978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Тест для диагностики готовности к изучению темы «Показательная и логарифмическая функции»

						−2
				1
1. Вычислите: 1				3
		16 .				.	16 .			9				9
	А.			Б. −				В.			.	Г. −			.
									16				16
		9					9

2.Представьте степень 4−32 с дробным показателем в виде кор- ня.

	А.	3 4−2 .	Б. −2 43 .	В.		4−3 .			Г. −3 42 .
3.	Запишите в виде степени с рациональным показателем выра-
	жение 4 73 .						7			7
		4	3		3
	А. 73 .		Б. 74 .	В.					4
					4		.		Г. .
										3
4.	Какое из приведенных выражений не имеет смысла?
		4	4				4		Г. (	4
	А. 73 .		Б. 7−3 .	В. (−7)3 .						0)3 .
						1		4
5.	Вычислите значение выражения				x3		− x	3	при x =	8 .
							2
	А. –7.		Б. 7.	В. 8.					Г. –9.
				−11	−	1
6.						4	.
	Представьте в виде степени x			3
	А.	1	1	В.	x	19				16
		x−3 .	Б. x3 .			−12 .			Г. x 3 .
7.	Сравните без вычислительных средств числа 3–0,5 и 1.
	А.	3–0,5 < 1.	Б. 3–0,5 > 1.						В. 3–0,5 = 1.
	Г.	Сравнить нельзя.

12	Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

8.На рисунке изображен график функции y = (x +11)2 . Укажите промежуток, на

котором функция убывает.

А. (–1; +∞). Б. (–∞; –1). В. (–∞; +1). Г. (0; 1).

9.

Найдите область определения функции y =

2 − x

.

А. (–∞; 2].

Б. [2; +∞).

x

Г. (0; 2].

В.(–∞; 0) (0; 2].

10.

Через какую из приведенных точек проходит график фун-

2

кции y = x 3 ?

(2

2; 2) .

Г. (2; 2 2 ) .

А. (–8; 4).

Б. (4; 8).

В.

11.

Найдите множество значений функции y = 1 − x .

А. [0; +∞).

Б. [1; +∞).

В. (–∞; 0].

Г. (–∞; 1].

12.

Найдите параметр а, если известно, что график функции

y =

a

проходит через точку А(– 2; 0,5).

x2

1 .

1 .

А. –2.

Б. 2.

В.

Г. −

13.

2

2

Как расположены друг относительно друга графики функций

у = f(x) и у = f(– x)?

А. Симметрично относительно оси у.

Б. Симметрично относительно оси х.

В. Симметрично относительно начала координат.

Г. Определить нельзя.

14.

Бак емкостью 1000 л заполнен водой. Из него за сутки выте-

кает через отверстие 0,1 его содержимого. Сколько воды будет

в баке через трое суток?

. 729 л.

А. 810 л.

Б. 700 л. В

Г. Ответ отличен от приведенных.

15.

Сколько корней имеет уравнение

1

= x3 ?

1 + x

А. Ни одного.

Б. Один.

В. Два.

Г. Четыре.

§1. Показательная функция

В данном параграфе рассматриваются показательные функции, их свойства и графики, применение этих функций для описания процессов и явлений окружающего мира.

1. Степень с произвольным действительным показателем

До сих пор мы рассматривали степени с рациональ- ными показателями. Однако в математике и в ее приложениях широко используются степени с про-

извольными действительными показателями.

Попробуем определить, что следует понимать, например, под выражением (0,9) 2 . Пусть {rn} — последовательность десятичных

приближений числа 2 с недостатком (r1 =1; r2 =1,4; r3 =1,41; r4 =1,414; ...), а {sn} — последовательность десятичных приближе-

ний числа 2 с избытком (s1 = 2; s2 =1,5; s3 =1,42; s4 =1,415; ...). Понятно, що первая последовательность возрастающая, вторая —

убывающая, причем rn < 2 < sn для любого n N. Разность sn – rn

может стать меньше любого положительного числа при достаточ- но большом значении п. Вычислим с помощью калькулятора пер-

вые члены последовательностей {(0,9)rn } и {(0,9)sn } и модули их

разностей. Результаты вычислений представлены в таблице 5.

