Проектирование погрешностей

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Проектирование по этому методу происходит очень быстро, но с меньшей точностью, чем по второму методу. Благодаря своей упрощенности этот метод рекомендуется применять в подавляющем большинстве случаев.

Второй метод основан на формулах определения числовых характеристик при сложении, подробно рассмотренных в главе 1.5 книги (1), т.е. числовые характеристики слагаемых чисел будут заменяться максимальными, минимальными или средневероятными числовыми характеристиками. Этот метод, напротив, обладает большей точностью, но гораздо более трудоемок, поэтому его следует применять в тех случаях, когда требуется высокая точность проектирования, а также тогда, когда появляются негативные моменты, которые будут рассмотрены в небольшом примере в конце данного раздела.

Теперь рассмотрим более подробно «Быстрое проектирование». Как известно, при сложении у чисел нужно оставлять одинаковое количество точных знаков после знака дробности. Это значит, что у слагаемых чисел может быть разным количество точных знаков от начала числа, следовательно, они будут принадлежать к разным числовым уровням. Поэтому проектирование возможно только при знании значений приближенных чисел, а вот проектирование до начала вычислений невозможно. Исходя из рассмотренной закономерности, формулы проектирования погрешностей при сложении при использовании «Быстрого проектирования» примут следующий вид:

δzтmax				δmax	(44)
δzтmin				δmin	(45),

где δmax, δmin – соответственно максимальная и минимальная погрешности того числового уровня, к которому принадлежит самое наименьшее (по модулю) слагаемое число.

Примечания:

1.Данные формулы справедливы для всех трех методов округления чисел: L-округления, C-округления и R-округления,

2.Самое наименьшее число обладает наименьшим количеством точных знаков от начала числа и поэтому принадлежит к числовому уровню, у которого самое наибольшее значение максимальной и (или) минимальной погрешности (по модулю).

Проектирование по средневероятной погрешности невозможно, его можно осуществить только с помощью формулы определения погрешности, т.е. по второму методу. Формулы проектирования точности и отклонения выводятся из формул (44) и (45) путем подстановки стандартных формул. Вообще говоря, данный метод широко используется в проектировании при смешанном вычислении, только в немножко измененном виде, ведь в этом случае преобладает оставление у чисел одинакового количества точных знаков от

21

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

начала чисел, а также использование комбинированного метода округления. Но проектирование при смешанном вычислении будет рассмотрено ниже. Чтобы более полно представить картину «Быстрого проектирования», необходимо рассмотреть небольшой пример (пример 9). В нем будет фигурировать сложение четырех чисел, которые округлялись методом C-округления.

Пример 9

Точные значения чисел

X1 = 115.446738

X2 = 0.9885644

X3 = 34.230959

X4 = 6.6950056

Z = X1 + X2 + X3 + X4 = 157.36126..

δн = ±1 %

Номер числового уровня – 3

δzтmax = δmax = 0.5 %

δzтmin = δmin = –0.5 %

Приближенные значения чисел

Xпр1 = 115.447

Xпр2 = 0.989

Xпр3 = 34.231

Xпр4 = 6.695

Zпр = Xпр1 + Xпр2 + Xпр3 + Xпр4 = 157.362

Zтmax

Zпр

157.362

158.153

(1 − 0.01 δzтmax)

(1 − 0.01 0.5)

Zтmin

Zпр

157.362

156.579

(1 − 0.01 δzтmin)

[ 1 − 0.01 (−0.5) ]

Возможные виды записи окончательного результата

1

Zпр = 157.362 δzтmax = 0.5 %

δzтmin = –0.5 %

2

Z = 150

3

156.579 ≤ Z ≤ 158.153

4

Z = 150 ∆zтmax = 8.153

Истинная погрешность окончательного результата

δz

157.36126.. − 157.362

100%

−0.000470..%

157.36126..

