УП_Вычисл_матем_Кузина-Кошев

Все собственные значения положительно определенной симметричной матрицы положительны.

	Пример 1 3 .		4	3
	Проверим, является ли матрица					положительно определен-
		A
			1	2

ной. Для этого найдем соответствующую ей квадратичную форму:

x, AxT 4x1x1 3x1x2 x2 x1 2x2 x2 2 2x12 2x1x2 x22 2 x1 x2 2 x12 .

Это скалярное произведение положительно при любых x1 и x2, одновременно не равных нулю.

2.6. Матричные преобразования

При исследовании свойств матриц, решении систем алгебраических и дифференциальных уравнений и в прочих задачах, где используется матричное исчисление, применяются различные виды преобразований матриц.

2.6.1. Эквивалентное преобразование

Рассматривается квадратная матрица An . Пусть Pn и Qn – неособенные матрицы того же порядка.

	~				называется эквивалентной матрице An , то есть An
	Матрица A Pn AnQn
и	~						~
	An называются эквивалентными друг другу ( An						An ).
				a
				1
	Представим	A		a2		в виде вектор-столбца	вектор-строк ( a	– i-я
		n					i
				...
				an

вектор-строка матрицы Аn) и рассмотрим произведение Pn An :

								n
								p1 j a j
		p11	p12 ...p1n		a1			j 1
								n
								p2 j a j
P A		p21	p22 ... p2n		a2					,
		....................			...		j 1
n n
								..............
		pn1	pn2 ...pnn		an			n
								pnj a j
								j 1

n

где pij a j – сумма строк, умноженных на некоторые коэффициенты pij .

j 1

31

Таким образом, результирующая матрица есть не что иное, как эквивалентное преобразование строк исходной матрицы Аn.

Аналогично, рассматривая матрицу Аn как вектор-строку, состоящую из

вектор-столбцов An a1T

a2T anT , нетрудно получить, что AnQn есть

эквивалентное преобразование столбцов матрицы Аn. Таким образом, нетрудно показать, что эквивалентное преобразование матрицы сводится к последовательности элементарных преобразований следующих типов:

1)перестановка произвольных двух строк (столбцов);

2)умножение строки (столбца) на число;

3)сложение строк (столбцов);

4)прибавлениекстроке(столбцу) другойстроки(столбца), умноженной на число.

С помощью элементарных преобразований произвольную матрицу можно привести к нормальной (или канонической) форме, которая для неособенной матрицы является единичной, а в общем случае имеет вид

E		r	0		, где	Er	– единичная матрица порядка r, а r = rang (Аn) – ранг
Аn =	0		0

матрицы Аn.

Напомним, что рангом матрицы называется наивысший из порядков миноров этой матрицы, определитель которых отличен от нуля.

Ранг матрицы равен количеству линейно независимых вектор-строк или вектор-столбцов матрицы.

На практике для нахождения ранга матрицы используют следующее утверждение: ранг матрицы равен количеству ненулевых строк после приведения матрицы к ступенчатому (треугольному) виду.

Пример 1 4 .
	? ? ? 12 3			4 5 6
		4 5 6
P A	? ? ?			12 3	.
		0 31
	? ? ?			0 31

На какую матрицу требуется умножить данную матрицу А, чтобы поменять местами первую и вторую строки?

010

Ответ: P 10 0 .

0 01

Частным случаем эквивалентного преобразования является преобразование Гаусса – Жордана. Такое преобразование сводится к преобразованию строк расширенной матрицы системы линейных алгебраических уравнений с целью получения единичной матрицы для первых n столбцов.

32

Пример 1 5 .

2x1 x2 4x3 16;

3x1 2x2 x3 10;x1 3x2 3x3 16.

Выполним элементарные преобразования:

1)разделим первую строку на число 2;

2)вычтем из второй строки первую, умноженную на число 3, и запишем результат на место второй строки; из третьей строки вычтем первую и результат запишем на место третьей;

3)и т.д., чтобы получить единичные диагональные элементы и нулевые внедиагональные для квадратной матрицы A коэффициентов системы.

