аппроксимация.

(x) P (x) a

a x a

x2

При m 2 имеем следующий полином:

0

2

, а

2

1

коэффициенты a0, a1 и a2 находятся при решении системы трех уравнений с тремя неизвестными:

n

x

a

n

x

2a

n

y

;

n 1 a

0

2

j

j 1

j

j 0

j 0

j 0

n

j

0

n

j

1

n

j

2

n

j

j

a

y

;

x

x2a

x3a

x

j 0

j 0

j 0

j 0

n

n

n

n

x2j a0 x3j a1 x4j a2 y j x2j .

j 0

j 0

j 0

j 0

При

m 3

искомый

полином

имеет

следующий вид:

(x) P (x) a

0

a x a

x2

a x3

, а коэффициенты a0, a1, a2 и a3 находятся

3

1

2

3

из системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

103

n 1 a

n

x

a

n

x

2 a

n

x

3a

n

y

;

0

2

3

j

j 1

j

j

j 0

j 0

j 0

j 0

n

n

n

n

n

x j a0 x2j a1 x3j a2 x4j a3 y j x j ;

j 0

j 0

j 0

j 0

j 0

(51)

n

n

n

n

n

x2j a0 x3j a1 x4j a2 x5j a3 y j x2j ;

j 0

j 0

j 0

j 0

j 0

n

n

n

n

n

3

4

5

a2

6

a3

3

x j a0

x j

a1 x j

x j

y j x j .

j 0

j 0

j 0

j 0

j 0

Пример 3 2 .

Используяметоднаименьшихквадратов, построитьаппроксимирующи- й полином 3-й степени для функции, заданной в табличном виде (табл. 6):

							Таблица 6
x		3		3,2	3,4	3,7	3,9	4
y		–14		–10	–8	–12	–16	–18
Решение.
Здесь n 5,		m 3 .

Найдем минимум суммы квадратов отклонений:

5

min (xj ,a0,a1,a2 ,a3 ) yj 2.

a0 , ,a3 j 0

Полином третьей степени выглядит следующим образом:

(x) P3 (x) a0 a1x a2 x2 a3 x3.

Коэффициенты a0 , a1 , a2 , a3 вычислим, решив СЛАУ (51).

Решение в среде табличного процессора MS Excel приведено на рис. 26. Представлены графики табличной функции (штриховая линия) и аппроксимирующей функции (сплошная линия).

Решение данного примера в MathCAD приводится в лабораторном практикуме (см. пример 24 [21]).

Для аппроксимации таблично заданных функций по методу наимень-

ших квадратов можно применять и функции, отличные от полиномиальных

и содержащие некоторые неизвестные коэффициенты, определенные, как и в случае полиномиальной аппроксимации, из условия минимума суммы квадратов отклонений значений аппроксимирующей функции от заданных значений.

104

x i		y	x i 2	x i 3	x i 4	x i 5	x i 6	x i y i	y i x i 2	y i x i 3
3		-14	9	27	81	243	729	-42	-126	-378
3,2		-10	10,24	32,768	104,8576	335,5443	1073,741824	-32	-102,4	-327,68
3,4		-8	11,56	39,304	133,6336	454,3542	1544,804416	-27,2	-92,48	-314,432
3,7		-12	13,69	50,653	187,4161	693,4396	2565,726409	-44,4	-164,28	-607,836
3,9		-16	15,21	59,319	231,3441	902,242	3518,743761	-62,4	-243,36	-949,104
4		-18	16	64	256	1024	4096	-72	-288	-1152
21,2		-78	75,7	273,044	994,2514	3652,58	13528,01641	-280	-1016,52	-3729,05
Система					b i		Обратная матрица
6		21,2	75,7	273,044	-78		177164,0824	-153086,6273	43851,34	-4164,51
21,2		75,7	273,044	994,251	-280		-153086,6273	132522,1826	-38029,2	3617,938
75,7		273,044	994,2514	3652,58	-1016,52		43851,34362	-38029,15304	10932,56	-1041,9
273,04		994,251	3652,58	13528	-3729,05		-4164,507216	3617,938415	-1041,9	99,46654

a i

654,97

467,187

106,94

7,48298

x i

y

P 3

3-14 13,8736

3,2 -10 9,8856

3,4 -8 8,70627

3,7 -12 11,4177

3,9 -16 15,6886

4-18 18,4282

Рис. 26. Пример аппроксимации методом наименьших квадратов в MS Excel

Пример 3 3 .