Таблица 5

п	1	2	3	4	5	6
rn	1	1,4	1,41	1,414	1,4142	1,41421
(0,9)rn	0,9	0,8629	0,8619	0,8616	0,8616	0,8616

14 Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

			Таблица 5 (продолжение)
п	1	2	3	4	5	6
|0,9sn –0,9rn |	0,09	0,0091	0,0009	0,0001	0,0000	0,0000
(0,9)sn	0,81	0,8538	0,8610	0,8615	0,8616	0,8616
sn	2	1,5	1,42	1,415	1,4143	1,41422

Анализ таблицы 5 позволяет предположить, что последова- тельность {(0,9)rn } убывает, а последовательность {(0,9)sn } возра-

стает. Модуль разности (0,9)sn – (0,9)rn уменьшается при увели- чении п и приближается к нулю. Так, уже при п = 3 модуль

разности чисел (0,9)sn и (0,9)rn меньше 0,001. Естественно пред- положить, что существует число, меньшее всех (0,9)rn и большее

всех (0,9)sn, n N. Это число и обозначают через (0,9) 2 .

И вообще степень аa с иррациональным показателем a опреде- ляется следующим образом. Для числа a выбирается последова- тельность рациональных чисел a1, a2, …, aп,…, задающая прибли- жение к a с любой точностью. Строится последовательность

степеней с рациональными показателями aa1 , aa2 ,...,aan ,... . Эта

последовательность приближается к некоторому числу с любой точностью. Это число и называется степенью аa.

Пример 1. Вычислить приближенно: 1) 5 3 ; 2) 3p.

 1) Поскольку 3 ≈ 1,73, то 5 3 »51,73 »16,2 .

2) Поскольку p ≈ 3,14, то 3p ≈ 33,14 ≈ 31,5. g Ответ. 1) ≈ 16,2; 2) ≈ 31,5.

!Обращаем внимание на то, что степень аa определена

для положительных действительных чисел а, так как только для положительных а определена степень с рациональным показателем.

Свойства степени с рациональным показателем (см. таблицу 2) полностью сохраняются и для степеней с иррациональными пока- зателями.

Пример 2. Упростить выражение: 1) a 3 +2 : a 3 −2 ; 2) (a 3 + 2 ) 3 −2 .

Показательная функция

15

 1) Согласно свойству частного степеней с одинаковыми осно- ваниями,

a 3 +2 : a 3 −2 = a( 3 +2) −( 3 −2) = a4 .

2) Применяя правило возведения степени в степень, будем

иметь: (a 3 +2 ) 3 −2 = a( 3 +2)( 3 −2) = a3−4 = a−1. g

Ответ. 1) а4; 2) а–1.

Обобщим пример, рассмотренный в начале пункта. Пусть a1 ,a2 ,...,an ,... — последовательность деся-

тичных приближений иррационального числа a с недостатком, а β1 , β2 , ...,βn ,... — последовательность

десятичных приближений этого числа a с избытком.

Если а > 1, то под степенью аa числа а с положитель- ным иррациональным показателем a следует пони-

мать число, большее всех чисел aa1 ,aa2 ,...,aan ,... и мень- шее всех чиселaβ1 , aβ2 , ...,aβn ,... , n N.

Если 0 < а < 1, то под степенью аa числа а с положи- тельным иррациональным показателем a следует

понимать число, большее всех чисел aβ1 , aβ2 , ...,aβn ,... и

меньшее всех чиселaa1 ,aa2 ,...,aan ,... , n N.

1a, по определению равно 1.

Если а > 0 иa — положительное иррациональное чис­

ло, то будем считать, что

a−α = a1α .

Последнее определение является корректным, так как для всех положительных а и a выражение аa больше нуля.

Рассмотрим задачу, которую в XV ст. решал французский мате-

матик Н. Шюке (ок. 1445 – ок. 1500).

Пример 3. Резервуар имеет отверстие, через которое за каждую

единицу времени вытекает 1 часть того количества воды, которая

10

содержалась в нем в начале отсчета этой единицы времени.

1) Какая часть воды в резервуаре останется через 5 единиц време- ни; через 7 13 единицы времени?

16	Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

2)За какое время резервуар опустеет наполовину?