										1							1	1	2		8
2 1			4 16						1			2 8						2
										2
	3 2 1 10					(1)						1 10			(2)			1	- 5		-14		(3)
									3 2					0
																		2
	1 3		3 16						1 3			3 16
																		5
																	0		1		8
																		2
	1		0 7			22
											1 0			7		22			1		0 0 1
		0	1 10			28				(4)		0 1	10					(5)		0	1 0 2
																28								.
		0	0 26 78									0 0		1		3				0	0 1 3

В результате матрица A преобразовалась в единичную, а столбец

свободных членов b – в столбец, элементы которого равны значениям
искомых величин			x1 , x2 , x3 , т.е. A,b преобразуется в E, x , откуда сразу
получаем: x1 1,		x2 2,		x3 3.
			2.6.2. Преобразование подобия
Если P Q	1	,	~	Q	1	AQ , а преобразование называется преобразо-
			то A

ванием подобия.

Матрицы A и ~ называются подобными.

A

Одним из свойств преобразования подобия является свойство сохранения значения определителя преобразуемой матрицы.

Действительно:

~	1	A Q det Q det A det Q	1	det(A) ,
det A det Q

так как

det A B det A det B и det A 1 det1 A .

33

Преобразование при помощи модальной матрицы

Пусть i – собственные числа матрицы А, hi – собственные векторы

матрицы А. Матрица, n столбцов которой являются собственными векторами заданной матрицы А, называется модальной матрицей, которую будем обозначать символом Н.

Преобразование подобия	~		1	AH	приводит матрицу А к диаго-
	A H
нальной форме.
Пример 1 6 .
Привести к диагональной форме матрицу
		3	2		2
		4	5		9
A						.
		4	6		10

Решение.

A E 0 – характеристическое уравнение.

A E			3	2	2
			4	5	9		.
			4	6	10

Алгебраические дополнения элементов первой строки:

11			5				9		2					5 4;
			6				10
12 1 1 2							4	9						4 4;
							4 10
	13				4		5				4 4.
					4	6

Характеристический многочлен:

3 2 5 4 2 4 4 2 4 4 3 8 2 19 12,

решения которого: 1 1,	2 3 ,	3 4.
Найдем собственные	векторы, соответствующие найденным

собственным числам. Для этого решим последовательно три уравнения:

A i E h 0, i 1, 2, 3 .

Замечание (о решении однородных систем линейных алгебраических уравнений).

Рассмотрим однородную систему линейных алгебраических уравнений:

a x

a x

2

...

a

x

n

0;

11 1

12

1n

a21x1 a22 x2 ...

a2n xn 0;

.............................................

a

x

a

n2

x

2

...

a

nn

x

n

0.

n1 1

34

Применим к определителю матрицы коэффициентов системы разложение Лапласа по строке с номером i.

n

aij detij 0, i 1,..,n, detij – алгебраическое дополнение к элементу аij.

j 1

n

Сравним это выражение с записью i-той строки системы: aij x j 0 .

j 1

Нетрудно видеть, что xj K detij , где К – произвольная постоянная.

Таким образом, решение однородной системы линейных алгебраических уравнений можно выразить через соответствующие алгебраические дополнения к элементам некоторого столбца матрицы коэффициентов.

Представим	каждое	решение характеристического уравнения
A i E h 0,	i 1, 2, 3 ,	в виде hi ki ij , где ki 0 – произвольное

число; ij – алгебраические дополнения элементов какой-либо строки матрицы A. То есть собственные векторы запишем в виде:

								j1
				hi	ki					λi
								j 2		λi .
									j3	λ
										i
Следовательно, при 1 1 получим:
			3
			2			3
h	k		5			5		, (выбрали k				1	2 ).
1	1		2
						2
			1

Аналогично:													2					1
2 3 ,			k2	1			,			h2	k			8				4		;
													2
					2									8				4
														0				0
		4,	k			1		,		h k			12					1	.
	3			3								3
					12					3
														12				1
Следовательно, модальная матрица имеет вид:
							3		1	0
									4
			H 5							1
							2		4	1
											.

35

Найдем в MS Excel (рис. 3)		обратную к ней матрицу
		0	0,333	0,333
H 1		1	1	1
		4	4,667	5,667
					.

Для этого выделим диапазон ячеек (I2:K4), и, кликнув (CL) на кнопке f(x) (функция) на панели инструментов, выбираем из вкладки

Математические функцию Мобр.