Результаты эксперимента характеризуются таблицей (табл. 7). Подобрать аппроксимирующую функцию и решить задачу аппроксимации.

					Таблица 7
j	0	1	2	3		4
xj	5	10	20	30		40
yj	1	5	20	200		2000

Решение.

Аппроксимирующая функция y x должна удовлетворять условию:

n	2
S x j y j min.

j 0

105

Можно перебрать различные варианты элементарных функций или их

комбинации, например: y(x) sin x ,	y(x) x2 ,	y(x) ln x ,	y(x) ex ,
y(x) a sin(x b) c cos(x d) e x2	и т.д.

Сложно найти общий подход к вопросу выбора аппроксимирующих функций. Можно построить график табличной функции и определить вид зависимости.

Заданная табличная функция напоминает экспоненту, поэтому в качестве аппроксимирующей выберем функцию y a ebx . Определим

наилучшие значения параметров a и b. Для этого вычислим min S . Составим сумму квадратов отклонений S a,b :

S(a,b) 4 aebx j y j 2

j0

(ae5b 1)2 (ae10b 5)2 (ae20b 20)2 (ae30b 200)2 (ae40b 2000)2 .

Продифференцируем полученное выражение по переменным a и b:

S(a,b) 4 2 aebx j y j ebx j ;

a j 0

S(a,b) 4 2 aebx j y j aebx j x j .

b j 0

Приравнивая нулю эти частные производные, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

S(a,b) 2 aebx j y j ebx j 0;
	4
a	j 0	y j aebx j x j	0.
S(a, b) 2 aebx j
	4
b	j 0

На рис. 27 приводится решение полученной системы нелинейных уравнений в MathCAD.

	5			1
	10			5
x	20	y		20
	30			200
	40
				2000

106

7.2. Оценка параметров эмпирической формулы, построенной по экспериментальным данным на примере линейной модели

Пусть xi (i = 1, …, n) – значения аргумента таблично заданной функции;

– значения табличной функции в j-м наблюдении (j = 1, …, Pi);

a 0.2

b 0.5

4

Given

b xi

b xi

2 a e

yi

e

0

i 0

4

b xi

b xi

xi

0

2 a e

yi

a e

i 0

0.2

u Find(a b)

u

0.23

2000

0.2 e0.23 x1

1000

y

0

10

20

30

40

x1 x

Рис. 27. Аппроксимация экспоненциальной функцией в системе MathCAD

Решение системы – a 0,2 и b 0,23 – обеспечивает наилучшее приближение функции y 0,2 e0,23 x к заданной табличной функции.

yi, j

Pi – число наблюдений величины yi.

107

							P
	Пусть x – среднее для xi, yi						i yi, j
							j 1	– математическое ожидание ве-
							Pi
					n
	личины	yi, j , а			yi	– среднее значение математических ожиданий yi .
			y		i 1
					n

Будемсчитать, чтотабличнозаданнаяфункцияаппроксимируетсялинейной

моделью y a b x . Тогда

оценки

коэффициентов

линейной

модели

можно произвести по формулам:

xi yi x

yi Pi

Pi

xi yi

x yi Pi

b

Pi

N

;

(52)

2

2

2

2

)

xi x

Pi (xi

x

a y bx.

Для оценки адекватности модели реальной табличной функции вычисляют следующие величины: Sr2 , называемую взвешенной суммой

квадратов, и Sl2 – меру рассеивания, вызванного случайной ошибкой.

Sr2	1			Pi ( yi		yˆi )2 ,
				n
		n 2		i 1
		n	Pi
		( yi, j yi )2				(53)
2		i 1	j 1
Sl							,
				n
			Pi		n

i 1

где yˆi a b (xi x) .

Затем по специальным таблицам вычисляется величина F1- , которая называется критерием Фишера, причем есть уровень значимости – мера допустимой ошибки, которая определяется требуемой точностью аппроксимации табличной функции.

Если	S 2	F1 , то выбор линейной модели неадекватен реальной
	r
	Sl2

зависимости, в противном случае модель хорошо описывает процесс.

