978-966-10-2413-6_Matematuka 11_rus

Решение показательных и логарифмических уравнений, неравенств

61

71.Дана функция y = f (x), где f (x) = log32 x + 3 log3 x .

1°) В каких точках график функции y = f (x) пересекается с осями координат?

2°) Решите уравнение f (x) = −2. 3) Решите неравенство f(x) < –2.

4*) Найдите область определения функции y = f (x) .

72. Скорость v ракеты в зависимости от массы m изменяется по

закону v = v		ln m0	(формула Циолковского), где v		– скорость
	г	m		г

газов, вылетающих из ракеты, m0 – стартовая масса ракеты. Найдите зависимость массы ракеты от ее скорости.

73. Коэффициент звукоизоляции стен вычисляется по формуле D = A lg pp0 , где р0 — давление звука до поглощения, р — дав-

ление звука, прошедшего через стену, А — некоторая посто- янная. Выразите через другие переменные давление звука после поглощения.

Итог

Показательные и логарифмические уравнения

af ( x ) = ag( x ) , a > 0, а ≠ 1 f(x) = g(x)

loga f (x) = loga g(x) , f (x) > 0, g(x) > 0 f (x) = g(x)

loga f (x) = loga g(x)	f (x) = g(x),	или	f (x) = g(x),
	f (x) > 0		g(x) > 0

Показательные и логарифмические неравенства

af ( x ) < ag( x ) , a >1	af ( x ) < ag( x ) , 0 < a <1
f (x) < g(x)	f (x) > g(x)
loga f (x) < loga g(x) , a >1	loga f (x) < loga g(x) , 0 < a <1
f (x) < g(x),	f (x) > g(x),
f (x) > 0	g(x) > 0

1	Готовимся к тематичес­
	кому оцениванию по
	теме «Показательная
	и логарифмическая
	функции»

Задания для самоконтроля

??

1°.

Что больше — единица или значение ах

при х < 0, если:

а) а > 1; б) 0 < а

< 1?

2°.

Возрастающей или убывающей является функция: а) y = (0,41)x ;

б) y = (2,36)

x

; в)

1

−x

г) y = (5)

−x

?

y =

;

3

3°.

В каком промежутке находится при x [–2; 1] значение фун-

кции: а) y = 3x ; б) y = 3−x ?

4.

2 x

= 3; б)(0,7)

x

= 0,3;

Какой знак имеет корень уравнения: а)

5

в)5x = 4; г) 3x = 17 ?

5.При каком значении а график функции y = ax проходит че-

		4					1
	рез точку: а) (1; 2); б) (2; 9) в) 2;		;	г) (–2; 4); д)		−3;			?
		9					27
	6°. Между какими последовательными целыми числами распо-
	ложено число: а) log2 5; б) log3 8; в)			log1 7;	г) log1 9?
				3	2

7°. Чему равна разность lg(100a) − lg 100a ?

8. Можно ли разделить обе части неравенства 2lg 12 > 3lg 12 на lg 12 , не изменяя знак неравенства?

Готовимся к тематическому­ оцениванию по теме 63

9.		Какой знак имеет число:	а)	log	1	7;	б) log	0,8	3	;	в) log 12;
									4		13
		г) 1 − log6 7; д) log4 5 −1; е)			5		7 ?
			log8	7 − log1
10.			3			3
		Через какую точку проходит график произвольной логариф-

мической функции y = loga x ?

11°.Возрастающей или убывающей является функция: а) y = log2 x;

б)

y = log5 x; в)

y = log0,1 x; г) y = log 1 x;

д)

y = lg x; е)

y = ln x ?

3

12.

Какое число больше: а) log25 или log26; б)

log1 2

или log1 4 ;

1 или log

1 ; г) log

4

5 ?

3

3

в) log

17

или log

17

5 2

5 3

5

6

13°.Чему равны наибольшее и наименьшее значения функции

y = f (x) на указанном промежутке: а)

f (x) = lg x,

[0,1; 10];

б) f (x) = log1 x,

[1; 3]?

3

1

14°.График какой

из функций

у =log

,

3 x

у = (0,3)х, у =−log0,3 x ,

у = log0,3

(−x) схема-

тически изображен на рисунке?

15°.При каких значениях

х определена функ­

ция:

а)

y = log2 (−x);

б)

y = log2

x

;

в)

y = log12 x ;

г)

y = 2

2

?

1

log

x

16°.Имеет ли корни уравнение: а)

3x = −3;

б)3x = 0; в)3x = 5?

17. Сколько корней имеет уравнение: а)

3x = x2 ;

б)3x = −3x2 ;

в)3x = 1 ?

x

18.Имеет ли решения неравенство: а) 3x > −3; б) 3x £0; в)3x > 5?

19.Сколько корней имеет уравнение: а) log2 x = x; б) log2 x = 1x ;

в) log2 x = 2x ?

