УП_Вычисл_матем_Кузина-Кошев

13. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

13.1. Классификация уравнений с частными производными

Рассмотрим принципы классификации линейных дифференциальных уравнений с двумя независимыми переменными на примере линейного дифференциального уравнения второго порядка. Запишем его в канонической форме:

A(x,t)	2u(x,t)		2B(x,t)		2u(x,t)		C(x,t)	2u(x,t)
		x2			t x			t 2
D(x,t)		u(x,t)		E(x,t)	u(x,t)	F (x,t)u(x,t) G(x,t),
		x			t

где u(x,t) – искомая функция; A(x,t), B(x,t),C(x,t), D(x,t), E(x,t), F(x,t) –

коэффициенты; G(x,t) – свободный член (правая часть).

Предполагается, что коэффициенты и правая часть являются заданными дважды дифференцируемыми функциями, причем

A(x,t) B(x,t) C(x,t) 0 .

Иногда используют упрощенную запись этого дифференциального уравнения:

Auxx 2Butx Cu Dux Eu Fu G.

Взависимостиотзнакавыражения AC B2 (дискриминанта), уравнение

вданной области относится к одному из следующих типов:

1)AC B2 0 – эллиптический тип;

2)AC B2 0 – параболический тип;

3)AC B2 0 – гиперболический тип;

4)AC B2 не сохраняет постоянного знака – смешанный тип.

Если искомая функция зависит от времени, уравнение называется

нестационарным, если не зависит от времени, то стационарным.

Во многих уравнениях присутствует сумма частных производных второго порядка, называемая оператором Лапласа:

	u	2u(x,t)		2u(x,t)		2u(x,t)	– для трехмерной функции
		x2		y2		z2
							u u(x, y, z), где x, y, z – прост-
		2u(x,t)		2u(x,t)			ранственные переменные;
	u						– для двухмерной функции u u(x, y).
		x2		y2

Уравнения параболического типа описывают, например, процессы теплопроводностиидиффузии, гиперболического– колебательныесистемы и волновые движения, эллиптического – течение жидкости в стационарных

151

потоках, стационарное распределение напряженности электрического и магнитного полей.

Тип уравнения определяет формулировку задачи и численный методы его решения.

В математической физике различают три основных типа задач:

1.Задача Коши (с начальными условиями).

2.Краевые (граничные) задачи с краевыми (граничными) условиями.

3.Смешанные задачи (начально-краевые) с начальными и краевыми условиями.

13.2. Уравнение параболического типа (уравнение теплопроводности)

Рассмотрим уравнение теплопроводности (Фурье) вида
	U		a 2U ,
	t			x2
U 0, x U0 x ,		x , 0 t T .
Конечно-разностную аппроксимацию этой задачи представим следу-
ющей разностной схемой:
	uk ,n 1 uk ,n		a	uk 1,n	2uk ,n uk 1,n	,	(124)
					h2
uk ,0 U 0 xk , k 0, 1, ,					n 0,1, , N.

Для определения области устойчивости разностной схемы используем так называемый спектральный признак, который соответствует проверке

устойчивости на частных решениях вида uk ,n neik ,neik n (cosk i sin k ) . Подставив его в выражение (124), получим:

n 1 n	n ,	2a	1 cos .
			h2

Следовательно, n 1 1 n 1 n 1 . Для устойчивости решения необходимо, чтобы

1 1, т.е. 1 2a 1 cos 1, h2

1 1 4ha2 1,

откуда следует, что

4ha2 2и h2 21a ,

что и является условием устойчивости.

152

Разностная схема (124) дает явное выражение для последовательного

вычисления uk ,n 1 через uk ,n ,		uk 1,n , uk 1,n			(явная схема), но является условно
устойчивой.
Рассмотрим другую схему
	uk ,n 1 uk ,n		a	uk 1,n 1	2uk ,n 1 uuk 1,n 1	,	(125)
					h2
uk ,0 u0 xk		,	k 0, 1, , n 0,1, , N .