Пример 3 4 .

Оценить адекватность линейной модели функции, заданной в табл. 8.

						Таблица 8
i		1			2		3
Аргумент хi	10		10	20	20	30	30
Функция yi,j	12,6		12,8	13,8	13,6	16,7	17,5

108

Рассчитать величины a, b, а также Sr2 , Sl2 и оценить их отношение,

считая, что F1- = 5,41. Решение.

Аппроксимируем исходную функцию линейной моделью y a b x ,

для определения коэффициентов которой воспользуемся формулами (55). Определим математическое ожидание yi для каждой величины yi, j и

среднее значение математических ожиданий y .

						y1	12,6 12,8	12,7 .
Аналогично y2 13,7;						y3	2
							17,1.
				12,7 13,7 17,1 14,5; x 10 20 30							20;
		y
				3						3
b	2 (10 12,7 20 13,7 30 17,1) 20 2 (12,7 13,7 17,1)											0,22;
						102 202 302			2
				6				20
							3
					a 14,5 0,22 20 10,1;
							y 0,22 x 10,1.

Оценим адекватность полученной линейной модели по формулам (53).

										yˆ1 10,1 0,22 (10 20) 7,9;
										yˆ2	10,1 0,22 (20 20) 10,1;
										yˆ3	10,1 0,22 (30 20) 12,3.
	Sr2				1			2 (12,7 7,9)2				(13,7 10,1)2			(17,1 12,3)2 118,08;
			3			2
	Sl2				1				(12,6 12,7)2			(12,8 12,7)2			(13,8 13,7)2	0,12.
			6			3
									(13,6		13,7)2		(16,7 17,1)2 (17,5 17,1)2
	Получили					S		2	S 2	984 F				; следовательно, линейная модель неадек-
							r		l			1

ватна реальной зависимости.

7.3.Среднеквадратичная аппроксимация

вметрическом пространстве

Метрическим пространством R = (Х, r) называется множество, в

котором между любой парой элементов определено обладающее определенными свойствами расстояние, называемое метрикой.

ЗдесьХ– множество(пространство) элементов(точек), r – расстояние,

т. е. неотрицательная действительная функция r(х,у), определенная для любых х и у из Х и подчиненная следующим трем аксиомам (аксиомам метрики):

109

1)r(х, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у;

2)r(х, у) = r(у, х) (аксиома симметрии);

3)r(х, z) ≤ r(х, у) + r(у, z) (аксиома треугольника).

В данном разделе рассматриваются функции из метрического пространства L2 [a,b] , то есть функции, интегрируемые на интервале [a, b]

вместе со своим квадратом. Скалярное произведение и норма в таком пространстве определены следующим образом:

( f , g) b	f (x) g(x)dx ;				f (x)				( f , f ) .

a

Общаязадачааппроксимациивэтомслучаезаключаетсявприближении заданной функции f(x) функциями y из L2 [a,b] таким образом, чтобы

f y				была минимальной. Другими словами, необходимо, чтобы

выполнялось условие f y , где – заданная точность аппроксимации.

Наиболее распространена аппроксимация заданной функции комбинацией из системы ортогональных или ортонормированных функций, то

есть функций

k ,

k 1, 2, ,

для

которых

выполняется

условие:

( k , m ) k , m , где k , m

– символ Кронекера ( k , m

1, если k = m;

k , m 0 ,

если k m), если система функций ортонормированная, и ( k , m ) 0

при k

m, если система ортогональная.

Тогда в

качестве

аппроксимирующей функции берется

сумма

n

y ck k (x) ,

и задача аппроксимации сводится к отысканию коэффи-

k 0

циентов ck.

n

k (x)

Итак, имеем задачу:

min

f (x) ck

.

Решим эту задачу.

ck

k 0

f y

2 b ( f y)( f y)dx

f

2 2 ( f , y)

y

2

a

n

n

n

n

f

2 2 ck fk ck2 fk2

fk2 ;

k 0

k 0

k 0

k 0

n

n

( f , y) ck ( f , k ) ck

fk , где

fk ( f , k ) .

k 0

k 0

n

Заметим, что

y

2 ck2 .

k 0

n

n

Тогда

f y

2

f

2 (ck fk )2

fk2 .

k 0

k 0

110