Проектирование погрешностей

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Таким образом, была кратко рассмотрена методика проектирования числовых характеристик при умножении. Данная методика довольно простая и рекомендуется для широкого применения. Но ее использование ограничивается лишь теми случаями, когда присутствует лишь одно умножение, при смешанном же вычислении в силу вступают другие методики, которые будут описаны ниже.

3. Проектирование числовых характеристик при делении

Деление – вид вычислений, очень схожий с умножением. Поэтому и проектирование при делении сильно напоминает проектирование при умножении, хотя существуют и серьезные отличия. Номинально деление есть не что иное, как деление делимого на произведение делителей, отсюда и схожесть между этими двумя видами вычислений. Точно также, как и в предыдущем разделе, для вывода формул проектирования числовых характеристик при делении воспользуемся формулами главы 1.3 книги (1). Но если при умножении для всех трех методов округления чисел используется одна единственная формула, то при делении дело обстоит немного сложнее, формулы примут следующий вид:

Погрешность при L-округлении:

δzтmax

δmax

(13)

δzтmin

−(n − 1)

δmax

(1 − n) δmax

(14)

δzтсв

δсв − (n − 1) δсв

(2 − n) δсв

(15)

Погрешность при C-округлении:

δzтmax

n δmax

(16)

δzтmin

n δmin

(17)

δzтсв

(2 − n)

δсв

(18)

11

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Погрешность при R-округлении:

δzтmax			(1 − n) δmin			(19)
δzтmin					δmin	(20)
δzтсв			(2 − n) δсв			(21),

где n – количество чисел, участвующих в делении, т.е. сумма делимого и делителей.

Формулы (13)÷(21) получены путем видоизменения формулы определения погрешности при делении. При L-округлении, когда присутствует только положительная погрешность, максимальная теоретическая погрешность равна максимальной погрешности делимого, а погрешности делителей приравниваются к нулю. А вот минимальная теоретическая погрешность, наоборот, равна сумме со знаком «минус» максимальных погрешностей делителей, а погрешность делимого приравнивается к нулю. Ну а формула для средневероятной теоретической погрешности образовалась путем замены погрешностей делимого и делителей на средневероятную погрешность того или иного числового уровня. Эти рассуждения можно представить целевыми функциями:

δx0

δmax

δx0

δmin

0

δzтmax

max

δzтmin

min

δxi

δmin

0

δxi

δmax

δx0 = δxi = δсв

δzтсв = св

Формула для максимальной теоретической погрешности при C-округлении получена из условия, что погрешность делимого положительная, а погрешности делителей – отрицательные. Формула для минимальной теоретической погрешности носит обратный характер, т.е. погрешность делимого отрицательная, а погрешности делителей – положительные.

12

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

δx0

δmax

δx0

δmin

δzтmax

max

δzтmin

min

δxi

δmin

δxi

δmax

δx0 = δxi = δсв

δzтсв = св

А вот при R-округлении, которое является противоположностью L-округления, величины погрешностей только отрицательные, поэтому и формулы носят противоположный характер.

δx0

δmax

0

δx0

δmin

δzтmax

max

δzтmin

min

δxi

δmin

δxi

δmax

0

δx0 = δxi = δсв

δzтсв = св

Как нетрудно заметить, формул для деления гораздо больше, нежели при умножении. Но запоминать каждую формулу вовсе необязательно, т.к. каждая из них может быть легко получена логически путем преобразования формулы определения погрешностей при делении, что и отражено в примере 6. На этот раз использовалось C-округление и расчеты выполнялись со 100 % вероятностью. Нормативная погрешность была принята равной 5 %.

Пример 6

Точные значения чисел

X0 = 22.07036328

X1 = 5.550365988

X2 = 18.56893039

X3 = 0.05117854

Z = X0 : X1 : X2 : X3 = 4.18420588..