Величины в правой части схемы (125) берутся с n 1 -го слоя. Разно-

стная схема (125) не дает явного выражения для расчета uk ,n 1 ; поэтому для

нахождения неизвестной функции необходимо решать систему большого числа линейных уравнений. Разностная схема (125) называется неявной.

Точки итерационных слоев для данной схемы (расчетная ячейка) можно изобразить в виде схемы (рис. 34).

Рис. 34. Расчетная ячейка

Для исследования устойчивости этой схемы на функциях вида uk ,n neik нужно повторить все рассуждения, проведенные для явной

схемы. В результате получим доказательство абсолютной устойчивости схемы (125).

13.2.1. Решение разностного уравнения для неявной схемы

Схему (125) запишем в виде

	uk ,n 1 uk ,n	a	uk 1,n 1 2uk ,n 1 uk 1,n 1		0 ,
			h2
uk ,0 u0 xk ,		k 0, 1, , K 1,		n 0,1, , N.

Рассмотрим задачу (126) с заданными условиями на границах x xK :

u0,n 1 n 1 ,

uK ,n 1 n 1.

(126)

x x0 ,

153

Введем обозначение r a h2

(126) в виде

u0 ,

ruk 1 1 2r ukuK .

и, опустив индекс ( n 1), запишем схему

ruk 1 uk ,n ,

k 1, 2, , K 1,

(127)

Специфика системы (127) заключается в том, что каждое k-е уравнение содержит только три неизвестных: uk 1 , uk , uk 1 .

13.2.2. Метод прогонки

Решаемсистему (127) методомпрогонки: поскольку значение u0

задано,

то из уравнения при k 1 находим соотношение между u1

и u2 . С помощью

этого соотношения, используя следующее уравнение,

исключаем u1 и

получаем соотношение между u2 и u3

и т.д.

Предположим, что соотношение между uk

и uk 1 известно:

uk 1 Lk uk M k .

(128)

Тогда из k-го уравнения получим

uk

ruk 1 uk ,n rM k

,

1 2r rLk

а соотношение между Lk 1 ,

M k 1 и Lk ,

M k будет иметь вид

L

r

, M

k 1

uk ,n rM k

.

(129)

k 1

1 2r rLk

1 2r

rLk

к. uk ,0

Следовательно, для любого k можно рассчитать

Lk 1 , M k 1 (т.

известно) через Lk , M k ,

и,

поскольку u0 , то L1 0,

M1 . Формулы

(128) позволяют вычислить

все Lk , M k . Далее, так как uK , по формуле

(127) находим последовательно все значения uk , k 1, 2, , k 1.

Основное достоинство метода прогонки заключается в его экономичности. Можно доказать, что при решении системы (127) методом прогонкиточностьрезультатасовпадает сточностьюрасчетаиточностьюзадания исходных данных.

Можно доказать также, что разностная схема (127) устойчива при любых соотношениях шагов τ и h.

154

13.2.3. Итерационные методы

Систему (127) перепишем в виде

u0		,
			r uk 1	uk 1	uk ,n
								(130)
uk						, k 1, 2,	, K 1,
				1 2r
		.
u
	K

Подставив в правую часть уравнения m-е приближение uk(m) , получим в левой части uk(m 1) .

Докажем сходимость метода к точному решению.

Пусть uk ,m U k k ,m , где U k – точное решение системы (130). Подставив это выражение в систему (130), получим:

0(m 1)

0,

r

(m 1)

(m)

(m)

k

k 1

k 1

,

k 1, 2, , K 1,

1 2r

(m 1)

.

K

Оценим

(km 1)

:

(km 1)

2r

(km)

max

max

.

1

2r

k

Следовательно, от итерации к итерации величина

уменьшается со

скоростью геометрической

прогрессии

со знаменателем

2r

. Значит,

1 2r

(km) 0, и процесс сходится. Скорость сходимости определяется вели-

	чиной			2r		. Можно показать, что число	итераций	для получения
		1		2r
								r , значит, при
	достаточно				точного решения приблизительно		равно

достаточно небольших значениях r метод итерации является эффективным, но он медленно сходится при больших r.

