Создание массивов со случайными элементами
Пример 19
>> Z=rand(2)
Z =
0.8147 0.1270
0.9058 0.9134
>> M=[2, 3, 5; 6, 3,7; 2, 3, 9];
Z=rand(size(M))
Z =
0.6324 0.5469 0.1576
0.0975 0.9575 0.9706
0.2785 0.9649 0.9572
Программа будет иметь следующий вид:
>> X=rand(800, 2);
>> Y=rand(800, 2);
>>plot(X, Y, '.')
Рис. 4.1. Точки со случайными значениями координат x и y,
распределенными по равномерному закону
» Z=randn(4, 5)
Z =
-0.0835 1.8291 -0.4736 1.2559 -1.7756
0.6164 0.0853 -1.7035 0.1558 0.3297
-0.5250 -0.0683 -0.0537 0.0549 -1.0579
1.0077 -0.5635 -0.8813 1.3986 -0.6434
Пример 20
>> Z=randn(4, 6)
Z =
0.2584 1.4584 0.6269 0.2071 0.0171 -0.8672
0.8917 -0.8551 0.0015 -0.4446 -0.3630 -1.0401
-0.8366 -0.9921 -0.8163 -1.1205 -0.6312 1.2654
0.5531 -0.0117 0.1151 0.4354 -0.5003 -0.2415
Пример 21.
>> Y=randn(2000, 3);
>>hist(Y, 200)
Ответ представлен на рис. 4.2.
Рис. 4.2. График нормального закона распределения случайных чисел
Пример 22
>> M=[2,3,4;5,7,8;2,3,4];
>> Z=rot90(M,2)
Z =
4 3 2
8 7 5
4 3 2
Выделение треугольных частей матрицы
Пример 23
>> M=[2,3,4;5,7,8;2,3,4]
M =
2 3 4
5 7 8
2 3 4
>>Z=tril(M)
Z =
2 0 0
5 7 0
2 3 4
>>Z=tril(M,1)
Z =
2 3 0
5 7 8
2 3 4
Вычисление математического квадрата
Пример 24
>> M=magic(6)
M =
35 1 6 26 19 24
3 32 7 21 23 25
31 9 2 22 27 20
8 28 33 17 10 15
30 5 34 12 14 16
4 36 29 13 18 11
Математические операции над векторами и матрицами
Пример 25
>> M=[2,3,4;5,7,8;2,3,4];
>> N=[2 0 3;3 5 6;1 2 3];
>> M.*N
ans =
4 0 12
15 35 48
2 6 12
>>
>> N=[2 0 3;3 5 6;1 2 3]
N =
2 0 3
3 5 6
1 2 3
>> M.*N
ans =
4 0 12
15 35 48
2 6 12
>> M^2
ans =
27 39 48
61 88 108
27 39 48
Пример 26
>>V1=[3,4,6,7];
>> V2=[-2,3,4,6];
>> V1+V2
ans =
1 7 10 13
>> V1-V2
ans =
5 1 2 1
>> V1.*V2
ans =
-6 12 24 42
>> V1.^2
ans =
9 16 36 49>> V1/V2
ans =
1.1077
>> V1\V2
ans =
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
-0.2857 0.4286 0.5714 0.8571
>> V1./V2
ans =
-1.5000 1.3333 1.5000 1.1667
>>V1.\V2
ans =
-0.6667 0.7500 0.6667 0.8571
Примеры образования функций от вектора и матриц
Пример 27
>>N=[2,4,6,8,9];
>>Z=log(N)
Z =
0.6931 1.3863 1.7918 2.0794 2.1972
>> Z=exp(N)
Z =
1.0e+003 *
0.0074 0.0546 0.4034 2.9810 8.1031
>> Z=sin(N)
Z =
0.9093 -0.7568 -0.2794 0.9894 0.4121
Пример 28
>> K=[2,3,6;3,-3,7];
>> Z=log(K)
Z =
0.6931 1.0986 1.7918
1.0986 1.0986 + 3.1416i 1.9459
>> Z=exp(-K)
Z =
0.1353 0.0498 0.0025
0.0498 20.0855 0.0009
>> Z=exp(K)+2*K+K.^2
Z =
1.0e+003 *
0.0154 0.0351 0.4514
0.0351 0.0030 1.1596
Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление
комплексных чисел
Сложение комплексных чиcел
Пример 1
Z1=1+4i, Z2= 4-6i;
Z1+Z2=1+4i+4-6i=5-2i;
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Z1=1+4i, z2=4-6i;
Z1-z2= 1+4i-4-6i=-3-2i;
Умножение комплексных чисел
Пример 3
Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа
Z1=1,Z2=-2 ,,,,,,
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,. Выполним чертёж:
Представить в тригонометрической форме комплексные числа: ,,,.
Деление комплексных чисел
Пример 4
, , а
Пример 5
Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме).
В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение, то есть на:
Пример 6
Даны два комплексных числа,. Найти их сумму, разность, произведение и частное.
5 + 2i + 2 - 5i = (5 + 2) + (2 - 5)i = 7 - 3i
5 + 2i - (2 - 5i) = (5 - 2) + (2 + 5)i = 3 + 7i
(5 + 2i) · (2 - 5i) = 5·2 - 5·5i + 2·2i - 2·5i2 = 10 - 25i + 4i + 10 = 20 - 21i
5 + 2i |
= |
(5 + 2i)(2 + 5i) |
= |
5·2 + 5·5i + 2·2i + 2·5i2 |
= |
10 + 25i + 4i - 10 |
= |
29i |
= |
1i |
2 - 5i |
(2 - 5i)(2 + 5i) |
2·2 + 5·5 |
4 + 25 |
29 |
Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что:
Пример 7
Представить в тригонометрической форме комплексные числа
1)
Найдем модуль и аргумент заданного комплексного числа:
Тогда
2)
аргумент
Отсюда получаем, что
Пример 8
Запишите в тригонометрической форме числа ,,,.