Переместивуказательвстроку формулвконецформулы=Мобр(E2:G4) и нажав одновременно три клавиши Shift+Ctrl+Enter, получаем в выде-

ленном диапазоне значения обратной матрицы.
	Преобразование подобия							~	1	AH позволяет получить диагональ-
								A H
ную матрицу:
~		0	0,333	0,333			3	2		2			3	1	0			1	0	0
		1	1	1			4	5	9				5 4					0	3	0
A															1						.
		4	4,667	5,667			4	6	10				2	4	1			0	0	4

Для этого выделяем ячейки A7:C9 и в ячейку A7 вводим формулу =Мумнож(I2:K4; A2:C4), выбрав функцию Мумнож из вкладки Математические. Аналогично умножаем полученное произведение на модальную матрицу.

Рис. 3. Пример преобразования при помощи модальной матрицы

Ортогональное преобразование

Если в преобразовании подобия матрица Q – ортогональная, QQT QT Q E , то преобразование называется ортогональным.

Как было показано ранее, одним из важных свойств матрицы ортогонального преобразования является свойство сохранять скалярное

произведение и длину векторов, то есть Qx,Qy x, y , Qxx .

В связи с важностью понятия ортогональной матрицы и ортогонального преобразования необходимо уметь преобразовывать матрицу так, чтобы в

36

результате получить ортогональную. Этот вопрос непосредственно связан с ортогональным преобразованием векторов.

Ортогонализация Грама — Шмидта

Рассмотрим следующую задачу: преобразовать два данных неколлинеарных вектора a и b во взаимно перпендикулярные векторы V1 и V2 .

Решение.

Рассмотримвектор V2 b p , где p прab – проекциявектора b навек-

тор a . Найденныйтакимобразомвектор V2 перпендикуляренвектору a . Так

как a,b

a

b

cos

a

прab

p

a,b

, то V2

b

a,b

a , следова-

a

a

2

V T b

тельно, можно принять V a, V

b

1

V .

V TV

1

2

1

1

1

Полученныетакимобразомвекторы V1,V2 ортогональныдругдругу, что

легко проверяется умножением.

Если взять три вектора a, b и c, то их ортогонализацию можно произвести совершенно аналогично. В результате получим

				V T b				V T c			V T c
	V a,	V b		1		V , V c		1		V	2		V .
				V TV				V TV			V TV
	1	2				1 3				1			2
				1	1	V1 ,V2 ,V3		1	1		2	2
	Ортогональность		векторов				проверяется					непосредственно

умножением.

Произвольный набор векторов a1,a2 ,...an можно преобразовать в набор

взаимно ортогональных векторов при помощи процесса Грама – Шмидта, который в общем виде представляется формулами:

V T a

i

V T a

i

V T

a

i

V

a ,

V

i

a

i

1

V

2

V

...

i 1

V

i 1

1

1

V

2

1

V

2

2

V

2

i 1

.

qi

Vi

1

2

Векторы

образуют ортонормированную систему векторов (они

V

i

взаимно ортогональны и единичной длины).

Пример 1 7 .

1

1

0

Даны векторы a1

a2

0

a3

. Требуется построить систе-

1

,

,

1

0

1

1

му ортогональных векторов V1 ,V2 ,V3

и

ортонормированную систему

векторов q1, q2 , q3 .

37

Определим V1 ,V2 ,V3 , пользуясь полученными выше формулами:

				1						1V				1				1			1/ 2
V a				1	,	V	a		2					0			1	1			1/ 2	,
1	1					2					2	1					2
				0										1				0			1		.
										2/ 3
			1V			1V
V	a	3									2/ 3		.
3				2	1	3	2
											2/ 3

Определим ортонормированную систему. Для этого подсчитаем длины векторов V1 ,V2 ,V3 , равные соответственно 2, 3/ 2, 4/ 3 .

1

1/ 2

2/3

Следовательно, q1

, q2

1/ 2

,

q3

2/3

1/ 2 1

2/3

.