Проектирование производилось по погрешности. Самым маленьким числом, вокруг которого и должно строиться проектирование, является X2. Чтобы уложиться в интервал нормативной погрешности, необходимо воспользоваться третьим уровнем точности, т.е. у приближенного значения данного числа оставлять три точных знака от начала числа, что соответствует трем точным знакам после знака дробности как для этого числа, так и для остальных. Вычислив приближенное значение окончательного результата, были определены его максимум и минимум по соответствующим погрешностям, которые для третьего числового уровня равны 0.5 % и (–0.5) %. Погрешность 2 рода в данном случае равнялась нулю, т.к. при выполнении действий над приближенными числами погрешность не нарастала. Получив окончательный

22

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

результат, можно сделать вывод, что «Быстрое проектирование» действительно обладает невысокой точностью (максимально возможная погрешность в данном примере оказалась больше истинной более чем в 1000 раз), особенно это заметно при сложении чисел разного порядка. А вот при сложении чисел одинакового порядка точность данного метода довольно высока вследствие большей близости погрешностей слагаемых и проектируемой погрешности, но такие примеры встречаются, как правило, реже.

А теперь поподробнее остановимся на втором методе, который как уже было замечено, основан на формулах определения числовых характеристик при сложении. Суть идеи довольно проста: расчет ведется по этим формулам, которые немного модернизируются с целью получения, например, максимальной, минимальной или средневероятной теоретической погрешности. Рассмотрим сначала погрешность. Максимальная погрешность достигается при максимальных погрешностях каждого из слагаемых, максимальных значениях слагаемых и соответствующем максимальном значении окончательного результата. А вот минимальная погрешность, наоборот, достигается при всех минимальных параметрах, а средневероятная – при всех средневероятных. Это можно выразить следующими целевыми функциями:

δxi δimax

Xi Ximax

Z Zтmax

δzтmax = max

δxi δimin

Xi Ximin

Z Zтmin

δzтmin = min

δxi δiсв

Xi Xiсв

Z Zтсв

δzтсв = св

Исходя из представленных целевых функций, формулы проектирования погрешностей по методу «Полного проектирования» для всех методов округления чисел примут следующий вид:

										n
δzтmax				1						∑ Ximax δimax	(46)
				Z
					тmax				i	= 1
										n
δzтmin				1					∑ Ximin δimin		(47)
				Z
					тmin				i	= 1
										n
δzтсв						1				∑ Xiсв δiсв	(48),
						Z
						тсв			i	= 1

23

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

где δimax, δimin, δiсв – соответственно максимально возможная, минимально возможная и средневероятная погрешность того числового уровня, к которому принадлежит i-е число,

Ximax, Ximin, Xiсв – соответственно максимально возможное, минимально возможное и средневероятное значение i-го числа,

Zтmax, Zтmin, Zтсв – соответственно максимально возможное, минимально возможное и средневероятное значение окончательного результата.

Если во всех предыдущих случаях максимально возможная, минимально возможная и средневероятная погрешности принимались одинаковыми для всех чисел, то при сложении вследствие использования у них неодинакового количества знаков от начала чисел последние принадлежат к разным числовым уровням и, стало быть, используются те погрешности, которые соответствуют тем или иным числовым уровням. По этим погрешностям определяются и соответствующие значения чисел (Ximax, Ximin, Xiсв).

По такому же сценарию выводятся формулы и для проектирования точностей при сложении. Только необходимо помнить, что например, максимальная точность достигается при минимальной погрешности. Поэтому формулы проектирования точности примут следующий вид:

n

Tzтmax

1 −

1

∑ Ximin (1 − Timax)

Zтmin

i = 1

n

Tzтmax

100% −

1

∑ Ximin (100% − Timax)

Zтmin

i = 1

n

Tzтmin

1 −

1

∑ Ximax (1 − Timin)

Zтmax

i = 1

n

Tzтmin

100% −

1

∑ Ximax (100% − Timin)

Zтmax

i = 1

n

Tzтсв

1 −

1

∑ Xiсв (1 − Tiсв)

Z

тсв

i = 1

n

Tzтсв

100% −

1

∑ Xiсв (100% − Tiсв)