64 Раздел 1. Показательная и логарифмическая функции

Ответы к заданиям для самоконтроля

1. а) 1; б) ах. 2. а) Убывающей; б) возрастающей; в) возрастающей; г) убыва­

			1		1				2	; г)	1	; д) 3.
ющей. 3. а)				;3	; б)	;9 . 4. а) –; б) +; в) +; г) –. 5. а) 2; б) 3; в)			3		2
			9		3
6. а) 2 и 3; б) 1 и 2; в) –2 и –1; г) –4 и –3. 7.							4. 8. Нет. 9. а) –; б) +; в) + г) –; д) +;
е) +. 10.			(1; 0).	11.	а) Возрастающей; б) возрастающей; в) убывающей; г) убы-
вающей; д) возрастающей; е) возрастающей. 12. а) log2 6; б) log1									2; в) log5 1 ;
		4						3				2
г) log	17		. 13. а) 1 и –1; б) 0 и –1. 14. y = log				0,3	(−x) . 15. а) x < 0; б) х ≠ 0; в) x > 0;
		5

г) x > 0. 16. а) Нет; б) нет; в) да. 17. а) Два; б) ни одного; в) один. 18. а) Да; б) нет; в) да. 19. а) Ни одного; б) один; в) ни одного.

Образец контрольной работы № 1

1.Дано выражение f (x ) = 05,x2 .

1°)	Докажите, что f (x ) = 5x +1 .
2°)	В каких точках график функции y = f (x ) пересекает:

а) ось х; б) ось у; в) прямую х = 2; г) прямую у = –1; д) прямую

у = 5?

3) Найдите: а°) область определения функции y = f (x ) ; б) множество значений функции y = f (x ) .

4°) Постройте график функции y = f (x ) .

5) Вычислите f(x0), если: а°) x0 = −0,5 ; б)x0 = log5 7 .

6) Найдите значениех, при которых: а°)f (x ) = 0,2 ; б)f (x ) < 0,2 .

7) Найдите наибольшее и наименьшее значения функции

у = f(x) на отрезке [–1; 2].

2. Закон изменения некоторой величины со временем имеет вид x = 1003 log2 (0,06t + 1) , где t — время; х — числовое значение

величины.

1) Найдите значение величины при: а°) t = 0; б) t = 10.

2) Через сколько единиц времени после начала его отсчета значение величины будет составлять 120?

Готовимся к тематическому­ оцениванию по теме

65

Логарифмы и их свойства

Таблица 7

aloga x = x,

loga (xy) = loga x + loga y, a > 0,a ≠ 1, x > 0, y > 0

log

a

x = log

a

x − log

a

y, a > 0,a ≠ 1, x > 0, y > 0

y

loga xk = kloga x,

loga n x = loga x , a > 0,a ≠

1, x > 0,n N,n > 1,k R

loga

x

1

n

logb x =

,

loga b =

, a > 0, a ≠ 1, x

> 0, b > 0, b ≠ 1.

loga b

logb a

Свойства показательной и логарифмической функций

Функция

Таблица 8

у = ах

y = loga x

Свойства

a > 1

0 < a < 1

a > 1

0 < a < 1

Область

R

(0; + ∞)

определения

Нули

Нет нулей

х = 1

Четность

Ни четная,

Ни четная,

и нечетность

ни нечетная

ни нечетная

Промежутки

y > 0 при

y < 0 при

х > 1

х > 1

знакопостоян-

у > 0 прих R

y < 0 при

y > 0 при

ства

0 <x < 1

0 <x < 1

Промежутки

при

при

при

при

монотонности

х R

х R

х (0; +∞)

х (0; +∞)

Множество

(0; + ∞)

R

значений

Наибольшее

Не имеет ни наиболь- Не имеет ни наиболь-

и наименьшее

шего, ни наименьшего шего, ни наименьшего

значения

значений

значений

Непрерывность

Непрерывная в области определения

 Исторический комментарий

К показательной функции у = ах привело расширение понятия степе- ни. Одними из первых показательные функции изучали и применяли немецкий математик Г. Лейбниц (1646–1716), швейцарские математики И. Бернулли (1667–1748) и Л. Эйлер (1707–1783). Последний установил связь между показательными и тригонометрическими функциями. По- казательные функции обладают замечательным свойством: скорость их роста пропорциональна значению самих функций. Необходимость их изучения возникла при исследования различных законов естествозна- ния, таких, как законы размножения биологических популяций, законы радиоактивного распада, законы движения в тормозящей среде и т. п.

В конце ХVI ст. нидерландский ученый С. Стевин (1548–1620) опу- бликовал таблицу для вычисления сложных процентов по формуле

A = a 1 + 100p t , где а — начальный капитал, А — наращенный капитал

через t лет при р % годовых. Это был пример применения показательной

функции в банковском деле. Необходимость вычисления сложных про- центов была вызвана ростом торгово-финансовых операций.