δн = ±5 %

Номер числового уровня – 3

Nтз = 3

δzтmax = n · δmax = 5 · 0.5 = 2.5 %

δzтmin = n · δmin = 5 · (–0.5) = –2.5 %

Приближенные значения чисел

Xпр0 = 22.1

Xпр1 = 5.55

Xпр2 = 18.6

Xпр3 = 0.0512

Zпр = Xпр0 : Xпр1 : Xпр2 : Xпр3 = 4.18

Zтmax

Zпр

4.18

4.29

(1 − 0.01 δzтmax)

(1 − 0.01 2.5)

Zтmin

Zпр

4.18

4.07

(1 − 0.01 δzтmin)

[ 1 − 0.01 (−2.5) ]

13

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Возможные виды записи окончательного результата

1	Zпр = 4.18 δzтmax = 2.5 % δzтmin = –2.5 %
2	Z = 4
3	4.07 ≤ Z ≤ 4.29
4	Z = 4 ∆zтmax = 0.29

Истинная погрешность окончательного результата

δz			4.184205886.. − 4.18	100%		0.10..%
			4.184205886..

Для проектирования был принят третий числовой уровень, т.к. в нем максимальная и минимальная погрешности равны соответственно 0.5 % и (–0.5) %. Были использованы формулы (16) и (17), также приближенным способом учитывалась погрешность 2 рода. Если учитывать последнюю точным способом (по ранее выведенной формуле), то максимальная и минимальная теоретические погрешности будут равны соответственно 2.49 % и (–2.49) %, это почти одно и то же, что и приближенным способом, которым и рекомендуется пользоваться. Как показали расчеты, истинная погрешность при C-округлении действительно при неограниченном количестве вычислений стремится к нулю, а вот проектировать приходится в обе стороны – как в максимальную, так и в минимальную, поэтому и разброс погрешностей достаточно высок. А вот при L-округлении истинная погрешность хоть и не стремится к нулю, но формулы проектирования дают, как правило, такой же разброс погрешностей, как и при C-округлении, хотя и максимальная погрешность определенного числового уровня обычно в два раза выше. В результате расчетов вместо первоначальных трех точных знаков получился лишь один, но для грубого проектирования этого вполне достаточно.

Чтобы получить формулы проектирования точности, нужно воспользоваться формулами проектирования погрешностей при делении, в которых вместо погрешностей подставить (1 – Т) или (100 % – Т), т.е. стандартную зависимость между погрешностью и точностью. Причем следует иметь ввиду, что максимальная точность достигается при минимальной погрешности и, наоборот, минимальная точность достигается при максимальной погрешности, поэтому в общем виде это можно отразить следующими зависимостями:

δmax					1 − Tmin	(22)
δmin					1 − Tmax	(23)
δсв					1 − Tсв	(24)

Примечание: формулы (22)÷(24) представлены в относительном виде.

14

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

После небольших преобразований формулы проектирования точности при делении примут следующий вид:

Точность при L-округлении:

Tzтmax

(1 − n) Tmin + n

(25)

Tzтmax

(1 − n) Tmin + n 100%

(25')

Tzтmax

Tmin + n (1 − Tmin)

(26)

Tzтmax

Tmin + n (100% − Tmin)

(26')

Tzтmin

Tmin

(27)

Tzтсв

(n − 1) (1 − Tсв) + Tсв

(28)

Tzтсв

(n − 1) (100% − Tсв) + Tсв

(28')

Tzтсв

(2 − n) Tсв + (n − 1)

(29)

Tzтсв

(2 − n) Tсв + (n − 1) 100%

(29')

Точность при C-округлении:

Tzтmax								1 − n (1 − Tmax)	(30)
Tzтmax				100% − n (100% − Tmax)					(30')
Tzтmin								1 − n (1 − Tmin)	(31)
Tzтmin				100% − n (100% − Tmin)					(32')

15

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Точность при R-округлении:

Tzтmax

Tmax

(33)

Tzтmin

(1 − n) Tmax + n

(34)

Tzтmin

(1 − n) Tmax + n 100%

(34')

Tzтmin

Tmax + n (1 − Tmax)

(35)

Tzтmin

Tmax + n (100% − Tmax)

(35')

Примечание: формулы проектирования средневероятной точности (28), (28'), (29) и (29') справедливы также для C-округления и R-округления.

Некоторые формулы были получены в двух вариантах, которые естественно, равноценны. Если сравнить полученные формулы с формулами проектирования погрешностей, то можно заметить, что они немного сложнее, поэтому проектирование по точности рекомендуется применять лишь в тех случаях, когда речь идет только о точности, в остальных же случаях лучше выполнять проектирование по погрешности, по результатам которого всегда можно определить точность. Наглядная демонстрация проектирования точностей при делении представлена в примере 7, в котором на этот раз использовалось R-округление. Проектирование производилось со 100 % вероятностью.