Z

тсв	= 1
i

24

(49)

(49')

(50)

(50')

(51)

(51')

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

Как нетрудно заметить, формулы проектирования точности по сравнению с формулами проектирования погрешности имеют более сложный вид, обусловленный подстановкой члена (1 – Т) вместо погрешности, при этом никакого сокращения данных формул невозможно осуществить. Вследствие этого, проектирование лучше производить именно по погрешности, а если необходимо знание величины точности, то ее легко можно определить после вычисления погрешности. А вот формулы проектирования отклонения можно сократить, ведь например, максимально возможное отклонение – это есть не что иное, как произведение максимально возможной погрешности на соответствующее значение окончательного результата, который и подлежит сокращению, после чего формулы проектирования отклонения при сложении примут следующий вид:

								n
∆ zтmax							∑ Ximax δimax		(52)
					i			= 1
								n
∆ zтmin							∑ Ximin δimin		(53)
							i	= 1
								n
∆ zтсв								∑ Xiсв δiсв	(54)
							i	= 1

Примечание: при сложении отрицательных чисел величины слагаемых в формулах подставляются со своим собственным знаком, т.е. со знаком «минус».

Проектирование погрешностей при сложении рассмотрено в примере 10. Проектирование, как обычно, производилось со 100 % вероятностью и с применением C-округления. Для сравнения были использованы данные из примера 9.

	Пример 10
	Точные значения чисел
X1 = 115.446738	X2 = 0.9885644	X3 = 34.230959	X4 = 6.6950056
	Z = X1 + X2 + X3 + X4 = 157.36126..
	δн = ±1 %
Количество точных знаков после знака дробности – 1
	Приближенные значения чисел
Xпр1 = 115.4	Xпр2 = 1.0	Xпр3 = 34.2	Xпр4 = 6.7
	Zпр = Xпр1 + Xпр2 + Xпр3 + Xпр4 = 157.3
	Максимально возможные погрешности

25

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

δ1max = 0.05 %

δ2max = 34 %

δ3max = 0.5 %

δ4max = 4.8 %

Минимально возможные погрешности

δ1min = –0.05 %

δ2min = –34 %

δ3min = –0.5 %

δ4min = –4.8 %

Максимально возможные значения чисел

X1max = 115.48

X2max = 1.52

X3max = 34.38

X4max = 7.04

Минимально возможные значения чисел

X1min = 115.34

X2min = 0.74

X3min = 34.02

X4min = 6.39

Zтmax = X1max + X2max + X3max + X4max = 158.42

Zтmin = X1min + X2min + X3min + X4min = 156.49

δzтmax

1

(X1max δ1max + X2max δ2max + X3max δ3max + X4max δ4max)

0.685%

Zтmax

δzтmin

1

(X1min

δ1min + X2min δ2min + X3min δ3min + X4min δ4min)

−0.503%

Zтmin

Истинная погрешность окончательного результата

δz

157.36126.. − 157.3

100%

0.0389..%

157.36126..

В отличие от первого метода, «Полное проектирование» характеризуется невозможностью немедленного определения количества точных знаков после знака дробности, поэтому такое проектирование осуществляется в несколько приближений. В данном примере удалось произвести расчет только в одно приближение. Каждое из чисел принадлежит к разным числовым уровням, поэтому максимальные и минимальные погрешности у всех чисел были различными. По этим погрешностям были найдены максимально и минимально возможные значения каждого из чисел. Погрешность 2 рода в данном случае равнялось нулю, т.к. приближенное значение окончательного результата в расчетах использовалось полностью. В отличие от примера 9, где у чисел использовалось три знака после знака дробности, в рассматриваемом примере использовалось на два знака меньше и при этом удалось не превысить нормативную погрешность (максимально возможная погрешность всего лишь в 17.6 раза больше истинной), что доказывает более высокую точность второго метода. Но при этом он более трудоемок.