Логарифмы возникли в XVII ст. для облегчения вычислений в трудах шотландского математика Дж.Непера (1550–1617) и швейцарского ма- тематика И. Бюрги (1552–1632). Сначала усилия ученых были направ- лены на создание таблиц логарифмов, которые в течение трех столетий были основными средствами сложных расчетов. Особенной популярно- стью пользовалась реализация таблиц логарифмов в виде компактной и удобной логарифмической линейки. В связи с развитием электронновычислительной техники необходимость в использовании логарифмиче- ских таблиц отпала.

Таблицы Непера сыграли огромную роль не только в астрономии, в прикладной математике, но и в математической науке вообще.

Итак, возникнув из практических потребностей астрономии и море- плавания, идея логарифмов привела в XVIII – XIX ст. к развитию уче- ния о показательных и логарифмических функциях и других матема- тических теорий, открывших, в свою очередь, возможности для новых практических приложений.

ВЕКТОРЫ И КООРДИНАТЫ

Векторный метод и метод координат принадлежат в математике к наиболее общим. Они позволяют сводить решение разнообразных задач к вычислениям, а также дают возможность иметь наглядное представление

отаких важнейших понятиях математики, как числа, функции, уравнения,

офизических понятиях и отношениях, моделируемых ими.

Вданном разделе распространяются на случай пространства понятие вектора и действия над векторами, рассматриваются прямоугольная система координат в пространстве и соответствующие формулы для измерения расстояний, углов, составляются уравнения простейших пространственных фигур.

Готовимся к изучению темы «Векторы и координаты»

Изучение темы «Векторы и координаты» целесообразно начать с повторения основных понятий и фактов о векторах и координа- тах на плоскости, взаимном расположении прямых и плоскостей в пространстве. Важнейший материал по этим вопросам приведен в виде таблиц.

Свойства действий над векторами на плоскости

						Таблица 9
	Операции			Свойства		Название свойств
	Сложение	1)	a + b = b + a		1)	Переместительный
	векторов	2)	(a + b) + c = a + (b + c )		закон
					2)	Сочетательный закон
		3)	a + 0 = a		3)	Существование нуле-
		4)	a + (−a) = 0		вого вектора
					4)	Существование про-
					тивоположного вектора
					для каждого вектора
	Умножение	1)	(kl)a = k (la)		1)	Сочетательный закон
	вектора	2)	1 a = a		2)	Произведение векто-
	на число				ра на число 1
			(k + l)a = ka + la
		3)			3)	Распределительный
					закон относительно сло-
		4)	k(a + b) = ka + kb		жения чисел
					4)	Распределительный
					закон относительно сло-
					жения векторов
	Скалярное	1)			1)	Переместительный
	произведение		a	b = b a	закон
	векторов	2) (ka) b = k(a b)			2)	Сочетательный закон
		3)	(a + b) c = a c + b c		3)	Распределительный
					закон

Готовимся к изучению темы «Векторы и координаты»

69

Система координат на плоскости

Таблица 10

Обозначение Геометрический смысл Изображение координат модуля координаты

точки М

|x0| — расстояние от точки

М(х0; y0)

М до оси у

|у0|

— расстояние от точки

М до оси х

Действия над векторами в координатной форме

Таблица 11

Векторы

a

b

a +b

λa

Координаты

(x1; y1)

(x2; y2)

(x1 + x2; y1 + y2)

(λx1; λy1)

Основные формулы метода координат

Таблица 12

Величина

Формула для ее вычисления

a

a = (x, y)

Длина

вектора a

=

x

2

+ y

2

a

Длина отрезка

М1М2

M1 (x1 ; y1 ), M2 (x2 ; y2 )

M

M

= (x

− x )2

+ ( y − y )2

1

2

2

1

2

1

Свойства векторов в координатной форме

Таблица 13

Свойства

Коллинеарность

Перпендикулярность

векторов a и b ≠ 0

векторов a и b

Представление

a = (x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 )

a = (x1 , y1 ), b = (x2 , y 2 )

свойства в коор-

x

= λx

, y = λy

x x

2

+ y y

= 0

динатной форме

1

2

1

2

1

1 2

70

Раздел 2. Векторы и координаты

Параллельность прямых и плоскостей

Таблица 14

Фигуры

Геометрическая

Обозначение

Существенные

иллюстрация

признаки

Прямые

Лежат

в

одной

а || b

плоскости

и

не

имеют общих то-

чек

Прямая и

Не имеют общих

плоскость

а || α

точек

Плоско-

Не имеют общих

сти

α || β

точек

Перпендикулярность прямых и плоскостей

Таблица 15

Фигуры

Геометрическая

Обозна-

Существенные

иллюстрация

чения

признаки

Прямая и

Прямая

пересекает

плоскость

плоскость и

перпен-

дикулярна

каждой

a α

прямой,

проходящей

через точку пересече-

ния прямой и плоско-

сти

Плоскости

Каждая из плоскостей

образована прямыми­ ,

перпендику­ляр­ными

α β

другой

плоскости­

и

проходящими

через

точки

пересечения

этих плоскостей