Будем рассуждать так. Если первоначальное количество воды принять зааединиц объема, то через одну единицу времени останет-

		9			9			9		9			2
	ся			a единиц объема воды, через две —			a			=				a , через
		10			10			10			10

	9			2		9		9			3
	три —				a			=				a и т. д. Если вода вытекает непрерывно,
		10				10			10

		9			t
	то через t единиц времени в резервуаре останется					a единиц
			10

	9		t
объема воды. Выражение			a является математической моде-
	10
лью для объема воды в резервуаре черезt единиц времени. Пользу-

ясь этой моделью, нетрудно найти ответы на поставленные вопросы.

	9		5
1) Через 5 единиц времени в резервуаре будет			a , или
	10
примерно 0,590а единиц объема, то есть примерно 60% первона-

чального содержимого резервуара. Через 7 1 единицы времени в
			1				22	3
	9			9
резервуаре будет			7 3				3	a ≈ 0,462a	единиц	объема
				a =
воды.	10			10
										9 t
												1
2) Необходимо найти такое значение t, при котором											=	2	.
										10
Нетрудно доказать, что ни при каком натуральном и даже рацио­

нальном t данное равенство выполняться не может. Действитель-

9

n

1

но, если t = n, n N, и

=

2

, то 2

9п = 10п. Последнее равен-

10

ство невозможно, так как правая её часть делится на 5, а левая не

делится. Если

t — положительное

рациональное

число и

m

9

m

1

m

m

n

n

m

m

t =

n

,m N,n N, то

=

2

, 2 9 n

= 10 n , 2 9

= 10

, то есть

10

снова получили аналогичное противоречие. Из решения зада-

ния 1) вытекает, что через 5 единиц времени в резервуаре оста-

Показательная функция			17
нется больше половины, а через 7		1	единиц времени – меньше
		3
половины объема резервуара. Из непрерывности процесса выте-

кания воды следует, что существует такой момент времени, когда

	9			t		1
	равенство				=		выполняется, то есть это уравнение имеет ре-
		10				2

шение. Возникает вопрос: как найти это решение. Ответ на него мы дадим далее. g

99 Контрольные вопросы

1°. Какие из следующих выражений имеют смысл:

2 3 ; 2− 3 ; (−2) 3 ; 2 3 ; 0 3 ; 0− 3 ; 1 3 ; 1− 3 ; 3π ; π 3 ; (− 3 )π ?

2°. Чему равняется значение выражения: а)1 2 ; б) 0p; в) 1− 2 ; г) 0–p?

3.Пусть дано иррациональное число 1,101101110… . Верно ли

				1	1,1011			1 1,102		?
		утверждение о том, что					>
				2				2
								1	−	3
4.										2	( 3 =1,7320508... );
		Какое из чисел больше: а) 31,73 или
								9
			1	−π
		б) 23,14 или		?
			2
5.						2	3
		Какой знак имеет разность					− 1?
						5
		2. Свойства и график показательной функции
			В 10 классе последовательно изучались степенные
			функции у = хr		с натуральными, целыми, рацио-
			нальными показателями. Для этих функций неза-
	висимой		переменной является основание степени, а показатель

степени — постоянная величина. Широкое применение имеют функции, у которых независимой переменной служит показатель степени, а основание степени — постоянная величина. Такие функции называются показательными.

18		Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции
Функцию y = f(x), заданную формулой вида y = ax , x R ,
a > 0, a ≠ 1 , называют показательной.
Случай a =1 приводит к уже известной функции y =1x =1.
Областью определения показательной функции, по определе-
нию, является множество всех действительных чисел.
Рассмотрим, например, функцию y = 2x . Она задана на проме-
жутке (–∞; +∞). Составим таблицу значений этой функции для
некоторых значений аргумента:
х	–3	–2	–1	0		1	2	3
у	1	1	1	1		2	4	8
	8	4	2
			Построим точки с найденными ко-
			ординатами (х; у) на координатной
			плоскости		и	соединим	их	линией
			(рис. 1). Получим график функции
			y = 2x .	Анализируя его			и воспользо-
			вавшись свойствами степени с действи-
			тельным показателем, можно прийти к

	выводу, что функция y = 2x обладает
	такими свойствами: 1) она принимает
	только положительные значения; 2) не
	имеет нулей; 3) является возрастаю-
	щей; 4) множеством ее значений явля-
ется промежуток (0; +∞); 5) ее график проходит через точку с коор-
динатами (0; 1); 6) при х	> 0 она принимает значения, большие 1,
а при х < 0 – меньшие 1.
Показательные функции у = ах при произвольном а > 1 имеют
аналогичные свойства и графики.