Успешно рассмотрено два метода проектирования числовых характеристик при сложении, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки, вытекающие из названий данных методов. Стоит лишь отметить, что преимущество отдается «Быстрому проектированию», т.к. в большинстве случаев основной задачей является скорость проектирования, а не точность, чтобы не сильно увеличивать время основного расчета по определению величины окончательного результата. Но когда скорость проектирования не имеет особого значения и, что особенно важно, вычисления производятся с применением компьютерной техники, то «Полное проектирование» предпочтительнее. К

26

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

тому же иногда встречаются некоторые негативные моменты, которые сильно снижают точность проектирования, поэтому в таких случаях рекомендуется пользоваться вторым методом. Примером может служить сложение чисел, очень сильно отличающихся по величине, например, Z = 8703.56485 + 0.00000064549579. В этом случае при использовании у приближенных чисел, к примеру, три точных знака после знака дробности первое число будет принадлежать к седьмому числовому уровню, а второе – лишь к нулевому. Если проектировать по первому методу, то максимально возможная погрешность окончательного результата будет равняться максимально возможной погрешности нулевого числового уровня, т.е. 100 % (при L-округлении), а если пользоваться вторым методом, то второе число вследствие своей малой величины почти не будет влиять на величину погрешности окончательного результата, которая будет приблизительно равняться максимально возможной погрешности седьмого числового уровня, т.е. 0.0001 %. Иными словами, погрешность с тильдой первого числа гораздо выше погрешности с тильдой второго числа. Поэтому следует сделать вывод, что большее время проектирования по второму методу в таких случаях с лихвой компенсируется гораздо более высокой точностью по сравнению с первым методом.

5. Проектирование числовых характеристик при вычитании

Хотя вычитание отличается от сложения лишь знаком, тем не менее, поведение числовых характеристик при вычитании резко отличается от поведения числовых характеристик при сложении. Во-первых, метод «Быстрого проектирования» при вычитании неуместен вследствие того, что погрешность окончательного результата может превышать погрешность отдельного числа, а во-вторых, при очень близких величинах уменьшаемого и вычитаемого погрешность окончательного результата на несколько порядков может превышать погрешность используемого числового уровня. Этот эффект носит название «скачка» числовых характеристик. Поэтому проектирование при вычитании сводится к проектированию на основе формул определения числовых характеристик. «Скачок» числовых характеристик может наблюдаться при использовании всех числовых уровней. Причем встречаются такие случаи, когда при использовании высоких числовых уровней в результате совпадения у уменьшаемого и вычитаемого многих знаков погрешность окончательного результата может достигать величин, характерных для низких числовых уровней (первого, второго и т.п.). Например, при L-округлении для третьего числового уровня этот эффект наблюдается в следующих случаях:

1.Когда первые знаки совпадают (0.592 и 0.508),

2.Когда первые знаки отличаются на одну «условную» единицу, при этом второй знак первого числа меньше или равен второму знаку второго числа (0.953 и 0.886),

3.Когда первые и вторые знаки совпадают (0.569 и 0.562),

27

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

4.Когда первые знаки совпадают, а вторые отличаются на одну «условную» единицу, при этом третий знак первого числа меньше или равен третьему знаку второго числа (0.953 и 0.946).

Впервых двух случаях осуществляется переход с третьего на второй числовой уровень, а во вторых двух случаях – со второго на первый. «Скачок» числовых характеристик – это не что иное, как переход от использования в числах более высоких числовых уровней к более низким без каких-либо вычислений. При вычислении чисел количество точных знаков может еще уменьшиться. Этот эффект, возникающий только при вычитании, негативно сказывается на всем проектировании, т.к. в отличие от других видов вычислений, в которых проектирование может производиться очень быстро, проектирование при вычитании возможно только при использовании сложных формул, основанных на формулах определения числовых характеристик при данном виде вычислений. Поэтому вычитание является ведущим в проектировании при смешанном вычислении, т.е. на его основе и строится все проектирование.