	Пример 7
	Точные значения чисел
X0 = 20048.57689	X1 = 9.9000703678	X2	= 0.09078956
X3 = 590.7231	X4 = 49.798132	X5	= 1.76108555

Z = X0 : X1 : X2 : X3 : X4 : X5 = 0.430558232.. Тн = 99÷101 %

Номер числового уровня – 4 Nтз = 4

Тzтmax = 0.01 · (Тmax)(1) · (Тmax)(2) = 0.01 · 100.1 · 100.1 = 100.2001 ≈ 100.2 % Тzтmin = (1 – n) · Тmax + n · 100 = (1 – 6) · 100.1 + 6 · 100 = 99.5 %

Приближенные значения чисел

Xпр0 = 20050	Xпр1 = 9.901	Xпр2 = 0.09079
Xпр3 = 590.8	Xпр4 = 49.80	Xпр5 = 1.762

Zпр = Xпр0 : Xпр1 : Xпр2 : Xпр3 : Xпр4 : Xпр5 = 0.4303

16

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

	Zтmax									Zпр						0.4303										0.4325
										0.01							0.01
											Tzтmin							99.5
	Zтmin									Zпр							0.4303										0.4294
									0.01 Tzтmax								0.01	100.2
	Возможные виды записи окончательного результата
1	Zпр = 0.4303										Тzтmax = 100.2 %															Тzтmin = 99.5 %
2																	Z = 0.4
3											0.4294 ≤ Z ≤ 0.4325
4											Z = 0.4						∆zтmax = 0.0325
5										Z = 0.42							∆zтmax = 0.0125
6										Z = 0.43 –0.0006 ≤ ∆zт ≤ 0.0025
	Истинная точность окончательного результата
	Tz				0.4303											100%				99.94..%
						0.430558232..

Чтобы уложиться в интервал, образуемый нормативной точностью (Тн = 99÷101 %), был принят четвертый числовой уровень. Максимально возможная точность определялась с учетом точности 2 рода, причем строго по формуле. Полученное значение для удобства дальнейших вычислений округлялось, т.к. отброшенная часть не повлияла на величину окончательного результата Zтmin, которая в свою очередь, тоже округлялась методом L-округления (чтобы получить действительно минимальное значение) с целью удобства восприятия данного значения. Данное заключение основывается на том, что у Тzтmax отбрасывается седьмой знак, а Zтmin округляется до четырех знаков, поэтому округление Тzтmax в данном конкретном случае на окончательный результат не влияет. А вот при определении минимально возможной точности учет точности 2 рода не производился, т.е. она принималась равной 100 %, чтобы получить действительно минимально возможную точность. Далее определялось приближенное значение окончательного результата, которое как и все числа, было округлено R-округлением, а образуемая точность 2 рода была учтена в определении Тzтmax. В данном примере возможны шесть видов записи окончательного результата, каждый из которых имеет право на существование.

Как и в случае с точностью, для вывода формул проектирования по отклонению необходимо в формулы проектирования погрешностей в общем случае подставить известную зависимость:

∆zт		Z δzт	(36)

Наличие в данной формуле значения окончательного результата ограничивает область применения такого проектирования. Дело в том, что для опре-

17

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

деления величины окончательного результата необходимо вычислять его приближенное значение, поэтому проектирование возможно только в процессе расчетов, но никак не до начала вычислений. К тому же сам расчет из-за более сложных формул проектирования усложняется, поэтому проектирование по отклонению рекомендуется к применению только в крайних случаях, вытекающих из условий задачи. Учитывая формулы проектирования погрешностей и формулу (36), получим:

Отклонение при L-округлении:

∆ zтmax

Zтmax δmax

(37)

∆zтmin

(1 − n) Zтmin δmax

(38)

∆ zтсв

(2 − n) Zтсв δсв

(39)

Отклонение при C-округлении:

∆zтmax

Zтmax n δmax

(40)

∆ zтmin

Zтmin n δmin

(41)

Отклонение при R-округлении:

∆ zтmax

(1 − n) Zтmax δmin

(42)

∆ zтmin

Zтmin δmin

(43)

Последовательность проектирования по отклонению следующая:

1.Установление интервала нормативного отклонения (∆н),

2.Выбор числового уровня в первом приближении (Nчу),

3.Определение приближенного значения окончательного результата согласно выбранному числовому уровню (Zпр),