Метод итераций можно применять и в том случае, когда задача нелинейна, т.е. a a(u) и, следовательно, r r(uk ) .

13.3. Уравнения эллиптического типа (уравнения Лапласа и Пуассона)

Исследования стационарных процессов различной физической природы (колебания, теплопроводность и др.), а также задачи, описывающие стационарные состояния систем, полей, часто приводят к уравнениям эллиптического типа.

155

Двухмерное уравнение эллиптического типа имеет вид
2U	2U	f x, y .		(131)
dx2	dy2
Эллиптическое уравнение,	когда	f 0 ,	носит название	уравнения
Лапласа. Неоднородное уравнение Лапласа			f 0 называется уравнением

Пуассона.

Рассмотрим контур Γ, ограничивающий расчетную область G, и функцию u g x , y , заданную на границе области G и являющуюся

граничным условием (рис. 35).

Рис. 35. Расчетная область

13.3.1.Построение разностной схемы

1)Покрываем область G расчетной сеткой hx hy h .

2)Производную заменяем разностными аналогами

uk 1,m 2uk ,m

uk 1,m

uk ,m 1 2uk ,m uk ,m 1

fk ,m .

(132)

h2

h2

где

fk ,m f xk , ym – сеточная функция.

Это разностное уравнение имеет смысл для любой внутренней точки,

т.е.

для любой

точки

k,m , для которой точки

k 1,m , k 1,m ,

k,m 1 , k,m 1

расположены внутри области G. Остальные расчетные

точки k,m G объявим

граничными. Их совокупность обозначим

символом γ, и значения uk ,m

на γ получим простым переносом значения g из

ближайшей точки границы Γ: u

g

.

13.3.2. Аппроксимация

Аппроксимация следует из того, что разностная схема (132) переходит

в уравнение (131) при h 0

и u

g

, так как .

156

13.3.3. Устойчивость

Используя ограниченность области G, можно доказать, что схема абсолютно устойчива.

13.3.4. Простейший итерационный способ решения

Представим каждое уравнение (132) в виде, разрешенном относительно значения uk ,m в центральной точке расчетной ячейки:

uk ,m	1	uk 1,m uk 1,m uk ,m 1 uk ,m 1 h2	fk ,m .	(133)
	4

Получили основную расчетную формулу метода Зейделя для решения системы линейных алгебраических уравнений, аппроксимирующих эллиптические уравнения, – итерационного процесса решения задачи (132).

uk(s,m1)		1	uk(s 1,1)m uk(s)1,m uk(s,m1)1 uk(s,m) 1 h2	fk ,m ,	(134)
		4

где s – номер итерации. Докажем сходимость.

Пусть uk(s,m) uk ,m (ks,m) , где uk ,m – точное решение, uk(s,m) – приближенное

решение за s итераций.

Тогда для ошибки ks ,m имеем

(s 1)		1	(s)	(s)
k ,m		4	k 1,m k 1,m

(ks,m) 1 (ks,m) 1 ,	(s 1)			0.

Обозначим

max

(0)k ,m

, оценим

(1)k ,m

. Так как значение (1)k ,m

является

k ,m

(k1,)m

значений (k0)1,m 1 , то

средним арифметическим четырех

. Это

неравенство справедливо для всех точек на всех итерациях.

Для точек, соседних с граничными, хотя бы одна из (k0)1,m 1 равна нулю;

					0 3			3
следовательно, в этой точке		(1)k ,m								. Это соотношение
					4			4

справедливо для всего приграничного слоя точек.

На второй итерации влияние граничных точек распространяется на следующий внутренний слой точек:

		3
										15
	(k2,m)			4								и т.д.
					4					16

157

		(s)				1
Следовательно, на s-й итерации		k ,m		1			. На некоторой n-й ите-
						4s

рации ( n 1h ) получим, что ошибка уменьшилась не менее чем в 1 4 s раз и т.д., т.е. 0 при s .