При вычитании максимально возможная погрешность окончательного результата достигается при максимально возможной погрешности уменьшаемого и минимально возможной погрешности вычитаемого (ых), а минимально возможная погрешность окончательного результата – при минимально возможной погрешности уменьшаемого и максимально возможной погрешности вычитаемого (ых), что наглядно показано в примере 11.

	Пример 11
	Исходные данные
X0пр = 8.68	X0max = 8.79	X0min = 8.63
X1пр = 1.45	X1max = 1.48	X1min = 1.43
	Zпр = X0пр – X1пр = 8.68 – 1.45 = 7.23

Zтmax = X0max – X1min = 8.79 – 1.43 = 7.36

Zтmin = X0min – X1max = 8.63 – 1.48 = 7.15

В данном примере были определены максимально и минимально возможные значения окончательного результата, по которым можно вычислить соответственно максимально и минимально возможную погрешность. Средневероятная погрешность может быть получена при использовании средневероятных значений уменьшаемого и вычитаемого (ых). Представленные рассуждения можно выразить следующими целевыми функциями:

28

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

δx0 δ0max

X0 X0max

δxi δimin

Xi Ximin

Z Zтmax

δzтmax = max

δx0 δ0min

X0 X0min

δxi δimax

Xi Ximax

Z Zтmin

δzтmin = min

δx0 δ0св

X0 X0св

δxi δiсв

Xi Xiсв

Z Zтсв

δzтсв = св

Используя эти целевые функции и формулы определения погрешностей при вычитании, были выведены формулы проектирования погрешностей, которые выглядят следующим образом:

n−1

δzтmax

1

X0max δx0max − ∑ Ximin δximin

(55)

Zтmax

i = 1

n−1

δzтmin

1

X0min δx0min −

∑ Ximax δximax

(56)

Zтmin

i = 1

n−1

δzтсв

1

X0св δx0св

− ∑

Xiсв δxiсв

(57),

Zтсв

i = 1

где δx0max, δx0min, δx0св – соответственно максимально, минимально возможная и средневероятная погрешности уменьшаемого,

δximax, δximin, δxiсв – соответственно максимально, минимально возможная и средневероятная погрешности i-го вычитаемого,

X0max, X0min, X0св – соответственно максимально, минимально возможное и средневероятное значение уменьшаемого,

Ximax, Ximin, Xiсв – соответственно максимально, минимально возможное и средневероятное значение i-го вычитаемого.

Чтобы вывести формулы проектирования точностей, необходимо воспользоваться формулами определения точностей при вычитании, при этом

29

Gorozhankin Alexey Anatolievich (alias − Galan) Russia Samara 2004

учитывая, что например, максимум точности достигается при минимуме погрешности. Формулы примут следующий вид:

									n−1
Tzтmax				1 −		1		X0min (1 − Tx0max ) −	∑	Ximax (1 − Tximin )	(58)
						Z
									i = 1
						тmin
									n−1
Tzтmin				1 −	1			X0max (1 − Tx0min) −	∑	Ximin (1 − Tximax )	(59)
					Z
									i = 1
						тmax

									n−1
			1						∑
Tzтсв		1 −	Z			X0св	(1	− Tx0св) −		Xiсв (1 − Txiсв)	(60),
			тсв						i = 1

где Тx0max, Тx0min, Тx0св – соответственно максимально, минимально возможная и средневероятная точности уменьшаемого,

Тximax, Тximin, Тxiсв – соответственно максимально, минимально возможная и средневероятная точности i-го вычитаемого.

Примечание: формулы (58)÷(60) записаны в относительном виде.

Формулы проектирования по отклонению были получены по такому же принципу, что и при сложении, которые выглядят следующим образом:

						n−1
∆ zтmax					X0max δx0max − ∑ Ximin δximin		(61)
						i = 1
						n−1
∆ zтmin					X0min δx0min − ∑ Ximax δximax		(62)
						i = 1
						n−1
∆ zтсв						X0св δx0св − ∑ Xiсв δxiсв	(63)
						i = 1

В отличие от сложения, при вычитании формулы проектирования выглядят немного сложнее вследствие добавления уменьшаемого, да и целевые

30