Рассмотрим теперь функцию				1		x
				y =	2		. Она тоже задана на
промежутке (–∞; +∞). Составим таблицу значений этой функции
для некоторых значений аргумента:
х	–3	–2	–1	0			1	2	3
у	8	4	2	1			1	1	1
							2	4	8

Показательная функция	x	19
1
График функции y =	изображен на
2
рис. 2. Анализируя график этой функции и
опять-таки опираясь на свойства степени с
действительным показателем, можно прий-
ти к выводу, что функция	1	x
	y =	: 1) при-
	2
нимает только положительные значения;
2) не имеет нулей; 3) убывающая; 4) множе-
ством ее значений является промежуток
(0; +∞); 5) ее график проходит через точку с
координатами (0; 1); 6) при х > 0 принимает значения, меньшие 1,
а при х < 0 – большие 1.
Показательные функции y = ax , 0 < a < 1, имеют аналогичные
свойства и графики.

Пример 4. Дана функция f(x)= 2х – 2.

1) Указать ее область определения и множество значений. 2) Проходит ли график этой функции через точку A (3; 2)?

3) Построить ее график.

4) Найти точки пересечения графика функции с осями координат. 5) Сколько корней имеет уравнение f(x) = –x2?

o 1) Функция у = 2х – 2 определена на всей числовой оси, то есть ее областью определения является множество (−∞; +∞). По-

скольку множеством значений функции у = 2х является промежу- ток (0; +∞) , то есть 0 < 2х < +∞, или –2 < 2х – 2 < +∞, то множеством

значений данной функции является промежуток (−2; +∞).

2) Чтобы проверить, проходит ли график функции через точку A (3; 2),

найдем значение функции в точке

х = 3: f(3) = 23 − 2 = 8 − 2 = 6 ≠ 2. Следо-

вательно, график функции не прохо-

дит через точку А.

3) График данной функции можно

построить из графика функции y = 2x

20	Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции
параллельным переносом последнего на 2 единицы в отрицатель-
ном направлении оси ординат (рис. 3).
	4) Чтобы найти точку пересечения графика с осью у, найдем
значение функции при х = 0:		f(0) = 20 − 2 = 1 − 2 = −1. Следова-
тельно, график функции пересекает ось у в точке (0; −1). Чтобы
найти точку пересечения графика с осью х, найдем, при каких
	значениях х функция принимает зна-
	чение 0: 0 = 2х – 2, 2х = 2, х = 1. Следова-
	тельно, график функции пересекает
	ось х в точке (1;0).
	5) Для ответа на вопрос необходимо
	выяснить, в скольких точках пересека-
	ются	графики функций у	= 2х – 2
	и у =	−x2 . Парабола у = −x2	пересекает
	график данной функции в двух точках
	(рис. 4). Следовательно, уравнение
	имеет два корня. g
	Ответ. 1) (−∞;+∞); (−2; +∞); 2) не проходит; 4) (0; –1), (1; 0);
5) два корня.

Обоснуем некоторые свойства показательной фун- кции, о которых говорилось выше.

Свойство 1. Показательная функция y = ax

принимает только положительные значения.

 Данное свойство вытекает из способа вычисления значений функции y = ax . При рациональном x = qp > 0 значение ax = q ap

положительно в соответствии с определением арифметического корня q -й степени из положительного числа. При иррациональ-

ном x = α > 0 выполняется неравенство aα > arn > 0, где rn — неко- торое рациональное приближение a (с недостатком при a >1 и с

избытком при 0 < a <1 ). Если x = a < 0, то aα = a1−α > 0. g

Свойство 2. Если а > 1, то ах > 1 при x > 0 и 0 < ах < 1 при x < 0.

Если 0 < а < 1, то ах > 1 при x < 0 и 0 < ах < 1 при x > 0.