4.Определение максимально возможной (δzтmax), минимально возмож-

ной (δzтmin) или средневероятной погрешности (δzтсв),

18

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

5.Определение значения окончательного результата по соответствующей погрешности, указанной в п. 4,

6.Определение максимально возможного (∆zтmax), минимально возможного (∆zтmin) или средневероятного отклонения (∆zтсв),

7.Если полученные отклонения не выходят за рамки интервала нормативного отклонения, то осуществляется запись окончательного результата, в противном случае заново выполняется расчет с п. 3, но используется уже другой числовой уровень.

Проектирование по отклонению представлено в примере 8, исходные данные для которого взяты из примера 6.

Пример 8

Точные значения чисел

X0 = 22.07036328

X1 = 5.550365988

X2 = 18.56893039

X3 = 0.05117854

Z = X0 : X1 : X2 : X3 = 4.18420588..

∆н = ±0.2

Номер числового уровня – 3

Nтз = 3

Приближенные значения чисел

Xпр0 = 22.1

Xпр1 = 5.55

Xпр2 = 18.6

Xпр3 = 0.0512

Zпр = Xпр0 : Xпр1 : Xпр2 : Xпр3 = 4.18

δzтmax = n · δmax = 5 · 0.5 = 2.5 %

δzтmin = n · δmin = 5 · (0.5) = –2.5 %

Zтmax

Zпр

4.18

4.29

(1 − 0.01 δzтmax)

(1 − 0.01 2.5)

Zтmin

Zпр

4.18

4.07

(1 − 0.01 δzтmin)

[ 1 − 0.01 (−2.5) ]

∆zтmax

Zтmax n δmax

4.29 5

0.5

0.108

100

∆zтmin

Zтmin n δmin

4.07 5

(−0.5)

−0.102

100

Возможные виды записи окончательного результата

1

Zпр = 4.18 ∆zтmax = 0.108 ≈ 0.11

∆zтmin = –0.102 ≈ –0.11

2

Z = 4

3

4.07 ≤ Z ≤ 4.29

4

Z = 4 ∆zтmax = 0.29

Истинное отклонение окончательного результата

∆z = Z – Zпр = 4.184205886.. – 4.18 = 0.004205886..

19

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Интервал нормативного отклонения, равный ∆н = ±0.2, был достигнут уже в первом приближении, ведь максимальное и минимальное отклонения, определенные соответственно по формулам (40) и (41), не выходят за границы этого интервала, поэтому расчет на этом заканчивается.

Как и при умножении, методика проектирования числовых характеристик при делении имеет локальный характер, т.е. ее использование ограничено только делением. Хотя стоит отметить, что некоторые элементы этой методики все-таки будут использоваться в проектировании числовых характеристик при смешанном вычислении.

4. Проектирование числовых характеристик при сложении

Если при вычислении чисел сложение и вычитание играют второстепенную роль, основными являются умножение и деление, то при проектировании числовых характеристик сложение и, особенно вычитание, выходят на первый план. Данное обстоятельство обусловлено тем фактом, что сложение и вычитание с точки зрения определения числовых характеристик являются более сложными видами вычислений, поэтому и при проектировании основное внимание уделяется именно им. К тому же существуют некоторые негативные моменты, которые могут очень сильно влиять на точность проектирования. Поэтому к проектированию при сложении нужно подходить более тщательным образом, чем при умножении или делении.

В данном разделе будет рассмотрено сложение нескольких членов, причем в качестве каждого члена будет выступать какое-то одно единственное число, т.е. рассмотрению подвергнется простой вид сложения. На практике же в качестве слагаемого может выступать, например, умножение нескольких чисел, поэтому в комплексе несколько видов простейших вычислений будут рассмотрены позднее.

Проектирование числовых характеристик при сложении может осуществляться двумя методами:

1.Быстрое проектирование,

2.Полное проектирование или проектирование на основе формулы.

Первый метод основан на следующей закономерности: погрешность

окончательного результата лежит в интервале, образуемом минимальной и максимальной (по модулю) погрешностью слагаемых чисел, т.е. она никогда не превышает максимальной погрешности среди всех слагаемых чисел (по модулю).

δimin

≤

δz

≤

δimax

δz

≤

δimax

20