Решение. Находим модуль, аргумент, а затем выписываем тригонометрическую форму:
Пусть ,. Найдем произведение:
Заметим, что во внутренних скобках стоят формулы косинуса и синуса суммы аргументов. Поэтому
Последняя запись является тригонометрической формой комплексного числа . Значит,
иными словами, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.
Аналогично можно доказать, что
иными словами, при делении комплексных чисел их модули делятся один на другой, а аргументы вычитаются.
Несложно проверить, что если , то
Используя правило умножения комплексных чисел в тригонометрической форме, получим формулу для возведения комплексного числа в степень , где-- натуральное число.
Пусть . Тогда
то есть
Далее находим
то есть
Продолжая умножения дальше, придем к формуле
|
Эта формула называется формулой Муавра.
Пример 9
Возвести в квадрат комплексное число: z=3+2i
z2=(3+2i)(3+2i)
z2=*(3+2i)2=32+3*2*2i+(2i)2=9+12i-4=5+12i
Пример 10
Вычислить если
По первой формуле Муавра получаем:
|
Пример 11
Возвести в степень комплексные числа i8,i31, (-i)19
i8 = (i2)4 = (-1)4= 1
i31=i*i30=i*(i2)15=i*(-1)15=i*(-1)=-i
(-i)19=(-1)19*i19=-i*i19=-i*(i2)9=-i*(-1)9=i
Пример 12
Решить уравнение .
Решение. Вычисляем дискриминант
. Вычисляем корни из дискриминанта по формуле квадратныхкорней из комплексного числа:
.
Вычисляем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:
или ; .
Ответ: .
Пример 13
разложить трехчлен 2x 2 – 4x – 6 на множители первой степени.
Р е ш е н и е . Во-первых, решим уравнение: 2x 2 – 4x – 6 = 0. Его корни:
x1 = –1 и x2 = 3. Отсюда, 2x 2 – 4x – 6 = 2 ( x + 1 ) ( x – 3 ) .
Пример 14
, если . Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости.
Решение: итак, требуется подставить в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное числовтригонометрическую форму. Плюс чертёж.
Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.
1) Сначала упростим числитель. Подставим в него значение , раскроем скобки и поправим причёску:
В ходе преобразований используются совершенно бесхитростные вещи – правило умножения многочленов и уже ставшее банальным равенство . Главное, быть внимательным и не запутаться в знаках.
2) Теперь на очереди знаменатель. Если , то:
Заметьте, в какой непривычной интерпретации использована формула квадрата суммы . Как вариант, здесь можно выполнить перестановку под формулу . Результаты, естественно, совпадут.
3) И, наконец, всё выражение. Если , то:
Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-ое место:
На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.
Обозначим наше достижение буквой
Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас: Вычислим модуль комплексного числа:
Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти , то:
Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.
Таким образом: – искомое число в тригонометрической форме.
Выполним проверку: ,
.
Ответ:
Операции с числами
Ввод действительных чисел
»1.8954896е-12
ans =
1.8955e-012
»
Командное окно
Окно с названием форматов (numericformat)
»1.89547896e-12
ans =
1.895478960000000e-012
»
Результат с форматомLongE
Ввод комплексных чисел
» 2+i*9
ans =
2.000000000000000 + 9.000000000000000i
» y=8+6j
y =
8.000000000000000 + 6.000000000000000i
»
Обозначение мнимой части
Элементарные математические функции
Элементарные действия с комплексными числами
Арифметические действия с комплексными числами
» x=2+i*9; y=8+6j; disp (x+y)
10.00000000000000 + 15.000000000000000i
» disp (x-y)
-6.00000000000000 + 3.000000000000000i
» disp (x*y)
-38.00000000000000 + 84.000000000000000i
» disp (x/y)
0.700000000000000 + 0.600000000000000i
» disp (x\y)
0.823529411764706 -0.705882352941177i
» disp (x^y)
8.612852068220047e+003 – 1.305957650714636e+004i
»
Функции комплексного аргумента
Комплексные числа от элементарных функций
» disp (x*y)
-38.00000000000000 + 84.000000000000000i
» disp (x/y)
0.700000000000000 + 0.600000000000000i
» disp (x\y)
0.823529411764706 - 0.705882352941177i
» disp (x^y)
8.612852068220047e+003 – 1.305957650714636e+004i
» disp (sqrt(-3))
0 + 1.732050807568877i
» disp (abs(x))
9.219544457292887
» disp (exp(y))
2.862227284910554e+003 – 8.329258610593317e+002i
» disp (sin(x))
3.684056738456527e+003 -1.686036345689945e+003i
» disp (sqrt(x))
2.368495773406920 + 1.899940059224610i
»
Комплексные числа от дополнительных функций
» x=2+i*9; y=8+6j;
» disp (real (y))
8
» disp (imag (x))
9
» disp (angle (y))
0.643501108793284
» disp (conj (y))
8.000000000000000 – 6.0000000000000000i
»
» v=[ -1, -1+2i, -5,4, 5i,-1-2i,-5i]
v =
columns 1 through 2
-1.00000000000000 -1.0000000000000000 + 2.000000000000000i columns 3 through 4
-5.00000000000000 4.0000000000000000
columns 5 through 6
0 + 5.00000000000000i -1.0000000000000000 -2.00000000000000i
column 7
0 - 5.00000000000000i
» disp (cplxpair(v))
Columns 3 through 2
-1.000000000000000000 – 2.000000000000000000 -2.0000000000000