13.4. Уравнения гиперболического типа

Рассмотрим простейшее уравнение гиперболического типа – уравнение свободных колебаний однородной ограниченной струны:

	2U a2 2U ;			(135)
	t 2		x2
U(x, 0) f (x),		U	(x, 0) F(x),		0 x l ;
		t
U (0, t) (t),	U (l, t) (t),				0 t .

Решим методом сеток.

Конечно-разностную аппроксимацию этой задачи следующей разностной схемой:

uk ,n 1 2uk ,n uk ,n 1	a2	uk 1,n 2uk ,n uk 1,n
2		h2

При ah уравнение (138) упрощается и принимает вид

uk ,n 1 uk ,n 1 uk 1,n uk 1,n ,

(136)

(137)

представим

. (138)

откуда

uk ,n 1 uk 1,n uk 1,n uk ,n 1.	(139)
Из уравнения (139) видно, что дляполучениязначений U x, t на (n 1)
-м слое используются значения U x, t в двух предыдущих	слоях:

n-м и (n – 1)-м. Для начала вычислений по формуле (138) также необходимо знать значения U x, t на двух слоях, в то время как начальные условия

(136) задают значения U x, t лишь на 0-м слое. Используя начальные условия, определим значения U x, t на фиктивном ( 1) -м слое. Для этого

заменим производную во втором начальном условии конечно-разностным отношением, получим:

	uk , 1 uk ,0		U	(xk , 0)	F xk .
			t
Отсюда					uk , 1 uk ,0 F xk .	(140)

158

Теперь, зная значения U x, t											на фиктивном ( 1) -м слое, начинаем вы-
числения по формуле (140). Для получения значений u0,n и uK ,n																						используем
краевые условия (137).
Пример 4 3
								2U	2U
Решить уравнение t2									x2		при граничных и начальных условиях:
						U (x, 0) x( x),							U			(x, 0) 0,				0 x ,
														t
								U (0, t) U ( ,t) 0,											0 t .
Решение.
Здесь a 1					h. Пусть h										.
													18
Для расчета воспользуемся формулой (139), для этого определим uk , 1
по формуле (139). Поскольку F(x) 0 , получим:
								uk , 1 uk ,0 F x0 uk ,0 .
u10									u20		2						2
								0,518;											0,975		и т.д. (табл. 12);
	18										18						18
					18
u11 u20			u00			u1, 1 u20			u00 u10			0,975 0 0,518 0,457;
u21 u30			u10			u20		1,371 0,518 0,975 0,914;
u31 u40			u20			u30		1,706 0,975 1,371 1,310 и т.д.
График				решения				u U (x,t)			симметричен									относительно			плоскости
x / 2 ; поэтому в табл. 12									приведены данные лишь для 0 x / 2 .
																					Таблица 1 2
xk \ tn				t0 = 0				t1 = h			t2 = 2h								t3 = 3h		t4 = 4h		t5 = 5h
x0 = 0				0				0				0							0		0		0
x1 = h				0,518				0,457			0,457								0,335		0,274		0,214
x2 = 2h				0,975				0,914			0,792								0,731		0,549		0,427
x3 = 3h				1,371				1,310			1,188								1,006		0,884		0,641
x4 = 4h				1,706				1,645			1,524								1,341		1,098		0,914
x5 = 5h				1,980				1,920			1,798								1,616		1,371		1,038
x6 = 6h				2,193				2,133			2,012								1,828		1,556		1,28
x7 = 7h				2,346				2,285			2,163								1,952		1,737		1,374
x8 = 8h				2,437				2,376			2,225								2,072		1,770		1,524
x9 = 9h				2,467				2,407			2,285								2,043		1,859		1,497

159

Контрольные вопросы и задания

1.Из каких этапов состоит метод прогонки?

2.Какой порядок имеет уравнение теплопроводности?

3.Что такое оператор Лапласа?

4.В чем отличие явной схемы аппроксимации от неявной?

5.Является ли уравнение Пуассона дифференциальным уравнением с частными производными?

6.Является ли уравнение Пуассона частным случаем уравнения Лапласа?

7.Куравнениямкакоготипаотноситсяуравнениесвободныхколебаний однородной ограниченной струны?

160