0

2/3

1

2.6.3. Разложение матрицы на произведение ортогональной и треугольной

ВобщемслучаематрицаАn слинейнонезависимымистолбцами(тоесть невырожденная) может быть представлена в виде произведения An Qn Rn ,

где Qn – ортогональнаяматрица, а Rn – верхняятреугольнаяматрица. Такое

представление основано на преобразовании вектор-столбцов аi матрицы Аn по методу Грама – Шмидта.

Пример 1 8 .

1 1 0

Преобразуемматрицу A 1 0 1 , вектор-столбцамикоторойявляются

0 1 1

векторы a1,a2 ,a3 , рассмотренные в примере 17. Тогда из формул для V1 ,V2 ,V3 нетрудно получить:

	V1		2 q1;
a1
a2	V2	(1/ 2)V1		1/ 2 q1		3/ 2 q2 ;
	V3	(1/ 2)V1		(1/ 3)V2		1/ 2 q1	1/ 6 q2 4 / 3 q3 .
a3

Эту систему можно записать в матричной форме:

											2	1/ 2	1/ 2
a					q
	,a	2	,a	3		,q	2	,q	3		0	3/ 2	1/ 6	.
1					1
											0	0	4 / 3

38

Отметим, что верхняя треугольная матрица является транспонированной матрицей коэффициентов записанной выше системы уравнений. Таким образом, мы представили матрицу А как произведение ортогональной и верхней треугольной матриц.

Следствие.

Предположим, что для системы линейных алгебраических уравнений Ax B матрица А представлена в виде произведения ортогональной и треугольной матриц A QR . Такое представление дает возможность

простого решения системы Ax B . Действительно, AT QR T RT QT .

Рассмотрим произведение AT Ax AT B .

После подстановки получим RT QT QR x RT QT B .

Поскольку	Q – ортогональная		матрица, то QT Q E .		Отсюда
RT Rx RT QT B .	Умножив обе части		системы на произведение		1	,
					RT R
получим:	1	RT R x	1
				RT QT B;
	RT R		RT R

xRRT 1 RT QT B;

xR 1QT B;

Rx QT B.

Так как R – треугольная матрица, то система уравнений Rx QT B легко

решается.

Таким образом, если известно разложение матрицы A коэффициентов некоторой системы линейных алгебраических уравнений Ax B на произведение ортогональной и треугольной A QR , то для решения этой

системы достаточно решить систему Rx QT B с треугольной матрицей

коэффициентов R . Пример 1 9 .

Решить систему уравнений:

3x 1;

4x 5y 0.

Решение.

Применяя ортогонализацию Грама – Шмидта к столбцам матрицы

коэффициентов		3	0	, получим представление этой матрицы в виде
	A
		4
			5

произведения матриц

39

	3/ 5 4 / 5		5		4
Q			, R			.
	4 / 5 3/ 5			0	3
Легко проверить, что	Q R A.		Вычислим		QT B , где В – столбец

свободных членов системы B 1 :

0

3/5		4/5 1				3/5
QT B						.
	4/5
		3/5	0			4/5

Следовательно, система, эквивалентная заданной, имеет вид:

5x 4y 3/5;
	3y 4/5.
Находим отсюда y 4 /15,		x 1/ 3. Эти значения являются

одновременно и решением исходной системы уравнений.

2.7. Методы решения СЛАУ

Все методы решения можно разделить на три группы:

1. Прямые (точные) методы, позволяющие получить точное решение после конечного числа арифметических и логических операций. Прямые методы применяются в том случае, если порядок системы невелик (до 103), или же если матрица коэффициентов имеет специальный вид (например, является ленточной – когда ненулевые элементы расположены лишь вблизи главной диагонали).

К прямым методам относятся:

метод Гаусса и его модификации (в том числе метод прогонки);метод обратной матрицы;метод Крамера;

метод LU-разложения матрицы коэффициентов.

2. Итерационные методы, позволяющие после конечного числа операций получить лишь приближенное решение (для получения точного решениятребуетсявыполнитьбесконечноечислоопераций). Итерационные методы основаны на получении постепенно «улучшаемых» приближенных решений. Итерационные методы обычно применяют для решения систем

высокого порядка ( n ~ 103...108 ).

К итерационным методам относятся:метод простых итераций;метод Зейделя;

методы нижней и верхней релаксации.

3. Вероятностные методы, которые позволяют получить грубую оценку решения для систем высокого порядка ( n 108 ).

40